§ 4. О математическом творчестве.
Главная страница ФОРМИРОВАНИЕ МИРОВОЗЗРЕНИЯ УЧАЩИХСЯ.
Библиотека учителя математики.
Сборники Математики Скачать бесплатно.
Прогресс человечества неразрывно связан с творчеством, с созданием
нового, с возникновением идей, позволяющих взглянуть
на, казалось бы, хорошо известные явления с неожиданных позиций.
Теперь в эпоху ускоренного научно-технического прогресса
особенно важно добиться того, чтобы как можно большее число
молодых людей поверили в свои способности, свои творческие силы
н нашли для них достойное применение.
Творчество является исключительно емким и широким понятием.
Но, когда говорят о творчестве, перед нашим сознанием прежде
всего возникают имена титанов мысли прошлого—Евклид, Гомер,
Пракситель, Леонардо да Винчи, Моцарт, Бетховен, Ньютон,
Лобачевский, Гёте, Пушкин, Пуанкаре, Маркс, Ленин и многие
другие, кто своей мыслью сумел преодолеть обычное и создать
новое, совершенное, кто сумел показать человечеству возможность
неожиданных подходов к старым проблемам и предложил совсем
свежие аспекты восприятия окружающего нас мира, а также указал
на новые возможности проникновения в его закономерности.
Однако это только одна сторона творчества. Творит музыкант-
исполнитель, который не создал ни единой строчки собственных
музыкальных произведений, но зато он сумел так передать произведения
великих композиторов, что они зазвучали в полную силу
и заставили слушателей переживать вместе с ним величие звуков
и связанной с ними идеи. Творит рабочий, когда замечает возможность
совершенствования привычной последовательности операций.
Творит учитель в классе, когда, излагая предмет, заставляет учащихся
забыть о мелочных личных заботах и увлекает идеями своего
предмета, показывая важность и грандиозность заложенных в
них возможностей как для развития науки, так и для познания
природы, прогресса культуры и практической деятельности.
Творчество необходимо во всех областях деятельности, а не
только в науке, проектировании, литературном или художественном
труде. Те, кто сейчас учится в школе, через несколько лет вступят
в самостоятельную жизнь и станут рабочими, военными, колхозниками,
экономистами, врачами или педагогами. На их плечи ляжет
обязанность не только поддерживать достижения экономики, науки
и культуры, но и способствовать их совершенствованию. Для
этих целей понадобится не только умение трудиться и увлеченность
делом, но и расцвет талантов и творческих способностей. Но для
94 О математическом творчестве
того чтобы потенциальные творческие таланты пробудить к жизни,
необходимо систематически воспитывать учащихся в стремлении
поиска, лучших путей для выполнения порученного дела, творчески
овладевать содержанием курса школьного обучения. Для творчества
также нужно пройти своеобразную школу. Недаром так много
внимания в последних постановлениях ЦК КПСС и Совета Министров
СССР о средней и высшей школе уделено развитию творчества
молодежи.
Способности человека являются величайшей ценностью, которая
принадлежит всему обществу и крайне ему необходима. Подумать
только — как много потерял бы каждый из нас, если бы Моцарт и
Чайковский, Байрон и Пушкин, Архимед и Н. Е. Жуковский попусту
растеряли свои способности! Эта простая мысль должна
быть близка каждому учащемуся и учителю. Однако, чтобы преподаватель
мог передать учащимся все разнообразие проявления
творческих талантов, он должен знать об этом гораздо больше, чем
дает ему лично приобретенный опыт. Мы должны по крупицам
собирать опыт ученых и педагогов, рационализаторов и изобретателей,
чтобы вооружить учителя необходимыми ему сведениями для
выявления развития творческих способностей учащихся.
Многие крупные мыслители полагают, что некоторые лица обладают
специфическими творческими задатками и что успех человека
в той или иной сфере деятельности во многом зависит именно от
наличия этих задатков. Позволю себе в связи со сказанным привести
небольшую цитату из статьи А. Н. Колмогорова: «Талант,/
одаренность, скажем, в области математики, физического эксперимента,
конструирования новых приборов даны от природы не всем.
