Метод математической индукции

Двуличная сучность Ксении Собчак.

§ 190. Метод математической индукции.

При выводе формулы любого члена арифметической и
геометрической прогрессий мы пользовались рассуждениями,
которые носят название метода математической индукции.
Сущность этого метода заключается в следующем: если
надо установить справедливость некоторой формулы» в которой
фигурирует натуральное число и, то:
1) проверяем, что предполагаемый закон имеет место для
частного случая п = 1;
2) предполагаем, что закон справедлив при каком-нибудь
определенном значении л = &, и доказываем, что в таком
случае он справедлив и при я = * + 1 ; отсюда будет следовать,
что закон вообще справедлив при любом значении я,
И бо w 11 liOC гь его бала обнаружена, например, при
я = 1 » а по доказанному он тогда верен и при я = 2, а раз
справедлив ври я = 2, то справедлив и при п — 3, и т. д.
Иногда эти рассуждения называют способом доказательства
от к к л —j— I • Рассмотрим пример.
Пр име р. Доказать» что при всяком натуральном я имеет
место равенство

339 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Свойства формулы бинома.

так . щ 2k2 -f- 7k 6 = (k + 2) (2fe -(- 3).
Непосредственная проверка показала, что формула верна
при п — 1 и п = 2; по доказанному она будет справедлива
также при-» = 3, а потому и при п = 4, следовательно, и
при п — 5 и вообще при любом натуральном п.

340 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Свойства формулы бинома.

Упражнения

1. В какую сумму обратится срочный вклад в 540 руб.. поло-
женный в сберкассу на 15 лет по 3%?
2. Какую сумму надо внести в сберкассу в виде срочного
вклада, чтобы по истечении 10 лет иметь на сберкнижке сумму
800 руб.?
3. По срочным вкладам государство платит 3% дохода,
по обычным вкладам — 2%. Сколько теряет вкладчик, помещая
свои сбережения не в виде срочного вклада, а в виде обычного
вклада, на сумме 2500 руб. в течение 5 лет?
4. В течение скольких лет сумма вклада удвоится, если доход
составляет: 1) 2%? 2) 3%?
5. При скольких процентах вклад в 375 руб. обратится через
20 лет в сумму 700 руб.?
6. Во сколько лет можно погасить трехпроцентную ссуду
в 2000 руб. ежегодными уплатами по 200 руб.?
7. Определить размер ссуды, полученной кооперативом из расчета
4 — i -%, если срочная уплата в течение 15 лет составляет
450 руб.
8. Каков должен быть ежегодный срочный взнос, чтобы по истечении
20 лет при 3% (сложных) иметь на сберкнижке сумму
2000 руб.?
9. Население одного промышленного города увеличивается
в среднем на 6% в год. Через сколько лет оно удвоится?
10. Ежегодный прирост древесины составляет 3,25%. Сколько
кубометров даст участок леса по истечении 50 лет,’ если в настоящее
время в нем около 25 тыс. кубометров древесины?
11. В городе в настоящее время числится 360 тыс. жителей,
30 лет тому назад их было около 200 тыс. Через сколько лет
можно ожидать, что в том же городе будет 500 тыс, жителей,

341 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Свойства формулы бинома.

годы?
j f i _i_
12. Вычислить: 1) А2; 2) Af, 3) ; 4) 7 7 ■
5 7
13. Решить уравнения: 1) А2— 42, 2) А^ = 56х.
14. Вычислить: 1) Р 3; 2) Я7; 3) 5
15. Вычислить: 1) Сд; 2) СЦ; 3) С^.
16. Сколько различных четырехзначных чисел можно написать
девятою значащими цифрами, из которых ни одна цифра не повторяется?
17. Сколько различных делегаций можно выбрать из группы
в 12 человек, если в делегацию входят три человека?
18. Среди перестановок из шести элементов сколько будет
таких, которые начинаются с одного определённого элемента?
19. Написать разложение бинома: 1) (а + &)6; 2) (У х + а)А’,
3) (У7 + У7)8; 4) (У Т — а?; 5) (*2 — — J .
20. Найти:
1) третий член разложения (л: З)5;
2)’ седьмой член разложения (2х — З)10;
3) восьмой член разложения (У х — У У У 2.
21. Найти тот член разложения (У х + а ) 9, который содержит
букву х в Kj6e (т. е. л:3).
22. Найти восьмой член разложения , если коэффициент
третьего члена равен 66.
Доказать методом математической индукции, что:

342 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Свойства формулы бинома.