Модули

87 Разложение на простые множители. 

Подмодуль A• С M называется аддитивным дополнением, сокращенно а.д., для подмодуля A в M, если A• —
минимальный подмодуль в M со свойством A + A• = M.
Подмодуль A’ С M называется дополнением по пересечению, сокращенно д.п., (или просто дополнением) для
подмодуля A в M, если A’ — максимальный подмодуль в M со свойством A П A = 0.
Подмодуль H модуля M называется дополнительным, если H — дополнение некоторого подмодуля модуля M;
вполне инвариантным, если f (H) С H для всякого эндоморфизма f модуля M.
Последовательность модульных гомоморфизмов A —— B —— C называется точной, если Im f = Ker g. С подмодулем
N модуля M ассоциируется точная последовательность 0 — N — M — M/N — 0, где отображение N — M
есть вложение, а M — M/N — канонический эпиморфизм, x — x + N, x € M.
Если M и X — Л-модули, то через Horn# (M, X) обозначается множество всех Л-гомоморфизмов модуля M в X.
Тогда Horn# (M, X) есть абелева группа относительно поточечного сложения гомоморфизмов. Если Л — коммутативное
кольцо, то Hom# (M, X) можно превратить в Л-модуль, полагая (af) (x) = a (f (x)), a € R.
Пусть Y — R-модуль и M —- X — Л-гомоморфизм. Тогда имеем индуцированные гомоморфизмы
f * = Hom# (f, 1у) : Hom# (X, Y) — Hom# (M, Y),
f* = Hom# (1y, f) : Hom# (Y, M) — Hom# (Y, X),
задаваемые правилами g — g о f и g — f о g соответственно.
Если Ai (i € I) — некоторое семейство левых Л-модулей, то декартово произведение M = П Ai естественным
iei
образом можно рассматривать как левый Л-модуль, если модульные операции определить покомпонентно (говорят
также «покоординатно»):
(… ,ai,…)+(… ,bi,…) = (… ,ai + bi,…) и r (… ,ai,…) = (.. . ,rai,.. .)
для любых (… ,ai,…), (… ,bi,…) € M и r € Л. В этом случае модуль M = П Ai называется прямым произведе-
iei
нием семейства Ai (i € I). Подмодуль в Ai, состоящий из элементов (. . . , ai, . . .), у которых множество индексов
iei
i € I с ai =0 конечно, называется внешней прямой суммой семейства Ai (i € I); обозначение: 0 Ai. Если все
iei
Ai = A (i € I), то говорят о прямом произведении (соответственно, прямой сумме) из I изоморфных копий модуля
A, и пишут ГГ A или A’1’1 (соответственно, 0 A).
\i\ ‘i’
Если Mi (i € I) — семейство подмодулей модуля M со свойствами M = ^ Mi и Mi П (^ Mj) =0, то в этом
iei j=
случае говорят, что M является (внутренней) прямой суммой своих подмодулей Mi (i € I), и пишут M = 0 Mi;
iei
подмодули Mi называются прямыми слагаемыми модуля M. Как и в случае колец, различие между внутренней и
внешней прямой суммой — чисто теоретико-множественное. Действительно, если M = 0 Ai — внешняя прямая
iei
сумма как выше, то соответствие ai — (… , 0,ai, 0,…) является изоморфизмом между модулем Ai и подмодулем Ai
модуля M всех векторов (… , 0,ai, 0,…). Модули Ai (i € I) порождают внутри M модуль A, являющийся прямой
суммой подмодулей Ai, и M = A. Если M = П Mi (соответственно, M = 0 Mi), то эпиморфизм ni: M — Mi,
iei iei
ni (… ,ai,…) = ai € Mi, называется канонической проекцией модуля M на прямой множитель (соответственно,
прямое слагаемое) Mi.
Модуль M называется неразложимым, если 0 и M — единственные подмодули, являющиеся прямыми слагаемыми
в M.
Модуль M называется строго неразложимым, если все фактормодули модуля M являются неразложимыми.
Модуль M называется регулярным, если каждый его циклический подмодуль является прямым слагаемым в M.
Элемент a модуля #M называется периодическим, если ^(a) содержит элемент, не являющийся делителем нуля в
Л. Множество t(M) всех периодических элементов модуля M называется его периодической частью. Говорят, что
M — модуль без кручения (в смысле Леви), если t(M) = 0.
Пусть #M — ненулевой модуль и S — подмножество в M. Говорят, что S — базис модуля M, если S = 0, S
порождает M и линейно независимо, т.е. из rimi + … + rnmn = 0, ri € Л, mi € M, следует ri = 0 (i=1, … ,n).
Всякое кольцо с 1, рассматриваемое как модуль над собой, обладает базисом, состоящим из 1.
Пусть I — непустое множество и пусть #Л i = #Л для каждого i € I. Модуль F = 0 Л i обладает базисом,
iei
состоящим из элементов ei, i-й компонентой которых является единичный элемент из Лi, а все другие компоненты
равны 0.
Левый модуль M над кольцом Л называется свободным циклическим, если #M = #Л (т.е. существует такой m € M,
что M = Лт и £(m) =0; в этом случае m называется свободным образующим модуля M).