Никакой упорный труд не может заменить эту природную одаренность.
Он дает действительно ценные плоды в науке лишь в соединении
с одаренностью, как, конечно, и одаренность окажется бесплодной
без упорного и сосредоточенного труда»1.
Мы все прекрасно знаем, что многие студенты-математики, превосходно
сдавшие все экзамены, так и не стали математиками-творцами.
И это случилось не потому, что они не прилагали усилий к
поиску новых результатов, а потому, что это у них не получалось.
Из них вышли хорошие популяризаторы, авторы сводных монографий,
блестящие лекторы, но они были лишены внутреннего творческого
начала в математике. Их одаренность была совсем иного
плана. В то же время мне известны лица, которые не .блистали во
время экзаменов, не могли считаться глубокими знатоками той или
иной области математики, но у них был дар сопоставления, способность
видеть вещи как бы с другой стороны, и в результате они
получали новое и интересное там, где множество специалистов не
замечало ничего перспективного.
1 К о л м о г о р о в А. Н. Наука требует горения. — Известия, 1962,
21 фев.
95 О математическом творчестве
В то же время следует сказать, что математическая одаренность
встречается не так редко, как это многим кажется. Но эта творческая
жилка проявляется у разных лиц по-разному и в различных
направлениях.
Одни находят обобщение ранее полученных результатов и тем
самым расширяют поле их применимости. Другие умеют найти
совсем новые объекты для исследования. Третьи сильны в логическом
совершенствовании теории. Четвертые ищут и находят решения
глубоких прикладных проблем и открывают пути решения
многочисленных вопросов в разнообразных областях знания, Пятые
подвергают математические понятия и направления исследований,
так сказать, философскому анализу и затем объединяют различные
ветви математической мысли воедино.
При решении вопроса о наличии или отсутствии творческого
таланта у того или иного лица обязательно следует принимать
во внимание многообразие форм математического творчества и не
пропустить ни одну из них. Отсутствие какой-нибудь одной из них
еще ще означает, что данное лицо полностью лишено творческих
математических способностей.
Здесь уместно сказать несколько слов о математических олимпиадах.
Олимпиады стали важным элементом нашей культурной
жизни. Они приводят к тому, что десятки тысяч школьников систематически
углубленно работают над математикой и ее методами. Они
содействуют развитию интереса к математике и к поиску решения
сложных задач, т. е. к элементам творческой деятельности, Недаром
многие страны мира заимствовали наш опыт и в течение ряда
последних лет проводят свои математические олимпиады. Более,
того, сейчас проводятся международные олимпиады, в которых
принимают участие учащиеся не только социалистических, но и
ряда капиталистических стран. Судьба победителей таких олимпиад,
как правило, уже определена —они находят свое место в жизни,
поскольку у них имеется увлечение, вера в свои силы и
возможность поступить в университет на механико-математический
факультет, факультет прикладной математики. Но ведь, кроме
победителей, имеются и побежденные. Их судьба должна нас крайне
тревожить, поскольку они могут потерять веру в свои силы и
способности. Они должны ясно себе представлять, что поражение
при решении олимпиадных задач, в этих крайне напряженных соревнованиях
совсем еще не означает отсутствия творческих математических
способностей. Но среди них также имеются будущие
творцы во всех областях деятельности, в том числе и математической;
Развитие творческих способностей требует длительного воздействия
и должно быть предметом внимания педагогического коллектива
буквально с первых дней обучения. Воспитанию стремления
к творчеству следует уделять пристальное внимание на всех этапах
обучения. Каждый предмет школьного курса.способен внести свою
долю воздействия на творческий облик учащегося. Математика
96 О математическом творчестве
предоставляет для этого исключительные возможности. Действительно,
поиск решений нестандартных задач, нестандарных путей
/ решения традиционных задач, размышления над парадоксами, поиск
.. ошибок в рассуждениях, анализ содержания теорем и сути их
д доказательств, беседы о творческих лабораториях известных уче-
/| ных—все это составляет важные слагаемые на пути развития
” способностей и духа творческого горения.
