ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԱՌԱՋԸՆԹԱՑԻ ՄԱՄԻՆ Ժ. Դեդոնե
Մաթեմատիկան Դպրոցում
Մաթեմատիկան Դպրոցում
Նախապե ս ես ուզում եմ ճշգրտել , որ կիրառական մաթեմատիկայի բնագավառում իմ
ոչ իրազեկության պատճառով այստեղ խոսք կգնա զուտ մաթեմատիկայի մասին:
1. ԿԱ՞ ԱՅՍՕՐ ԱՌԱԶԸՆԹԱՑ ՄԱԹԱՄԱՏԻԿԱՅԻ ՄԵՋ
Հարցադրումը կարող է թվալ տարօրի նակ , անգամ անիմաստ, քան ի որ առաջընթացի
գաղափարը առանց վերապահության ընդունվում է ցանկացած այլ գիտության մեջ: Սակայն
շատ ուսյալ մարդիկ անկեղծորեն տալիս են այս հարցը, դժվարությամբ հասկանալով, թե էլ
ինչ կարելի է հայտնագործ ե լ մաթեմատիկայում: Ես կասկածում եմ, որ այս զավ ե շտական
մոտեցումը պայմանավ որված է դպրոցում տարրական մաթեմատիկայի դասավանդման
եղանակով, որտեղ խոսքը միշտ գնում է վաղուց արդեն լուծված խնդիրների մասին, ընդ
որում այդ լուծումներն էլ շարադրվում են դոգմատիկորեն: Այսպիսով, աշակերտներին հասու
չէ այն, որ գոյություն ունեն մեծ թվով չ լուծված մաթեմատիկական խնդիրներ, որոնք ակտիվ
հետազոտության առարկա են: Իրականում մաթեմատիկական հրապարակումների աճը
այսօր կատարվում է նույն աստիճանային օրենքով, ինչպես և մյուս գիտությունների մեջ, և
ունի նույն հետևանքները, առաջացած տեղեկատվության տարածման դժվարություններ և
նեղ մասնագիտացման վտանգ:
2. ԻՆՉՈ՞ՒՄՆ է ԿԱՅԱՆՈՒՄ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԱՌԱՋԸՆԹԱՑԸ
Ինձ թվում է, որ այն ընթանում է հետևյալ երեք ուղղություններով, պրոբլեմների լուծման,
մաթեմատիկական ֆենոմենների ըմբռնման և լավ նշանակումների ու ալգորիթմների
ներմուծման: Վերջին ուղղությունը հավանաբար հատուկ է միայն մաթեմատիկային:
ա) Յուրաքանչ յուր դարաշրջանում մաթեմատիկոսները կան գ նած են լինում այնպիսի
պրոբլեմների լուծման առաջ, որոնք նրանց կտակել են իրենց նախորդները կամ առաջադրել
են ժամանակակիցները: Հ ետագայում ես կանգ կառնեմ այդպրոբ լեմնե րի սկզբնաղբյուրի
վրա: Այստեղ կբերեմ ամենահին և հանրահայտներից երկուսը, որոնք առ այսօր չեն լուծվել*
* Հոլբախի պրոբլեմը 1937 ֊ի ն մասնակիորեն լուծել է Ի.Մ.Վինոգրադովը: Ֆերմայի պրոբլեմը 1993-ին
լուծել է էնդրյու Վայլսը :
նաև այդ գաղափարները: Լավ նշանակումները սովորաբար ուղեկցվում են ալգորիթմներով,
որոնք հեշտացնում են դրանց գործածությունը: Սրա տակ մենք հասկանում ենք այնպիսի
հաշվարկները կամ ստերեոտիպ դատողությունները, որոնք մեկընդմիշտ հաստատված են,
և նրանց կիրառությունը կատարվում է ավտոմատ կերպով, առանց նախապես դուրս բերելու,
հանգամանք, որը էապես կրճատում է մաթեմատիկական լեզուն և հնարավորություն է տալիս
ողջ ուշադրությունը կենտրոնացնելու ապաց ո ւ ց ման կարևոր պահերի վրա: Որպեսզի
գ նահատվ ե ն նման կերպ ստաց ված արդյունք ները , բավական է հիշել, որ երկրորդ
աստիճանի հավասարումները Շտիֆելի 1 6 — ր դ դարում գ րած «Հանրահաշիվ» դասագրքում
զբաղեցնում է 2 0 0 էջ, իսկ Նյուտոնի ուսուցիչ Բառռոուին անհրաժեշտ եղավ 100 էջ և այդքան
էլ գ ծանկարներ շոշափողի մասին խնդիրը ձևակերպելու համար, իսկ այժմյան դասագրքերում