88 Разложение на простые множители. 

Под ненулевым свободным модулем понимается модуль, обладающий базисом, т.е. ненулевой свободный модуль
является прямой суммой свободных циклических модулей.
Модуль M называется конечно точным, если существует такое п € N, что модуль Mn содержит свободный циклический
модуль.
Пересечение J(M) ядер всех гомоморфизмов модуля M в простые модули называется радикалом Джекобсона модуля
M; J(M) = M, если в M нет максимальных подмодулей, J(M) совпадает с пересечением всех максимальных
подмодулей модуля M, если они существуют.
Модуль называется полупримитивным, если J(M) = 0.
Модуль называется цепным, если все его подмодули образуют цепь.
Модуль называется модулем Безу или локально циклическим, если каждый его конечно порожденный подмодуль
является циклическим. Модуль называется вполне циклическим, если все его подмодули являются циклическими
модулями.
Модуль называется конечномерным (в смысле Голди), если он не содержит бесконечных прямых сумм ненулевых
подмодулей.
Модуль M, являющийся левым R-модулем и правым S-модулем одновременно, причем (rm)s = r(ms) для r € R,
s € S, m € M, называется R-S-бимодулем. В этом случае используется обозначение rMs.

Задачи

15.1. а) Пусть M — абелева группа, R — кольцо и f: R — End M — кольцевой гомоморфизм. Операция ra = f(r)(a)
(r € R, a € M) превращает M в левый R-модуль.
б) Каждый левый R-модуль M может быть реализован с помощью указанного в а) способа, причем единственным
образом.
в) Сформулируйте и докажите аналогичные а) и б) утверждения для кольцевых антигомоморфизмов f : R — End M
и правых R-модулей M. Кольцевой антигомоморфизм f — это такой аддитивный гомоморфизм, что f (rs) =
f (s)f (r) для всех r,s € R.
15.2. Пусть в ситуации упр. 15.1, а) f и g — кольцевые гомоморфизмы R — End M. Соответствующие им два R-
модуля M изоморфны в точности тогда, когда g = фf для некоторого внутреннего автоморфизма ф кольца End M
(внутренние автоморфизмы определяются в 12.52).
15.3. Пусть M — левый R-модуль. Полагая ar = ra (r € R, a € M), получаем структуру правого модуля на M
над кольцом R°, противоположным к R (см. 11.22). Таким образом, каждый левый модуль над коммутативным
кольцом R можно считать правым R-модулем и наоборот.
15.4. Пусть M — левый R-модуль и S = EndR M. Для любых двух эндоморфизмов f и g из S определим произведение
f о g, положив (f о g)(a) = g(f (a)) для всех a € M. Относительно этого нового умножения все эндоморфизмы
модуля M образуют еще одно кольцо эндоморфизмов S°. Кольца S и S° противоположны в смысле 11.22.
15.5. Пусть V — векторное пространство размерности п над полем F. В соответствии с 15.4 имеем два кольца
операторов пространства V. Каждое из них известным способом изоморфно кольцу всех п x n-матриц над полем
F. Какое из этих колец соответствует записи матриц «по столбцам», какое — «по строкам»?
15.6. Пусть A — R-модуль. Для любого R-модуля B каждый аддитивный изоморфизм A — B, не являющийся
R-модульным, дает структуру R-модуля на A, отличную от исходной. При этом, «новый» R-модуль A изоморфен
R-модулю B. Наоборот, если на A имеется еще одна R-модульная структура с тем же сложением, то существует
аддитивный изоморфизм модуля A на какой-то R-модуль B, не являющийся R-модульным.
R-модуль A называется модулем с однозначным модульным умножением или, кратко, UM-модулем, если на группе
A нельзя задать другого R-модульного умножения, т.е. имеющаяся на A структура R-модуля единственна.
15.7. Следующие свойства R-модуля A эквивалентны:
а) A — UM-модуль;
б) существует единственный гомоморфизм колец R — End A;
в) для любого R-модуля B всякий аддитивный изоморфизм A на B является R-модульным.
Аддитивный гомоморфизм д: R -— M, где M — некоторый R-R-бимодуль, называется дифференцированием (со
значениями в M), если д(^) = ^(s) + д(r)s для всех r,s € R (ср. с 11.45).
15.8. Пусть A и B — R-модули.
1) f: A -— B — аддитивный, но не R-модульный гомоморфизм. Тогда на группе B 0 A существует R-модульное
умножение, отличное от естественного умножения r(b + a) = rb + ra (r € R, b € B, a € A), имеющегося в прямой
сумме B 0 A.