Нередко даже хорошие учащиеся убеждают себя в отсутствии
— у них творческих способностей, поскольку они не могут так легко
и свободно разговаривать о сложных вопросах математики и
ее нерешённых задачах, как некоторые другие их одноклассники, для
которых, если их послушать и им поверить, все самое сложное
очевидно и тривиально. Однако это скороспелое решение, поскольку
обнаружить наличие или отсутствие таланта, творческих возможностей
можно только в борьбе, в длительном поиске решения Сложной
задачи, которая способна захватить человека и заставляет
его думать о ней все свободное время. Талант—это не только
_ врожденное свойство, но и напряженная повседневная работа.
Для развития таланта и для проявления творческих сил необходима
проблема, которая способна увлечь человека и заставить
его думать о ней постоянно, испытывать различные подходы к ее
решению. Но зачастую потенциально способный человек не имеет ’
увлекательной и действительно важной задачи. Ему неоткуда ее
получить, поскольку рядом нет коллектива, способного выдвинуть
и развить полезную тематику, способствующую прогрессу науки,
производства, культуры. В результате у него нет объективной
возможности проявить свои творческие способности. Нередко при
этом он принимаетстгй решение проблем, которые не имеют, интереса
ни для науки, ни для практики. Недаром во все времена молодые
людагттрщщГОьТ1Шасть~в~~прославлен.ще университеты, где
работали выдающиеся ученые и руководители, где выдвигались и
разрешались серьезные научные проблемы. Молйдой человек, попавший
в такой коллектив, становился не только обладателем боль-
шого числа проблем, заслуживающих разработки, но дополнительно
еще узнавал о возможных подходах к их решению, наблюдал, как
1 другие занимаются близкими задачами и продвигаются к заветной
\*ели. Все это приближало его к проникновению в процесс творчества,
оказывало огромное воспитывающее и стимулирующее воздействие
на его личность.
С такой же ситуацией приходится сталкиваться на производстве.
/ Там всегда имеются многочисленные проблемы, требующие поиска,
/ ломки традиций, новой неожиданной мысли. Для творчества про-
‘ V изводство открывает необозримые просторы. Но на начальной ста-
\ дии поиска требуется толчок извне, первичная поддержка, указание
_ \ на необходимость совершенствования оборудования, технологи-
/ческого процесса, системы использования станочного парка, воз-
/ можностей облегчения труда, ликвидации излишних операций
и т. п.
97 О математическом творчестве
Поддерживать естественное стремление молодежи к творчес’
должны и школа и семья, и комсомольская организация. В
становлении ЦК КПСС «О дальнейшем улучшении идеологическ
политико-воспитательной работы» перед Министерством прос
щения СССР, Комитетом по профессионально-техническому о
чению и Академией педагогических наук СССР среди про1
ставится и задача дальнейшего развития внеклассной работы, тех
ческого и художественного творчества. Привить интерес к тв
честву, творческим поискам необходимо еще в детстве. Иначе
дет поздно.
В конце прошлого века в нашей стране прославила себя пет
бургская математическая школа, достигшая расцвета в пери
когда в Петербургском университете работал выдающийся учев
П. Л. Чебышев. Ряд направлений исследований — теория чис
теория функций, теория вероятностей, теория механизмов —
тересовали самого Чебышева. Он охотно делился нерешеннь
задачами с -молодежью, увлеченной наукой. Эти проблемы воз
кали у него как в результате личных напряженных поисков, ‘
и знакомства с классическими результатами предшественник
Совсем не случайно Чебышев был как бы центром притяжения j
способной молодежи, и из его окружения вышли выдающие
• исследователи—А. А. Марков (1856—1922), А. М. Ляпу]
(1857—1918), Д- А. Граве (1863—1939) и многие другие. Чебы]
вым была создана обстановка, благоприятствующая развш
талантов. Он предлагал им проблемы, которые увлекали их на д
гие годы напряженной работы, интересовался их результата
поддерживал их настроение.
Само собой разумеется, что новые проблемы выдвигает не то
ко руководитель, молодые члены научного коллектива сами уча
вуют в этой важнейшей части научного творчества. Но в коллек
ве возникшие проблемы обсуждаются, получают должную полю
постановки, острую направленность и даже намечаются возм<
ные подходы к их решению. Чем активнее молодежь в постаноз
новых вопросов, тем совершеннее научная школа, тем больи
возможности она в себе таит.