դա զբաղեցնում է 10 էջ:
3. ԱՌԱԶԸՆՌԱՑԻ ՆԱԽԱՁՇՌՆՈՂՆՆՐԸ
Մաթեմատիկական տեսության զարգացումը ավելի հաճախ տեղի է ունենում խորը
անհատականության կնիք կրող ինչ-որ օր ի գ ի նալ մտահղացման և այդ մտահղացումը
օ գ տ ա գ ո ր ծ ե լ ո ւ , տ ա ր բ ե ր ո ւ ղ ղ ո ւ թ յ ո ւ ն ն ե ր ո վ զ ա ր գ ա ց ն ե լ ո ւ համար բա զ մ ա թ ի վ
մաթեմատիկոսների կոլեկտիվ աշխատանքի զուգորդման արդյունքում: Պատմությունը մեզ
ընձեռում է օրինակների մի ամբողջ շարք, որտեղ դեպքից դեպք փոփոխվում է կոլեկտիվ և
ան հատական պրոգրեսների միջև եղած հարաբերությունը: Այսպես, հազիվ թե հնարավոր
լինի ինչ-որ մեկին վերագրել կեղծ թվի գաղափարը, որը տարբեր կողմերում հայտնվեց 1 6 —
րդ դարում: 1 7 — ր դ դարում, գործնականում անկախ իրենց մեծության’ բոլոր մաթեմատիկոսների
աշխատանքներում ծն ված անվերջ փոքրի գաղափարը կարող է թվալ որպես Եվտոքսի
գաղափար ն ե ր ի ներշնչման արդյունք, ինչը վարպետո ր ե ն օ գտագ ո ր ծ ե լ էր Արքիմեդը:
Սակայն դժվար է վստահ լինել, որ ինքը’ Եվտոքսը, չի օ գտվ ե լ իր նախորդների մտահղացումներից:
Մյուս կողմից, այն շրջադարձը, որ ստացան Արքիմեդի մեթոդները 1 7 — ր դ դարում,
զ գալի ո ր ե ն տար բ ե ր վ ո ւմ է նախորդ ների ըմբռ նումից և հնարավ որ չէ վ ե րագ ր ե լ մեկ
մաթեմատիկոսի աշխատանքի կամ ազդեցության: Մենք վերևում ասացինք, որ ընդհանրացված
ֆունկցիաների տեսությունը նույնպես պ ետք է դիտվի որպես կոլեկտիվ ստեղծագործու թյան
արդյունք, և այն արդեն 2 0 տարի զարմանալիորեն պահպանում է զար գաց ման այս
բնույթը նաև իր կիրառության հիմնական ոլորտում մասնական ածանցյալներով հավասարումների
տեսո ւթյան մեջ: ժամանակակ ի ց հ ո մ ո լ ո գ իական հան րահաշ ի վ ը տալիս է
մաթեմատիկայի մի այ լճյուղի օրինակ, որի հիմնական հասկացությունները առաջաց ե լ են
միաժամանակ’ տարբեր մաթեմատիկոսների աշխատանքներում, մաթեմատիկայի տարբեր
ոլորտներում: 1 9 — ր դ դարին վերաբերող օրինակներից կարելի է նշել գծային և բազմագծային
հանրահաշվի զարգացումը Քելլիից մինչև Գրասսման ու Ֆրոբենյուս, ինչպես նաև ինտեգրալի
տեսությունը’ Դիրիխլեից մինչև Լեբեգ: Հակառակը, ավելի բազմաթիվ են արդյունավետ
մտահղացումների առաջացման դեպքերը, մտահղացումներ, որոնց երևան գալը թվում է
ոչնչով չի պայմանավ որված : Սրա փայլուն օրինակներն են, Ֆերմայի «անվ եր ջ իջեցման
մեթոդը» , Գաուսի «ն ե ր քի ն դիֆեր ենցիալ երկրաչափությունը» , Կումմերի «ի դ եալական
թվերը», Ռիմանի մակերևույթները, Պուանկարեի սիմպլեկտիցիալ տրոհումները և դիֆերենցիալ
հավասարումների որակական տեսությունը, Հենզելի թ ֊ա տ ի կ թվերը, Լերեի փնջերը և
սպեկտրալ հաջորդականությունները:
Այնուամենայնիվ, հարկ է հստակ պատկերացնել , թե ինչ պ ետք է հասկանալ «կոլեկտիվ
թվականին գտավ հարցի լուծումը ցան կացած հանրահաշվական հավասարման համար:
Այսպիսով, խոսքը գնում է այն մասին, որ անհրաժեշտ է պար զ ե լ այդ պրոբլեմների
ի ս կական բնու յթը (որը հաճախ խո ր ը թա ք ն վա ծ է լինում) , ինչը հաճախ բեր ում է
մաթեմատիկայի նոր բ նագավառի հայտնագործման: Այսպես, օրինակ, հանրահաշվական