89 Разложение на простые множители. 

2) Группа Hom (A, B) является R-R-бимодулем, где модульные произведения rf и fr (r € R, f € Hom (A, B))
задаются равенствами (rf )(a) = rf (a) и (fr)(a) = f (ra), a € A.
3) Любой аддитивный гомоморфизм f: A -— B дает дифференцирование дf: R — Hom (A, B), где дf (r) = rf — fr,
r € R. дf — внутреннее дифференцирование, определяемое f; оно отлично от нуля в точности тогда, когда f — не
R-модульный гомоморфизм.
15.9. (См. 15.8). Пусть д: R -— Hom(A,B) — ненулевое дифференцирование. В таком случае на группе B 0 A
существует R-модульное умножение, отличное от естественного умножения, имеющегося в прямой сумме B 0 A.
15.10. Пусть даны кольца S и R и кольцевой гомоморфизм e: S — R. На всяком левом R-модуле A можно задать
структуру левого S-модуля по правилу sa = e(s)a для всех s € S, a € A. Этот S-модуль A называется притягивающим
S-модулем. Аналогично, правый R-модуль можно превратить в правый S-модуль. В частности, R является
притягивающим левым и правым S-модулем.
15.11. Пусть e: S — R — гомоморфизм колец и A — R-модуль. Тогда:
а) всякий R-подмодуль в A будет S-подмодулем;
б) если f: A -— B — гомоморфизм R-модулей, то f будет гомоморфизмом S-модулей;
в) если e — сюръективный гомоморфизм, то всякий S-подмодуль в A будет R-подмодулем и любой S-гомоморфизм
будет R-гомоморфизмом.
Кольцо R называется кольцом с однозначным сложением, или UA-кольцом, если на R нельзя задать другого
сложения так, чтобы R было кольцом относительно этого нового сложения и старого умножения.
15.12. 1) Если существует мультипликативный изоморфизм колец R и S (т.е. изоморфизм их мультипликативных
полугрупп), не являющийся аддитивным, то на R можно так определить другое сложение, что R становится
кольцом. Таким образом, R не UA-кольцо. Верно и обратное.
2) R есть UA-кольцо в точности тогда, когда любой мультипликативный изоморфизм R — S является кольцевым.
15.13. 1) Для любого кольца R и натурального числа п ^2 кольцо всех п x n-матриц и кольцо всех нижних
треугольных п x п-матриц над кольцом R являются UA-кольцами.
2) Прямое произведение UA-колец есть UA-кольцо.
R-модуль M называется модулем с однозначным сложением (кратко, UA-модулем), если на M нельзя задать
другой операции сложения так, чтобы M был модулем над кольцом R относительно нового сложения и прежнего
модульного умножения.
Отображение f: M — N левых R-модулей называется R-однородным, если f (rx) = rf (x) при всех r € R, x € M.
15.14. Пусть M и N — R-модули и f — R-однородная биекция M на N, не являющаяся изоморфизмом. С помощью
f на M можно задать другое сложение так, что M остается R-модулем со старым R-модульным умножением.
При этом, «новый» R-модуль M изоморфен R-модулю N. Обратно, если на M имеются две структуры R-модуля с
различными операциями сложения, то существует R-однородная биекция M на какой-то модуль N, не являющаяся
изоморфизмом.
15.15. R-модуль M есть UA-модуль в точности тогда, когда любая R-однородная биекция M — N является изоморфизмом.
15.16. Если все R-модули являются UA-модулями, то R есть UA-кольцо. Обратное не всегда верно.
15.17. Пусть R — кольцо всех п x n-матриц (п ^2) над некоторым кольцом и M — произвольный R-модуль. Тогда
каждое R-однородное отображение M — M есть эндоморфизм.
15.18. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем F и а — некоторый его оператор. Проверить,
что V есть модуль над кольцом многочленов F[x]. Соответствующее модульное умножение определяется формулой
f (x) •a = f (a)(a) (f (x) € F[x], a € V). Что представляют собой подмодули этого модуля? В терминах минимального
многочлена оператора а выяснить, когда V — неразложимый модуль.
15.19. Всякая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел Z. Обратно, если A — Z-модуль с
модульным умножением о, то k о a = ka для всех k € Z и a € A. Таким образом, Z-модули и абелевы группы можно
считать одними и теми же объектами.
15.20. Если R — локальное кольцо, то J(R) — единственный его максимальный левый (соответственно, правый)
идеал, и состоит он из всех необратимых элементов кольца R.
15.21. Для любого левого R-модуля A справедлив изоморфизм левых R-модулей HomR(R, A) = A. Найдите обратный
изоморфизм.
15.22. Пусть R — кольцо, Rn = M(n,R) и п ^ 1. Следующие кольца изоморфны:
а) EndR (Rn) и Rn; б) EndRn (Rn) и R.
15.23. 1) Пусть f — любое отображение базиса {Pi}i^j свободного модуля rP в произвольный модуль rM. Тогда
правилом f (^2 aiPi) = ^ aif (Pi), где ai € R, корректно определен гомоморфизм f: P — M.