Мне самому посчастливилось провести научную юность в пер
классной московской школе теории вероятностей, возникшее
стенах Московского университета в конце 20 —начале 30-х год
Попал я в эту школу в период ее расцвета, когда в ней вполн
силу работали такие выдающиеся исследователи, как А. Н. Кол
горов, А. Я. Хинчин, Е. Е, Слуцкий (1880—1948), Н. В. Смир]
(1900—1966), В. И. Гливенко (1897—1940). Тогда буквально к?
лая неделя приносила науке новые результаты, новые методы
следования, новые постановки вопросов. И все это активно обе)
дались на научном семинаре по теории вероятностей. В мест
математиками в этом семинаре принимали участие биологи, физи
специалисты по технике телефонной связи. В результате так<
общения теория вероятностей возникала в глазах начинающих :
98 О математическом творчестве
тематиков не только как объект чисто математического исследования,
но и как орудие познания реального мира.
Традиционное обсуждение докладов показывало разнообразие
возможных подходов к той или иной проблеме и убеждало в том,
что в, казалось бы, завершенном исследовании часто имеются аспекты,
которые нуждаются в доработке, уточнении, углублении
и дальнейшем развитии.
Коллективное обсуждение индивидуального труда неизбежно
приводило к мысли о том, что наука является не только личным
делом исследователя, но важным общественным явлением. И далее:
для личных научных успехов крайне важен критически воспринимающий
научный коллектив и научные дискуссии. Именно они
позволяют заметить такие стброны научной проблемы, которые
могли бы пройти незамеченными исследователем-одиночкой.
В таких условиях появлялись постепенно знание и свобода
обращения с большой группой вопросов, а также проникновение
в методы, разработанные для их исследования. По мере совершенствования
знаний появлялся более широкий и свободный взгляд на
весь круг идей, а вместе с тем и некоторая неудовлетворенность
уже достигнутым. Возникали новые вопросы, на которые еще не
было ответа; и эти вопросы волновали, о них думалось непроизвольно
в любой обстановке: за столом, в трамвае, при чтении журналов
и даже в театре и на концертах. Мысль непрерывно искала и сопоставляла
вновь узнанное с тем, что хотелось разрешить.
В процессе воспитания творческого начала исключительно ве-
I лика роль учителя, который способен направить учащихся на путь
i исканий, вызвать в них страсть поиска. Но без личного увлечения
/ познанЖмГТ^^ педагогического таланта и такта этого
S добиться по меньшей мере затруднительно. Ученик должен иметь
I образец, пример для подражания, в нем нужно заронить искру,
\из которой впоследствии возгорится пламя поиска, неудовлетворенности
достигнутым. Учитель помогает учащимся войти в атмос-
\ феру творчества, в круг идей, дающих большие возможности для
самостоятельного поиска и для новых научных находок. Благодаря
этому молодые люди приобщаются к научным исследованиям
и выявляют свои творческие возможности, мужают, обретают
крылья и мечту. Мне хотелось бы, чтобы я был правильно
понят. Не всегда от учителя требуется, чтобы он сам был ученым,
чтобы он имел какие-то открытия, но у него должен быть дух искательства,
он должен быть увлечен радостью познания, он должен
любить своих учеников и стремиться приобщить их к радости
поиска, радости расширения круга познанного. Таким у меня в
памяти сохранился замечательный учитель А. И. Фетисов, который
воспитывал увлеченных молодых математиков, и они по нескольку
человек ежегодно поступали на механико-математический факультет
МГУ. Он умел заронить в ищущую душу своих учеников увлечение
математикой, и многие его ученики стали превосходными
учеными, получившими значительные результаты в нашей науке.
99 О математическом творчестве
но он был талантливым учителем, и его горячее сердце продолжает
жизнь в его учениках.
По-видимому, в какой-то мере каждый человек способен к творчеству.