հավասարումների լուծման խնդիրը նպաստե ց խմբերի տեսության և դաշտերի տեսության
առաջացմանը: Ինվարիանտների տեսության մեջ Հիլբերտի նշանավոր «վերջավորության
թեորեմները» , որոնք հնարավորություն էին տվել լուծելու ուղղակի մեթոդներով չլուծվող
խնդիրներ, նաև ժամանակակ ի ց կոմո ւտատիվհանրահաշվի ակունքները դարձան: Սկսած
1 9 4 0 թվականից վերացական հանրահաշվական երկրաչափությունը խթանվեց այն բանի
շնորրհիվ, որ հանրահաշվական բաղդատումները սկսեցին դիտարկել նաև թվերի տեսության
մեջ: Նշենք, որ մի որևէ պրոբլեմի լուծման համար անհրաժեշտ գաղափար ն ե ր ը հաճախ
վերցվում են մաթեմատիկայի այլ բնագավառից, ինչը դարձնում է ակնհայտ մաթեմատիկայի
ն ե ր քի ն միասնությունը, և մյուս կ ո ղմ ի ց մակ ե ր ե սայի ն և հ նացած մաթ ե մատի կայի
բաժանումը հանրահաշվի, երկրաչափության և անալիզի:
Եթե ա ն գա մ որևէ պր ո բ լ ե մ իր նա խ նա կա ն դ ր վա ծ ք ո վ չի հաջ ո ղ վ ո ւ մ լո ւ ծ ե լ ,
այն ո ւամ ե նայն ի վ նրա վրա թա փ ա ծ ջան ք ե ր ը շատ հաճախ հան գ ե ց ն ո ւ մ են ավելի
հ ետ ա ք ր ք ի ր ար դ յո ւ ն ք ն ե ր ի , քա ն նախապե ս տ ր ված պր ո բ լե մ ը : Այսպես, օ ր ի նակ ,
աշխատելովՖերմայի խնդրի լուծման ուղղությամբ, Կումմերը նախանշեց հանրահաշվական
թվերի դաշտերում բաժանական ո ւթյան տեսության փու լանշանները, իսկ Վարինգի և
Հոլդբւսխի պրոբլեմների վրա կատարված աշխատանքները նշանակալից չափով խթանեցին
թվերի անալիտիկ տեսության զարգացումը:
Այդ պատճառ ո վ հասկանալի է, թե ինչու 1 9 0 0 թվականի իր նշանավոր զեկուցման մեջ
Հիլբերտը այդքան մեծ նշանակություն էր տալիս մաթեմատիկական պրոբլեմներին, դրանք
դիտելով որպես մաթեմատիկայի զար գաց ման հինական աղբյուր: Հ նարավոր է, որ նա այդ
տեսակետը պաշտպանում էր այն պատճառով, որ այն ժամանակ պրոբլեմների լո ւծումից
կտրված ընդհանուր մաթեմատիկական տեսությունների ստեղծման միտում էր նկատվում:
Դժ բախտաբար , այն ժամանակվանից այդ միտումը միայն խորացել է, և հանգեցրել է նրան,
որ մաթեմատիկոսները ստիպված են լինում խեղ դվել միջակ աշխատությունների ծովում,
աշխատություններ, որոնցում ըստ Ռ. Թոմի, շարադրվում են «ան հ ետաք ր ք ի ր և անպետք »
տեսություններ: «Լուրջ» մաթեմատիկական պրոբլեմները , մասամբ հիշեցնում են կենդանի
էակ ն ե ր , բ նա կա ն է վ ո լ ո ւ ց իա յ ի ն ա ն հ րա ժ ե շտ է վ ե ր ա բ ե ր վ ե լ մ ե ծ հա ր գա ն ք ո վ :
Արհեստականորեն դ ր ված պրոբ լեմները, որոնք դր ված են միայն եղած ը ամեն կերպ
ընդհանրացնելու նպատակով, հազվադեպ են հանգեցնում կարևոր արդյունքի, ևժամանակի
լավագու յն մաթեմատիկոսները զ զ վան ք ո վ մերժում են նման անկապ զառան ցան ք ը , որը
արգելում է մաթեմատիկայի զարգացումը:
գ) Շատ հաճախ մաթեմատիկայի որևէ բնագավառ չի կարողանում զար գանալ իր
իսկական բնույթը պարզ դարձնող լավ նշանակումների բացակայության պատճառով: Տիպիկ
օրինակ է հանրահաշիվը. Դիոֆանտից մինչև Վիետ ու Լայբնից անհրաժեշտ եղավ 13 դար,
որպեսզի «ընդհանուր» հանրահաշվական հավասարումը գրվի տեսքով: Այս հանգամանքը