90 Разложение на простые множители. 

2) Пусть m — кардинальное число, #M — m-порожденный модуль, P — свободный модуль с базисом мощности
m. Тогда существует эпиморфизм f: P -— M. Следовательно, каждый модуль является гомоморфным образом
свободного модуля.
15.24. Если M — максимальный правый идеал кольца Л и s € R\M, то s-1 M = {r € Л \ sr € M} также является
максимальным правым идеалом и R/s-1M = Л/M.
15.25. Если Л — коммутативная область главных идеалов и M — свободный Л-модуль с базисом, содержащим
более одного элемента, то каждый эндоморфизм модуля M есть сумма двух его автоморфизмов (ср. с 11.17).
15.26. Для модуля M# равносильны следующие условия:
а) M — дистрибутивный модуль;
б) (A + B) П (A + G) = A + B П G для любых A,B,G € L(M);
в) (m + n) Л = тЛ П (m + п) Л + пЛ П (т + п) Л для любых m,n € M.
15.27. Дистрибутивность модуля M равносильна как дистрибутивности всех его подфакторов, так и дистрибутивности
всех его 2-порожденных подмодулей.
15.28. Для модуля M# равносильны следующие условия:
а) M — дистрибутивный модуль;
б) для любых m,n € M существует такой a € Л, что maR + п (1 — a) Л С mR П пЛ;
в) для любых m,п € M существуют такие a, b,c,d € Л, что 1 = a + b, ma = пс и пЬ = md;
г) для любых m,п € M существует такой правый идеал B кольца Л, что (m + п) Л = mB + nB.
15.29. Пусть M# — дистрибутивный модуль. Тогда:
а) если m,n € M и mR П пЛ = 0, то существует такой a € Л, что ma = п (1 — a) = 0;
б) Hom#(G, H) = 0 для всех таких G,H € L(M), что G П H = 0;
в) Hom# (G/ (G П H) ,H/ (G П H)) = 0 для любых G,H € L(M);
г) Hom# (M/H,M/G) = 0 для любых таких G,H € L(M), что G + H = M.
15.30. Следующие условия равносильны:
а) любые два подмодуля модуля M сравнимы по включению (т.е. M — цепной модуль);
б) любые два циклических подмодуля модуля M сравнимы по включению.
15.31. Для модуля M# равносильны следующие условия:
а) M — модуль Безу;
б) каждый 2-порожденный подмодуль модуля M является циклическим;
в) для любых m,n € M существуют такие a, b,c,d € Л, что m = (ma + nb) с и n = (ma + nb) d.
Пусть даны кольца R, S и R-S-бимодуль M. Обозначим через ^ R M множество всех матриц вида ^ 0
где r € R, s € S, m € M . Относительно обычного матричного сложения и умножения, выполняемого по правилу
ri mi r2 m2 = rir2 rim2 + mis2
0 si 0 s2 = 0 sis2
является кольцом, называемым кольцом обобщенных (треугольных) матриц. R M
0S
11553.32 2р. Радикал Дждек бо бсона кольца I 0 s J (р авRе н IM ^ \ ( J (Л) M j(S)
15.33. Кольцо 0Л S
M артиново слева (справа) тогда и только тогда, когда Л и S — артиновы слева (справа)
кольца и M — артинов Л-модуль (S-модуль). Аналогичное утверждение верно для свойства нетеровости кольца
(ср. с 13.82, 13.83).
15.34. Эпиморфизм f : M — N модулей расщепляется в точности тогда, когда существует такой гомоморфизм
g: N — M, что fg = 1^.
Идемпотентный эндоморфизм e модуля M называется проекцией M на e(M).
15.35. 1) Для подмодуля N модуля M равносильны следующие условия:
а) N является прямым слагаемым модуля M;
б) существует проекция модуля M на N;
в) существует такой эпиморфизм h: M — N, что h(x) = x для всех x € N;