Однако мера творческих способностей для разных людей
различна, и для того, чтобы не упустить большие таланты, следует
создавать обстановку творческого искания, напряженных интересов
в какой-то области знания и деятельности. Направление сознания
на поиск лучшего, более совершенного, воспитание неудовлетворенности
достигнутым, привычка к систематичёскбиуТшпряжен-
■оюму труду — вот основа для развития творческих способностей.
‘ Приведу еще пример. Специальный курс А. Я. Хинчина в МГУ,
посвященный проблемам предельных распределений для сумм независимых
случайных величин и базирующийся в значительной
степени на его собственных в ту пору только что полученных результатах.
Слушатели получили возможность узнать в концентрированном
и приведенном в систему виде обо всем, что к тому времени
было известно в этой области науки, включая последниере-
зультаты самого А. Я. Хинчина, П. Леви, В. Феллера, А. Н. Колмогорова
и других ученых, смогли как бы с «птичьего полета» обозреть
уже известное и заметить неисследованное. Для меня этот курс,
прочитанный А. Я- Хинчиным в 1936 г., сыграл особенно большую
роль. Впрочем, он сыграл значительную роль и в научной судьбе
ряда молодых математиков того времени. Так, А. А. Бобров обобщил
теорему об относительной устойчивости сумм, доказанную
Хинчиным только для случая одинаково распределенных слагаемых,
на случай разнораспределенных случайных величин. Теорема
об относительной устойчивости сумм — широкое обобщение
закона больших чисел для случая положительных слагаемых, данное
А. Я- Хинчиным; Д. А. Райков на основании результатов
А. Я- Хинчина и А. А. Боброва путем сравнения условий сходимости
функций распределения сумм к нормальному распределению
и условий относительной устойчивости сумм пришел к превосходному
результату, который связал закон больших чисел
с центральной предельной теоремой теории вероятностей. Мне также
удалось внести некоторый вклад в теорию суммирования. Я заметил,
что если в начале развития этой теории— в работах Я. Бернулли,
А. Муавра, П. Лапласа, С. Пуассона, О. Коши, П. Л. Чебышева,
А. А. Маркова, А. М. Ляпунова, С Н Бернштейна и др. — основной
интерес вызывали вопросы выяснения условий сходимости к
определенным предельным законам (нормальному и единичному —
соответственно центральная предельная теорема и закон больших
чисел), то в дальнейшем эти постановки вопроса были как бы заморожены.
Интересы и усилия исследователей получили новую направленность
— выяснить классы возможных предельных распределений
при тех или иных ограничениях, наложенных на слагаемые.
Так передо мной возникли две задачи: найти, условия существования
предельного распределения; найти условия сходимости функ-
100 О математическом творчестве
ций распределения сумм к каждому из возможных предельных
распределений.
Обе задачи были решены, но для этого пришлось разработать
новый метод, получивший наименование метода сопровождающих
безгранично делимых распределений. Интересно заметить, что размышления
над строго очерченным кругом задач и изобретение метода
исследования позволили сделать большее, а именно одновременно
указать естественное и простое решение вопроса о классе предельных
распределений, незадолго перед тем глубоко изученного в работах
Г. М. Бавли (1908—1941) и А. Я. Хинчина посредством совсем
других приемов доказательства.
Краткий рассказ о событиях, свидетелем и участником которых
я был, позволяет сделать такое заключение: для раскрытия творческих
способностей очень важно попасть в атмосферу научного
поиска; включиться в работу коллектива, увлеченного развитием
широкого круга проблем, важных для науки (или для практики);
получить самоотверженного руководителя, готового помочь, по-
ч править, но не сделать за тебя; найти в себе силы и увлеченность
I длительное время размышлять в определенном направлении, имея
Ч в виду решение строго ограниченного круга проблем Без выполнения
этих условий нет возможности говорить о воспитании творческих
способностей, о развитии у молодежи творческого начала. К
этому следует добавить еще одну мысль, высказанную знаменитым
, русским ботаником начала нашего века К-А. Тимирязевым (1843—
в 1920): чтобы творить, нужно знать все о немногом и немного обо
I всем. Это крайне важно, поскольку знание о многом придает ши-
роту взглядам, а знание всего о немногом позволяет сосредоточить
внимание, поиски, размышления на том, что действительно нужно
и еще неизвестно, а потому требует продвижения и исследования.