հասկանալի է դարձնում, թե ինչու հույները չ գ իտե ի ն հանրահաշիվ’ բառի այս օր վա
իմաստով: Պահան ջ վ ե ց մեկ հարյուրամյակ, որպեսզի անվերջ փոքրերի հաշիվը ստանա
վերջնական տեսք: Դրա հիմնական պատճառ ն այն էր, որ նախքան Նյուտոնը և Լայբնիցը
ոչ-ոք չէր առաջադ ր ե լ ածանց յալի և ինտեգրալի նոր գաղափար ն ե ր ի համար հարմար
նշանակումներ, ինչը հնարավորություն չէր տվ ե լ նաև բավական ի ն հստակ առանձ նացնե լ
աշխատանք » ասելով: Մաթեմատիկայում հազվադեպ են կազմվում իսկական կոլեկտիվներ,
ինչպիսիք կազմվում են փորձարարական գիտությունների բնագավառում, որտեղ աշխատակիցները
կարող են աշխատե լ միևնույն լաբորատորիայում: Հւսրդիի և Լիթթլվուդի
համագործակ ցո ւթյունը նման համագ ո ր ծակ ցո ւթյան հաճախ բ ե ր վ ո ղ օ ր ի նակ է. այն
սովորաբար ընթացել է նամակագրության միջոցով: ճիշտ այդպես էլ, երբ նկատում են, որ
ինչ-որ տեսություն կոլեկտիվ ստեղծագործության արդյունք է, ապա դրա տակ հասկանում
են այն, որ այդ տեսության մշակման վրա աշխատե լ են շատ մաթեմատիկոսներ, որոնք
աշխատե լ են միևնույն ժամանակաշրջանում, միևնույն ուղղությամբ և իրար տեղյակ են
պահել իրենց մտահղացումների մասին: Այդ պատճառով հարկ է համարել, որ պատմությունը
լիովին հաստատում է այն կարծիքը, թե մաթեմատիկական հայտնագործություններում
էականը մի բուռ մեծ մտածողների ստեղծագործություն է, մինչդեռ ավելի փոքր մասշտաբի
մաթեմատիկոսները նպաստում են մեծ արարողների մտքերի խորացման ու տարածման
խնդրով:
Հաս կանալ ի է, որ ան հատա կան առաջ նահ ե րթո ւթ յո ւ ն ը չի բացառ ո ւ մ միևնու յն
մտահղացման կամ թեորեմի միաժամանակյա հայտնադործումը տարբեր մաթեմատիկոսների
կողմից: Նման երևույթի հայտնի օրինակներ են էլիպտիկ ֆունկցիաները (միաժամանակ,
իրարից անկախ հայտնագործել են Գաուսը, Աբելը և Յակոբին), ոչ էվկլիդյան երկրաչափու թյունը
(միաժամանակ գ իտակ ց ե լ են Գաուսը, Լոբաչևսկին և Բոյան):
4. ՄԱԹՆՄԱՏԻԿԱՅԻ ԱՌԱՋԸՆԹԱՑԻ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԻՏՈԻՄՆՆՐԸ
Մենք տեսանք, որ բացառությամբ ոչ մեծ թվով պրոբլեմների, որտեղ առաջընթացը տեղի
է ունեցել նախնական տեխնիկայի կատարելագործման շնորհիվ, իսկական առաջընթացքը
մեծ մասամբ պայմանավորված է ուսումնասիրվող երևույթների ըմբռնման խորացման հետ,
որը սովորաբար տեղի է ունենում դրանք ավելի լայն շրջանակների մեջ դնելուց: Դասական
է իրական փոփոխականի անալիտիկ ֆունկցիաների օրինակը, որտեղ առաջին հայացքից
տարօրի նակ երևույթները (ինչպիսին է աստիճանային շարքի տարամիտությունը, որի
գումարը անալիտիկ ֆունկցիա էյուրաքանչյուր կետի շրջակայքում), անմիջապես ստանում
են իրենց բնական բացատրությունը, երբ անցնում ենք կոմպլեքս հարթություն: Հւսնգունորեն,
1 9 — ր դ դա ր ո ւ մ իրարից պետք է տարբերեին մի կողմից ինտեգրելի ֆունկցիաների Ֆյուրեի
շարքերը, մյուս կողմից զ ու գամ ետ եռանկյունաչափական շարքերը, որոնք կարող էին և
իրենց գումարների համար չլինել Ֆյուրեի շարքեր: Այս իրավիճակը պար զվ ե ց միայն այն