91 Разложение на простые множители. 

г) существуют такие гомоморфизмы f: М — N, g: N — М, что fg = 1n — тождественный автоморфизм модуля
N.
2) Для проекций e,t ненулевого модуля лМ имеет место равенство Im e = Im t в точности тогда, когда t = e + (1 —
e)fe для некоторого f G En^ M.
15.36. Пусть М = A 0 B — прямое разложение модуля М. Покажите, что фактормодуль М/A изоморфен модулю
B.
15.37. Пусть A — модуль и М = A 0 A = {х + y | x,y G A}. Положим D = {a + a | a G A}. Докажите, что D —
подмодуль в М и М = A 0 D.
15.38. Пусть модуль М = A 0 B и N — подмодуль в М, причем A С N. Тогда N = A 0 (N П B).
15.39. Пусть модуль М = A 0 B и N — такой подмодуль в М, что N = X 0 У, где X С A, У С B. Тогда
М/N = A/X 0 B/У.
15.40. Для подмодулей A и B модуля М докажите существование:
а) вложения М/^ П B) — М/A 0 М/B;
б) точной последовательности 0 — A П B — A 0 B — A + B — 0.
15.41. Пусть
0— A f B 9 C —0
«1 01 71
0— X У ; У Z —0
— коммутативная диаграмма модулей с точными строками, причем — мономорфизмы. Тогда в является
изоморфизмом в точности тогда, когда а и y — изоморфизмы.
15.42. Пусть S = En^ М. Следующие условия эквивалентны:
а) лМ неразложим;
б) Ss неразложим;
в) sS неразложим;
г) 0 и 1 — единственные идемпотенты в S.
15.43. Пусть R = Z^°. Найдите в модуле Дл подмодуль М, не имеющий конечной системы образующих. Значит,
подмодуль циклического модуля может не быть циклическим, а подмодуль конечно порожденного модуля может не
быть конечно порожденным.
15.44. 1) Периодическая часть модуля над коммутативным кольцом является его подмодулем.
2) Если М — правый модуль над правым кольцом Оре R, то его периодическая часть t(M) является является
подмодулем в М.
15.45. 1) Любой подмодуль в модуле М конечно порожден тогда и только тогда, когда М удовлетворяет условию
максимальности для подмодулей.
2) Модуль М конечно порожден тогда и только тогда, когда множество собственных его подмодулей индуктивно,
т.е. объединение произвольной цепи собственных подмодулей модуля М снова является собственным подмодулем в
М. В частности, всякий подмодуль модуля М содержится в некотором максимальном.
15.46. Расширение конечно порожденного модуля при помощи конечно порожденного модуля снова есть конечно
порожденный модуль.
15.47. Аннулятор Ann М левого R-модуля М является двусторонним идеалом кольца R, и операция (r+Ann М)х =
rx, r G R, x G M, наделяет M структурой точного R/ Ann M-модуля.
15.48. Пусть У — R-модуль. Докажите, что:
а) для всякой точной последовательности A —— B —— C — 0 R-модулей индуцированная (см. введение к § 15)
последовательность
0 — Пошл (C, У) —— Пошл (B,У) —— Пошл (A, У)
точна;
б) для всякой точной последовательности 0 — A —— B —— C R-модулей индуцированная последовательность
0 — Пошл (У, A) —— Пошл (У, B) —— Пошл (У, C)
точна.
15.49. Пусть (*): 0 — A —— B —— C — 0 — точная последовательность модулей. Эквивалентны следующие
условия:

92 Разложение на простые множители. 