\ Творческие способности, как любые другие, требуют постоянного
\ упражнения, постоянной тренировки. Эта тренировка’начинается
Леще в школе. И каждая самостоятельно решенная задача, каждое
[ самостоятельно преодоленное затруднение в познании формирует
\ характер и обостряет творческие способности. Но без искреннего
увлечения проблемой, без внутреннего убеждения, что дальше нельзя
существовать без поиска решения, без способности длительно
размышлять над одним и тем же предметом и возвращаться к осмысливанию
различных возникающих при этом аспектов, творческий
успех не придет. Он должен быть подготовлен предшествующей
работой.
Начинающие математики обычно стремятся получить сразу результат
непреходящего значения, построить сложную теорию с не
очень определенными контурами. Здесь бы мне хотелось сказать,
что каждый новый факт науки имеет свою цену и может представлять
для развития знания совершенно непреходящее значение. В
этом плане мне очень нравятся слова В. Маяковского: «Математик—
это человек, который создает, дополняет математические правила,
человек, который вносит новое в математические знания. Чело-
101 О математическом творчестве
век, впервые формулировавший, что «два и два четыре», — великий
математик, если даже он получил эту истину из складывания двух
окурков с двумя окурками. Все дальнейшие люди, хотя бы они
складывали неизмеримо большие вещи, например паровоз с паровозом,
— все эти люди — не математики»1.
Каждый, кто сталкивался с математическим творчеством, знает,
как часто мучительно и долго разыскиваемое решение приходит в
голову как бы внезапно, казалось бы, без видимых усилий, в силу
какого-то внутреннего озарения. О таких случаях увлекательно
рассказано в статье великого французского математика Анри Пуанкаре.
Мы ее приводим в конце настоящей книги в качестве дополнения,
поскольку эта статья может навести некоторых учителей
на мысль о необходимости наблюдения за появлением таких творческих
вспышек в классе. Подобные наблюдения, проведенные над
большим числом школьников, могут оказаться очень полезными при
решении вопросов о методах пробуждения творческого начала у
учащихся. Аналогичные случаи описаны и в интересной книге
другого крупного французского математика Жака Адамара (1863—
1963), которая переведена и издана у нас в стране.
Об одном таком внезапном озарении писал К- Ф. Гаусс в связи
с открытием им одной теоремы из теории чисел. Он пытался ее доказать
в течение нескольких лет, но безуспешно, «Наконец, два
дня назад я добился успеха, но не благодаря моим величайшим усилиям,
а благодаря богу. Как при вспышке молнии, проблема внезапно
оказалась решенной. Я не могу сам сказать, какова природа
путеводной нити, которая соединила то, что я знал, с тем, что принесло
мне успех»2.
Я сам несколько раз оказывался в подобном же положений.
Решение задачи, которой я долго и безуспешно занимался, вдруг,
как правило, ночью, во сне, появлялось как нечто готовое. Утром
оставалось только записать решение. Но подобные озарения приходили
и среди дня, например во время лекции, в магазине, в поезде,
в самолете. Позволю себе привести два таких примера.
В конце 1936 или в самом начале 1937 г. А. Я. Хинчин в устной
беседе сообщил мне о гипотезе, которую он безуспешно пытался
доказать в течение длительного времени. Эта гипотеза относилась
к теории характеристических функций, т. е. к теории функций,
представимых в виде
оо
/ (/) = jelix dF (х),
—-оо
где F(x) — неубывающая функция с вариацией, равной единице.
Характеристические функции со времени Лапласа играют большую
г М а я к о в с к и й В. Как делать стихи? М.: Советский писатель, 1952, с. 5.
2 А д ам ар Ж- Исследование психологии цроцесса изобретения в области
математики. М.: Советское радио, 1970, с. 19.
102 О математическом творчестве
бы ни был мал отрезок — а ^ t ^ а, в котором заданы значения
характеристической функции /(/), они однозначно определяют ее
значения при всех t (—оо < t < оо).