բան ի ց հետո , երբ հաս կացան , որ «Ֆ յ ո ւ ր ե ի շա ր ք » կար ո ղ են ո ւ ն ե նալ ոչ միայն
ֆունկցիաները, այլև ըն դհան րացված ֆունկցիաները:
Համարյա ակնհայտ է, որ ավելի ընդհանուր առարկաները, որոնք անհրաժեշտ է լինում
ներմուծել և ուսումնասիրել, ավելի «վ ե րացական » են, քան նախապես տրվածները: Միայն
վերացարկումը և ընդհանրացումն են հանգեցնում այն մասնակի երևույթի վերացմանը,
որը հատուկ է մասնավոր երևույթին և հաճախք ո ղար կ ո ւմ է գործի իրերի էությունը: Միայն
դրանց միջոցով է հնարավոր հայտնաբերել արտաքնապես իրարից կատարելապես տարբեր
հար ց ե ր ի մի ջ և ն ե ր ք ի ն խո ր ը կապե ր ը , պ ա ր զ ե լ ո ղ ջ մաթ ե մատ ի կայ ի խո ր քայ ի ն
մ իաս ն ո ւթ յո ւ ն ը :
Այսպիսով, մենք տեսնում ենք, թե ինչու ժամանակակ ից մաթեմատիկան անխուսափե լիորեն
պետք է հանգեր այնպիսի «կառ ո ւ ցված ք ն ե ր ի » դիտարկման, ինչպիսիք են խումբը,
օ ղակ ը , տ ոպո լ ո գ իական տարած ո ւթ յո ւ ն ը , օպե րատո ր ը , փո ւն ջ ը և այ լն: Պ ետ ք չէ
ան հան գ ստանալ , եթե այս զար գաց ո ւ մ ը տե ղ ի է ունենում բ նական ճանապար հ ո վ :
Արձանագրված զարմանալի հաջողությունները բավական են, որպեսզի այն արդարացվի:
Վտանգը, ինչպես նշվեց վերևում, կարող է գալ միայն նախորդներին անցնելու միտումով
ար ված անհիմն վերացարկման դեպքում: Օրինակ, « կավար ն ե ր ի » կամ ոչ զուգորդական
հանրահաշիվների վ ե րացական ուսումնասիրությունը չար դարաց ր ե ց դրանք նախկին
պրոբլեմների մեջ դիտարկելու հեղինակների հույսերը:
Կարե լի է զ գ ո ւ շանա լ նաև’ ն կատ ե լ ո վ իր մ ո լորո ւթյունների մեջ « ի նտ ո ւ իտ ի վ »
հասկացություններից հեռացող մաթեմատիկա: Իրականում, մաթեմատիկոսի «ինտուիցիան»
ավ ե լի շատ ե ր կարատև սովորու յթի ար դ յո ւ ն ք է, քան մեր զ գա ց մ ո ւ ն ք ն ե ր ի ց բխո ղ
սկզբունքներին դիմելը: Արա հետ կապված նկատվում է մի հետաքրքիր երևույթ, զ գայական
ի նտուիցիայի տեղափոխումը կատար ե լապե ս վ ե րացական առարկայի վրա: Բոլորից
զարմանալին այստեղ երկրաչափության լեզվի տարածումն է նրանից բավականաչափ
հեռու գտն վող մաթեմատիկական տեսությունների մեջ (ֆունկցիոնալ տարածություն, թվերի
երկրաչափություն, վերացական դաշտի վրա տրված հանրահաշվական երկրաչափություն
և այ լն) : Հավանաբար , շատ մաթ ե մատի կ ո ս ն ե ր ե ր կ րաչափո ւթյան լե զ վի մեջ իրենց
հետազոտությունների համար հրաշալի ուղղեցույց են գտնում:
5. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԶԱՐԳԱՑՄԱՆ ՊԱՏՃԱՌՆԵՐԸ ԵՎ
ԱՆԱՊԱԱԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ
Ոչ մեկի մտքո վ չի անցնի ժխտելու, որ մաթեմատիկայի գոյությունը պայմանավորված է
առօրյա կյանքի խնդիրներով, առարկաների հաշվումով կամ մեծությունների չափումով:
Հ ե ն վ ե լ ո վ այս ան վ ի ճ ե լի փաստի վրա, մտած ո ղ ն ե ր ի ամ բ ո ղ ջ մի դպր ո ց ուզում է
մաթեմատիկայի զարգացման մեջ տեսնել միայն արտաքին գործոններ, կամ բնագիտության
ու տեխնիկայի պահանջների նկատմամբ համապատասխան վերաբերմունք: Անկասկած է,
որ իր ան վ ե ր ջ փո քր ե ր ի ծագ ման հենց ակունք ներո ւմ մաթ ե մատի կական անալի զ ի