а) существует гомоморфизм h: C — B со свойством g о h = 1с;
б) существует гомоморфизм d: B — A со свойством d о f = 1 А .
При выполнении этих условий имеют место соотношения:
B = Ker g 0 Im h, B = Im f 0 Ker d, B = A 0 C.
Если выполнены условия этого упражнения, то говорят, что последовательность (*) расщепляется.
15.50. Если B — ненулевой подмодуль модуля M и A — максимальный подмодуль среди подмодулей, имеющих
нулевое пересечение с B, то B + A — существенный подмодуль в M.
15.51. Пусть Mr, Nr — модули над кольцом R. Тогда:
а) если I — правый идеал кольца R, f : I — M — гомоморфизм, то f продолжается до некоторого гомоморфизма
g: Rr —— M, если и только если существует такой m € M, что f (x) = mx для всех x € I;
б) если A € L (N), h € HomR (A, M), то существует такой существенный подмодуль B модуля N и такой гомоморфизм
f € HomR (B,M), что A С B, h продолжается до f и f (B) = h (A).
Пусть A — правый идеал кольца R с 1. Его идеализатором называется множество I (A) = {r € R \ ra € A, a € A}.
15.52. 1) Идеализатор I (A) — наибольшее подкольцо в R, содержащее A в качестве идеала.
2) Отображение f — f (1 + A) является кольцевым изоморфизмом EndR (R/A) = I (A) /A.
3) Если A — максимальный аннуляторный правый идеал, то EndR (R/A) не имеет делителей нуля.
15.53. 1) Модуль rM прост в точности тогда, когда M = Ra для любого 0 = a € M .
2) (Лемма Шура) Если U и V — простые R-модули и f € HomR (U, V), то или f = 0, или f — изоморфизм.
3) Кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом.
4) Если Ui (i = 1,… ,п) — конечное множество попарно неизоморфных простых R-модулей, то кольцо эндоморфизмов
их прямой суммы изоморфно прямому кольцевому произведению тел Di = EndR Ui (i = 1,… , n).
15.54. Пусть F — поле и R = M(2,F). Тогда G = ^ F ^ — простой левый R-модуль.
15.55. Простые модули над кольцом матриц над полем изоморфны между собой.
15.56. Модуль M называется полупростым (или вполне приводимым), если он удовлетворяет следующим эквивалентным
условиям:
а) каждый подмодуль в M является суммой простых подмодулей;
б) M — сумма простых подмодулей;
в) M — прямая сумма простых подмодулей;
г) каждый подмодуль в M является прямым слагаемым.
15.57. Модуль полупрост тогда и только тогда, когда он не содержит собственных существенных подмодулей.
Решетка подмодулей L (A) модуля A называется решеткой с дополнениями, если для любого подмодуля B модуля
A найдется подмодуль C такой, что B П C = 0 и A = B 0 C (см. § 1). Подмодуль C в этом случае называется
дополнительным прямым слагаемым (кратко, д.п.с.) к B.
15.58. 1) Если L (A) — решетка с дополнениями и B — подмодуль в A, то L (B) — также решетка с дополнениями.
2) Если L (A) — решетка с дополнениями, то J (A) = 0.
3) Модуль A полупрост в точности тогда, когда L (A) — решетка с дополнениями.
15.59. 1) Сумма полупростых модулей полупроста.
2) Всякий модуль над кольцом матриц над полем является полупростым.
3) Приведите пример модуля M с подмодулем U такого, что M не полупрост, но M/U и U полупросты.
15.60. 1) Soc M является прямой суммой некоторого множества простых подмодулей модуля M.
2) Цоколь — вполне инвариантный подмодуль модуля M.
3) M = Soc M в точности тогда, когда M полупрост.
4) Soc M является наибольшим полупростым подмодулем в M и совпадает с пересечением всех существенных
подмодулей модуля M.
15.61. 1) Если f: A — M — эпиморфизм, а B — существенный подмодуль модуля M, то f-l (B) — существенный
подмодуль модуля A, где f-l (B) = {a € A \ f (a) € B}.
2) Если A С B С C, то A — существенный подмодуль модуля C в точности тогда, когда A — существенный
подмодуль модуля B, а B — существенный подмодуль модуля C.
3) Если B и C — существенные подмодули модуля A, то B П C — также существенный подмодуль в A.

93 Разложение на простые множители. 