В ту пору я интересовался теорией квазианалитических функций
обладающих подобным же свойством. Поскольку аналитическая
природа характеристических функций очень сложна, я высказал
сомнение в правильности гипотезы. Хинчин доброжелательно улыбнулся
и сказал: «Ну что ж, тогда попытайтесь доказать Вашу гипотезу
».
Попытки найти решение оставались безрезультатными в течение
ближайших трех дней. После этого вечером мы встретились вновь,
и Александр Яковлевич поинтересовался моими успехами. Ответив,
что решения еще нет, я по-прежнему сомневаюсь в правильности
его гипотезы. ч После этой беседы я вернулся к себе в каком-то возбужденном
состоянии. Мне не хотелось ни беседовать, ни ужинать, и все мысли
вертелись около нашей задачи. С этими мыслями я и уснул. Когда
ранним утром проснулся, в голове была окончательно сформировавшаяся
идея решения: был указан пример двух характеристических
функций, совпадающих в заданном промежутке аргумента с
центром в начале координат и отличающихся при остальных значениях
аргумента L Вот еще более простой пример:
и fz(t) — периодическая функция с периодом 2я, определяемая
в отрезке (—я, я) равенством /2(0 =*
А. Я. Хинчин остался очень доволен полученным результатом
и сразу же сделал из него ряд выводов, положивших начало красивой
ветви теории вероятностей — арифметике распределений. Позднее
М. Г. Крейн (род. 1907) развил этот результат в главу продолжения
операторов.
Возникает вопрос: а как же все-таки была решена проблема?
Ведь ночью человек спит, а не думает. Здесь я согласен с мнением
А. Пуанкаре и ряда психологов, согласно которому сознание человека
во время сна отключено не полностью.Человек спит, а его
подсознание продолжает работать. Все время идет процесс в некоторых
частях головного мозга, в результате чего происходит процесс
отбрасывания бесперспективных путей развития мысли и
сохранения тех из них, которые могут привести к искомому результату.
Но это подсознательное мышление базируется на том предварительном
периоде размышлений, когда проблема ставилась, обдумывалась,
предлагались отдельные подходы к ее решению, на
тех сознательных поисках решения, которые исследователь осуществлял
раньше.
103 О математическом творчестве
Второй случай произошел со мной в конце ноября 1937 г. уже
после окончания аспирантуры, когда я начал работать в НИИ математики
Московского университета младшим научным сотрудником.
Именно в это время я упорно размышлял над волновавшей
меня задачей об условиях существования предельного распределения
для сумм независимых случайных величин. Решение казалось
близким, но в то же время не давалось в руки. Нужно было найти
рациональный подход к задаче, отыскать сам метод решения.
В первой половине ноября я получил повестку из военкомата
! о призыве в армию, прошел медицинское освидетельствование,
/ но, простудившись, заболел. В одну из ночей я внезапно проснулся,
/ в голове теснились мысли, точнее даже обрывки мыслей. Я лежал
£ с закрытыми глазами и пытался понять, чего же касаются эти обрывки
мыслей. Через какое-то, как мне теперь кажется, довольно
длительное время мысль стала более отчетливой и постепенно принимала
определенные формы. Словно кто-то извне твердил одно и
то же: «Можно ограничиться рассмотрением только безгранично
делимых слагаемых. Для них все просто». Так родилась идея рассмотрения
сопровождающих безгранично делимых распределений.
В течение, нескольких последующих дней мне оставалось лишь
продумать последовательность изложения и записать на бумаге Трудности
оставались лишь чисто технические, поскольку все остальное
было уже установлено. Тогда я успел написать лишь короткую заметку
в ДАН СССР (Доклады Академии наук СССР), содержавшую
три теоремы, из которых позднее были выведены многочисленные
следствия. Но их получение потребовало уже длительного времени
и усердной работы за столом. Частично эти следствия удалось получить
уже во время прохождения службы в армии, частично после
возвращения в университет.