հիմնական մասը սերտորեն կապված էր մեխանիկայի, աստղագիտության և ֆիզիկայի հետ:
Այդ կապը չէր սահմանափակվում թվարկված գիտություններում ծա գած պրոբլեմներով,
որոնք մաթեմատիկայի համար դառնում էին նորանոր պրոբլեմների առաջացման աղբյուր,
այդ թվում ֆունկցիոնալ հավասարումների խնդիրների: Այն արտահայտվում էր նաև այդ
հավասար ո ւմ ն ե ր ի լո ւ ծման ը ն դ հան ո ւր մեթոդների ստե ղ ծ ո ւմ ո վ , մեթոդներ, որոնք
առաջացան զուտ ֆի զ ի կական սկզբունքները մաթեմատիկական լե զվո վ շարադրելուց:
Ավելին, արդ են հարյուր տար ի է, ինչ կիրառության նոր դաշտը (վիճակագրություն,
գործողությունների ուսումնասիրություն, հաշվիչ մեքենաներ) բաց է մաթեմատիկայի այլ
ճյուղերի’ հանրահաշվի, տրամաբանության համար, ինչը հանգեցնում է գաղափար ն ե ր ի
բնական և անխուսափելի փոխանակության: Այնուամենայնիվ, չնայած կիրառությունների
հետ մշտական կապի մեջ գտն վ ո ղ մաթեմատիկայի ճյուղերի ողջ կարևորությանը, նրանք
ժամանակակ ի ց մաթե մատի կայի հսկա ծառի մեծ մասը չեն կազմում: 19 ֊ր դ դարի
մաթեմատիկայի պատմությունը տալիս է դրա համար բավարար չափո վ օրինակներ: Այդ
շ ր ջան ո ւմ ա ռա ջա ցա ծ նոր ու մե ծ տե սո ւթյո ւ ն ն ե ր ի ց միայն հարմոն իկ անալ ի զ ը և
օպերատորների սպեկտրալ տեսությունն են, որ ծագել են ֆիզիկայի կամ աստղագիտության
կարիքներից, սակայն նույնը չի կարելի ասել այդ դարի մնացած նոր գաղափարների մասին,
ո ր ո ն ց ի ց ա ռա ն ձ նա պ ե ս կա ր և ո ր ն ե ր ն են. խ մ բ ե ր ը , ի ն վա ր ի ա նտ ն ե ր ը , թվ ե ր ի
հանրահաշվական տեսությունը, ոչ էվկլիդյան երկրաչափությունը:
Խո ստովանում եմ, որ ինձ չեն համոզում այդ տեսությունների առաջացման մասին
«ս ո ց ի ո լոգիական » բացատրությունները: Իհարկե, ակնհայտ Է, որքաղաքակրթութայն ինչ-
որ մակարդակ անհրաժեշտ Է « վ ե րացական » ձեռնածությունների զար գաց ման համար:
Ես հետաքրքրությամբ եմ սպասում այն սոցիոլոգին, որը ինձ ցույց կտա, թե ինչպե՞ս 1 8 — ր դ
դարի գերմանական փոքրիկ արքունիքների հասարակական միջավայրը անխուսափե լիորեն
պետք Է երիտասարդ Գաուսին բերեր կանոնավոր բազմանկյունը կարկինով և քանոնով
17 հավասար մասի բաժանելու խնդրին: Ինձ թվում Է, ֆանտաստի կ պատճառներ գտնելու
համար շատ հեռու գ նալ պետք չէ, երբ կարելի է նայել շուրջբոլորը, որպեսզի տեսնել այն
համընդհանուր հետաքրքրությունը, որ փոքր տարիքից զարգացնում են խաղերը, գրգռում
են մարդու բնական հետաքրքրասիրությունը ամեն տեսակ հանելուկները, գլուխկոտրուկները,
կրոսվորդները:
Պե ՞տք է նաև զարմանալ , դիտարկելով մաթեմատիկայի մեջ առկա տեսական-թվային
խնդիրների առատությունը, որ նկատվում է հունական շրջանից: Եվ եթե դրանցից մի քանիսը,
օրինակ, ամբողջաթիվ կողմերով ուղղանկյուն եռանկյունների կառուցումը, ներկայացնում
է որոշ գործնական հետաքրքրասիրություն, ապա բավական է բացե լ Դիոֆանտը, որպեսզի
գտն ե լ տասնյակ պրոբլեմներ, որոնք որևէ գո ծ նական կիրառություն չունեն և դիտարկվում
են միայն որպես սրամիտ ու դժվար խնդիրներ:
Անհրաժեշտ է նաև պատկ ե րաց նե լ այն դերը, որ խաղաց ե լ են ամբողջ թվերը անտիկ
փիլիսոփայության և կրոնի մեջ, մասնավորապես պիթագորցիների և նրանցից ազ դ ված
մտածողների վրա: Վերջիններս լցված էին ատելությամբ բոլոր նրանց հանդեպ, ովքեր ուզում
էին պախարակել ճշմարիտի ևԳեղեցիկի իմացության գործնական անփոփոխ հետաքրքրու թյունները,
որոնք հայտնվում են թվերի հատկություններում նրա համար, ով զբաղվ ում է
դրանց ուսումնասիրությամբ: Այսպիսով, հույների հետ միասին (նաև նրանց գ եղագիտական
հայացքները կիսող ժամանակակից մաթեմատիկոսների) մենք հեռու ենք այն մտածողների
կատաղ ի ուտիլիտարիզմից, որոնք մաթեմատիկայի մեջ տեսնում են միայն պար զ ա շխատանքային
միջոց, մի հայացք, որ ձևավորվել է 18 ֊ր դ դարում: Եթե այդ հայացքը գ ե ր ի շխանություն
ունենար, ապա դեռ արկանդում կխեղդեր շատ գեղեցիկ տեսություններ, որոնք
ստեղ ծվ ել են այն ժամանակներից ի վեր:
Այսպիսով, ես ենթադրում եմ, որ մենք հնարավորություն ունեցանք համոզվելու, որ
մաթեմատիկայի զար գաց ման հիմնական գործոնը ունի ներքին ծագում, մտածումը դրված
պրոբլեմների խորքային բնույթի մասին անկախ դրանց ծագումից: Նշենք նաև հաճախ
հանդիպող մի հակասական երևույթ, երբ արտաք ի ն աննշան խնդիրը հանգեցնում են
գեղեցկագու յն և հզոր տեսությունների: Օրինակ, անվերջ փոքրերի տեսության ձևավորման
պահից ս կսած մարդիկ տիրապետում էին հան րահաշվական հավասարման արմատի
մոտարկման կամ որոշյալ ինտեգրալի արժ եքի հաշվման գործնական մեթոդներին: Դա,
բնականաբար , կարող էր մարդկանց հեռու պահել հանրահաշվական հավասարումները
արմատան շան ներո վ լուծելու խնդրից, կամ էլիպսի աղեղի երկարությունը արտահայտո ղ
ֆունկցիայի հետազոտումից , քանի որ այդ խնդիրների լուծումը ըստ էության գործնական
տեսակետի ց ոչինչ չէր տալիս: Սակայն, հայտնի է, որ տեղի ունեցավ ճիշտ հակառակը,
որևէ գ ո ր ծ նական նպատակ ն ե ր ի ց ազատ, ճ շ մար իտի որոնման ի դ եալո վ նե ր շ ն չված
մաթ ե մատի կ ո ս ն ե ր ի համառ ո ւթյան ն ենք մեն ք պ ա րտական խմ բ ե ր ի տե ս ո ւթ յան և
ժամանակակ ից հանրահաշվական երկրաչափության ծնունդի համար:
Ոչ հեռու անցյալում մենք ականատեսն էինք անընդմեջ կրկնվող մի իրադրության, որը
անըմբռնելի էր ֆիզիկոսների և փիլիսոփաների համար, երբ զարման քո վ նկատում էին, որ
ֆիզիկայի հե ղափոխական հայեցակարգերի, օրինակ հարաբերականության տեսության,
ք վա նտ ա յ ի ն մ եխան ի կայ ի , զ ա ր գա ց մ ա ն համար ա ն հ րա ժ ե շտ մաթ ե մատի կական
ապարատը դրանից շատ առաջ ստե ղ ծ ված և զար գացած Է եղել մաթեմատիկայի ներքին
խնդիրն երի համար առան ց դյուզն իսկ կասկածի, որ մի օր դրան ք կ գտն ե ն ինչ-որ
կիրառություն:
Ինձ մնում Է մի քան ի խո սք Էլ ասել մաթեմատիկայի զար գաց ման մեջ պատմական
անսպասելիությունների մասին, քան ի որ չպետք է կարծել , թե նրա զարգացումը ընթացել Է
սահուն և կարգավորված ‘ անգամ բար ենպաստ ժամանակաշրջաններում: Որոշ’ անգամ
հազարամյակներ առաջ դրված, պրոբլեմների լուծումը ոչ մի քայ լ առաջ չի գնացել: Դրանցից
ավելի նշանակալիցներն են. Ֆերմայի կամ Մերսեննայի պար զ թվերի որոշումը, էյլերի