15.62. Приведите пример модуля, не имеющего существенных максимальных подмодулей.
15.63. Для кольца R эквивалентны следующие условия:
а) каждый левый R-модуль полупрост;
б) rR — полупростой модуль;
в) Rr — полупростой модуль;
г) каждый правый R-модуль полупрост.
Кольцо R называется классически полупростым (иногда просто полупростым), если оно удовлетворяет одному из
условий а) — г) (см. теорему 16.4).
15.64. Пусть R — такое кольцо, что факторкольцо R/J(R) классически полупросто. Покажите, что каждый простой
правый (соответственно, левый) R-модуль изоморфен некоторому подмодулю в (R/J(R))r (соответственно,
r (R/J(R))).
15.65. Если кольцо R является прямой суммой минимальных правых идеалов Aj (j € J), то каждый идеал кольца
R является прямой суммой некоторых RAj .
15.66. Пусть e — идемпотент кольца R. Покажите, что:
а) EndR(eR) = eRe;
б) если кольцо R полупервично, то eR — минимальный правый идеал в R в точности тогда, когда eRe — тело;
в) если кольцо R полупервично, то eR является минимальным правым идеалом в точности тогда, когда Re —
минимальный левый идеал.
15.67. Пусть e = e2 € R и f = f2 € R. Покажите, что:
а) имеет место изоморфизм аддитивных групп HomR (eR, f R) =fRe, где fRe = {fxe \ x € R};
б) eR = fR в точности тогда, когда vu = e и uv = f для некоторых u,v € R;
в) eR = fR в точности тогда, когда Re = Rf.
15.68. Каждый минимальный правый идеал полупервичного кольца R имеет вид eR, где e = e2 € R.
15.69. Если R — полупервичное кольцо, то цоколи модулей Rr и rR совпадают.
15.70. 1) Коммутативное кольцо является примитивным тогда и только тогда, когда оно поле.
2) Кольцо R примитивно справа тогда и только тогда, когда существует точный простой модуль Mr.
3) Идеал I кольца R примитивен справа тогда и только тогда, когда R/I — примитивное кольцо; это эквивалентно
тому, что I — аннулятор простого правого R-модуля.
15.71 (Теорема плотности). Пусть R — примитивное кольцо, Mr — точный простой модуль. Тогда D = EndR M
является телом, а кольцо R канонически вкладывается в кольцо E = End^ M таким образом, что для любого
e € E и любого конечно порожденного подмодуля G в dM существует элемент r € R, для которого G (e — r) =0
(эндоморфизм e левого D-модуля M записан справа).
15.72. 1) Собственный идеал I кольца R первичен в точности тогда, когда R/I — первичное кольцо.
2) Собственный идеал I кольца R первичен в точности тогда, когда для любых элементов a,b € R из включения
aRb С I следует, что либо a € I, либо b € I.
3) Примитивный идеал первичен.
15.73. Если M — максимальный правый идеал кольца R, то ассоциированный примитивный идеал I = {r €
R \ Rr С M} совпадает с пересечением всех правых идеалов вида s-lM, где s € R\M, s-lM = {r € R \ sr € M}.
15.74. Первичное кольцо, обладающее минимальным правым идеалом, является примитивным справа.
15.75. Модуль Mr называется подпрямо неразложимым, если он содержит наименьший ненулевой подмодуль A.
Покажите, что в таком случае Ann A является примитивным идеалом кольца R.
15.76. Следующие условия на кольцо R эквивалентны:
а) R — полупервичное кольцо;
б) rad R = 0;
в) если A, B — идеалы кольца R и AB = 0, то A П B = 0.
Первичный радикал кольца R является наименьшим среди идеалов K, для которых R/K — полупервичное кольцо.
15.77. Радикал Джекобсона J(R) кольца R:
а) совпадает с множеством всех таких элементов r € R, что при всех x € R элемент 1 — rx обратим справа;
б) является наибольшим среди его идеалов K таких, что 1 — r — обратимый элемент при всех r € K;
в) совпадает с пересечением всех максимальных левых идеалов, т.е. J (Rr) = J (rR) = J(R);

94 Разложение на простые множители. 