Подобные случаи, когда недостающие звенья доказательства
или поиск идеи, продолжавшийся долгие месяцы, а то и годы, вдруг
заканчивался в совершенно неожиданном и, казалось бы, неподходящем
для творчества месте —в самолете, поезде, во время разговора
совсем о других вещах. Но каждый раз это внезапное озарение,
молниеносное появление идеи, которая все ставила на свои места,
происходило после длительного предшествующего размышления,
после многочасовых безуспешных поисков. Отдельные неудачи не
приводили к разочарованию, а заставляли искать, отбрасывая .все
новые и новые подходы к решению и искать новые пути. В творчестве*
как и в любом ином виде деятельности, действует старая и простая
истина: дорогу осилит идущий.
Только что описанная ситуация внезапного появления решения
проблемы, над которой долго размышлял исследователь, повторяется
в описании поиска стиха, которое дал В. Маяковский:
«Году в тринадцатом, возвращаясь из Саратова в Москву, я,
в целях доказательства какой-то вагонной спутнице своей полной
лояльности, сказал ей, что я «не йужчина^а облако в штанах». Сказав,
я сейчас же сообразил, что это может пригодиться для стиха, а
104 О математическом творчестве
вдруг это разойдется изустно и будет разбазарено зря? Страшно
обеспокоенный, я с полчаса допрашивал девушку наводящими
вопросами и успокоился, только убедившись, что мои слова уже
вылетели у нее из следующего уха.
Через два года «облако в штанах» понадобилось мне для названия
целой поэмы.
Я ДВа дня думал над словами о нежности одинокого человека
к единственной любимой.
Как он будет беречь и любить ее?
Я лег на третью ночь спать с головной болью, ничего не придумав.
Ночью определение пришло.
Тело твое
буду беречь и любить,
как солдат, обрубленный войною,
ненужный, ничей,
бережет
свою единственную ногу.
Я вскочил, пол у проснувшись. В темноте обугленной спичкой
записал на крышке папиросной коробки — «единственную ногу»
« заснул. Утром я часа два думал, что это за «единственная нога»
записана на коробке и как она сюда попала.
Улавливаемая, но еще не уловленная за хвост рифма отравляет
существование: разговариваешь не понимая, ешь, не разбирая, и
не будешь спать, почти видя летающую перед глазами рифмр1.
Я думаю, что читатели согласятся, что процесс творчества проходит
примерно одинаково у математика и поэта: и тем, и другим
приходится ловить за хвост неуловимую жар-птицу; и тем, и другим
открытие дается поройночью, во время сна, но оно было в обоих
случаях подготовлено предыдущими поисками.
В наши дни творческий процесс заслуживает самого пристального
внимания, поскольку общество нуждается в массовом творчестве,
в массовом совершенствовании уже известного, в отказе от
устоявшегося и привычного, но пришедшего в противоречие с имеющимися
возможностями и потребностями. Вот почему так важно,
чтобы ученые писали не.только об окончательных результатах, но
и о том, как они их получили, о том, как проходил и в чем заключался
процесс создания, нового.
К сожалению, в научных статьях, в монографиях видишь только
окончательный результат, тщательно отполированный и отшлифованный.
В них изложены резу 1ьтаты и методы исследования,
но от творческого горения, от мучительного поиска уже ничего не
остается. Если же мы хотим воспитать творцов нового, то молодежи
следует показывать и сам творческий процесс, тот невидимый огром1
М а як овс к и й В. Как делать стихи? М.: Совет, писатель, 1952,
с. 14 — 15.
105 О математическом творчестве
ный труд, который предшествует получению окончательного результата.
В речи, которую произнес А. Н. Колмогоров перед студентами
аспирантами и преподавателями механико-математического факультета
Московского университета в день своего шестидесятилетия,
им была высказана такая важная мысль: математик в своем творчестве
всегда следует, даже при решении самых сложных проблем,
какой-то простой идее — геометрической, физической или иной.
Далее он добавил, что сам он руководствуется всегда простой
геометрической идеей, простым геометрическим образом.
Несколько позднее в параграфе, посвященном истории математики
и ее роли в воспитании учащихся, мы вновь коснемся вопросов
творчества, но уже с других позиций. Там мы расскажем о том,
как Л. Эйлер подходил к формулировке своих теорем по теории
чисел.
106 О математическом творчестве
Околоadmin
Comments