հաստատունի իռացիոնալությունը: Առանց նկատելի պատճառ ների որոշ ժամանակահատվածներ
մաթեմատիկայի համար եղել են անպտուղ, ինչպես 1 7 8 5 — 1 7 9 5 թ.թ. ժամանակահատվածը,
երբ ինքը Լագրանժը, հանգեց այն մտքին, որ մաթեմատիկական հայտնագործությունների
վերջը եկել Է: Հակառակը, մենք ականատես ենք այն բանին, որ երկու
համաշխարհային պատերազմներից հետո, առանց նկատելի պատճառի, տարբեր կողմերից
հեղեղի պես թափվեցին հետաքրքիր մտքեր:
Անհրաժեշտ Է հաշվի առնել նաև դպրոցներն ու նորաձևությունը. Ֆերմայի մահից հետո
7 0 տար վա ը ն թաց ք ո ւ մ մաթ ե մատի կ ո ս ն ե ր ը չ զ բա ղ վ ե ց ի ն հան րահաշ վ ո վ և թվերի
տեսությամբ, զբաղվելով դարաշրջանի խոշորագույն ստեղծագործության անվերջ փոքրերի
հաշվի ձևավորման գործում մրցակցելով: Մեր ժամանակներում որոշ մաթեմատիկական
շրջանակներում (ռուսական և լեհական դպրոցները 1920-1940 թ.թ., Կուրանտի գործընկերները
Նյու-Յորքում) մոդայիկ Էին համարվում միայն ֆունկցի ոնալ անալիզը, բազմությունների
տեսությունը և տոպոլոգիան, մինչդեռ մաթեմատիկայի մնացած բաժինները արհամարհված
Էին: Վերջապես, որոշ տեսություններ, փայլուն հաջողություններից հետո դուրս մնացին
արենայից կամ նոր խնդիրների բացակայության կամ Էլ անասելի դժվարության պատճառով:
Նման տեսությունների օրինակ են ինվարիանտների տեսությունը, կոմպլեքս տիրույթում
դիֆերենցիալ հավասարումների տեսությունը:
Ոչ մի հիմք չկա համարելու, որ ներկայումս մաթեմատիկան անկում Է ապրում: Տար ի չի
լինում, որ չգտնվի բացառ ի կ օ ր ի գ ի նալ գաղափար ն ե ր ո վ մի մաթեմատիկոս, և այն Էլ
այնպիսի գողափարներով, որոնք հնարավորություն են տալիս լուծելու իրենց նախորդների
կողմից չ լո ւ ծ ված խնդիրներ: Վերջին 2 0 տարում աշխարհում զ գալի ո ր ե ն մե ծաց ե լ Է
ուսումնասիրությունների թիվը:
Հա ճա խ ինձ հար ց ն ո ւմ են, ար դ յո ՞ ք մաթ ե մատի կան չի խե ղ դ վ ի իր հարաճ ո ւն
առաջընթացի մեջ. այդ քան բազ մաթի վ և հասկացություններով ու փաստե ր ո վ այդքան
հարուստ տեսությունները մի մարդու համար ֆիզիկապես անհնար Է յուրացնել, ինչը բերել
Է ծայրահեղ նեղ մաս նագիտացման և տեսությունների առաջանցիկ տարանջատման, ինչն
Էլ, վերջին հաշվով, տանում Է դրանց անկման: Մեզ իրոք հայտնի են նման օրինակներ,
բայց բար ե բախտաբար, ինչպես մենք անընդհատ կրկնել ենք, մաթեմատիկայում գոյություն
ունի ունիֆիկացիայի հզոր միտում, որը փոքրացնում Է այդ վտանգը: Եվ հաճախ հին
մեթոդներով ստաց ված երկար և բազմաշունչ ապացուցումները փոքրանում զբաղեցնում
են շատ նեղ տեղ, շնորհիվ ընդհանուր մոտեցումներով կատար ված վերլուծությունների կամ
նոր մեթոդների: Այսպիսով, մաթեմատիկոսները լուրջ պատճառ չունեն կասկածելու, որ իրենց
գիտությունը չի ծաղկի, առ նվազն այն ժամանակաշրջանում, քան ի դեռ գոյություն ունի
ներկա քաղաքակրթությունը:
Ռուսերենից թարգմանությունը Ա. Մկ րտչ յան ի
Մաթեմատիկան Դպրոցում, Մաթեմատիկա, mathematika, mathematikan dprocum
Математика в школе.
Библиотека учителя математики.
10
Околоadmin