г) совпадает с пересечением всех примитивных идеалов;
д) совпадает с пересечением правых (левых) аннуляторов всех простых правых (левых) R-модулей;
е) содержит все правые и левые ниль-идеалы кольца R.
15.78. 1) Следующие условия на кольцо R эквивалентны:
а) R полупримитивно справа;
б) J(R) = 0;
в) R полупримитивно слева.
2) Кольцо R полупервично (полупримитивно) тогда и только тогда, когда R является подпрямым произведением
первичных (примитивных) колец.
15.79 (Лемма Накаямы). Для правого идеала A кольца R равносильны следующие условия:
а) A С J (R);
б) (1 — a) R = R для каждого a G A;
в) A — малый правый идеал кольца R;
г) MA = М для любого ненулевого конечно порожденного модуля Мл.
15.80. 1) Если Ai, i = 1,… ,n, — малые подмодули в М, то ^ Ai — малый подмодуль в М.
i=1
2) Если A — малый подмодуль в М и f — гомоморфизм М в модуль N, то f (A) — малый подмодуль в N.
3) Для элемента a G Мл подмодуль aR не является малым в М в точности тогда, когда существует максимальный
подмодуль C в М такой, что a G/ C. В частности, подмодуль aR является малым в М тогда и только тогда, когда
a G J(М).
15.81. Докажите, что J(M(n,R)) = М(n,J(R)).
15.82. 1) J(M) — вполне инвариантный подмодуль модуля М, J(М) совпадает с суммой всех малых подмодулей
модуля М и совпадает с пересечением ядер гомоморфизмов модуля М в полупростые модули, M/J(M) —
полупримитивный модуль.
2) Если N G L(M) и J (M/N) = 0, то J(М) С N.
3) J( 0 Mi) = 0 J (Mi).
iei iei
4) Если M — ненулевой конечно порожденный модуль, то J (М) является наибольшим малым подмодулем модуля
М, в частности, М = J(M) и J ^л) — малый идеал в R.
5) Если f: Мл — Nл — гомоморфизм R-модулей, то f (J(М)) С J (N), причем, если Ker f — малый подмодуль в
М, а f — эпиморфизм, то f (J(М)) = J (N) и J(M) = f- 1 (J (N)) = {m G M | f (m) G J (N)}.
6) MJ(R) С J(M).
Приведите пример, когда MJ(R) = J(M).
15.83. 1) Бос (0 Mi) = 0 Бос (Mi).
iei iei
2) Если f: Мл — Nл — гомоморфизм R-модулей, то f (Бос(М)) С Бос (N), причем, если 1ш f — существенный
подмодуль в М, а f — мономорфизм, то f (Бос (М)) = Бос (N) и Бос (М) = f-1 (Бос (N)) = {m G M | f (m) G
Бос (N)}.
15.84. Пусть R/J(R) — классически полупростое кольцо (см. 15.63). Тогда для всякого модуля Мл:
а) J(М) = MJ(R);
б) Бос М = {m G М | mJ(R) = 0}.
15.85. Для кольца R следующие условия эквивалентны:
а) для каждого семейства Mi (i G I) правых R-модулей Бос ( ^ Mi) = П Бос Mi;
iei iei
б) прямое произведение любого числа полупростых правых R-модулей полупросто;
в) каждый правый R-модуль с нулевым радикалом полупрост;
г) кольцо R/J(R) классически полупросто.
15.86. Для левого идеала U С лR следующие условия эквивалентны:
а) ( П Mi) U = П (MiU) для каждого семейства Mi (i G I) правых R-модулей;
iei iei
б) ли конечно порожден.

95 Разложение на простые множители. 

15.87. Если кольцо R коммутативно и нетерово, то для любого семейства Mi (i € I) правых R-модулей J( П Mi) =
П J (Mi). iGl
i€l
Говорят, что идемпотенты кольца R могут быть подняты по модулю идеала I С R, если для любого элемента
u € R со свойством u2 — u € I существует такой идемпотент e € R, что e — u € I.
15.88. Идемпотенты могут быть подняты по модулю любого ниль-идеала кольца R. В частности, идемпотенты
могут быть подняты по модулю первичного радикала.
15.89. Пусть A — подмодуль модуля M. Покажите, что:
а) M = A 0 B в точности тогда, когда подмодуль B является одновременно а.д. и д.п. для A;
б) а.д. определено не всегда;
в) д.п. определено для любого подмодуля A, причем, если A П B = 0, то существует д.п. C для A, содержащее
подмодуль B.
15.90. 1) Пусть M = A + B. Тогда B — а.д. для A в M в точности тогда, когда A П B — малый подмодуль в B.
2) Если A• — а.д. для A в M и A%% — а.д. для A• в M, то A• — также а.д. для A%% в M.
3) Если A• — а.д. для A в M и A%% — а.д. для A• в M, причем A%% С A, то подмодуль A/A•• мал в M/A••.
15.91. 1) Если A и B — подмодули модуля M со свойством A П B = 0, то B — д.п. для A в M в точности тогда,
когда (A + B) /B — существенный подмодуль в M/B.
2) Если C — д.п. для A в M и D — д.п. для C в M, то C — также д.п. для D в M.
3) Если C — д.п. для A в M и D — д.п. для C в M, для которого A С D, то A — существенный подмодуль в D.
Множество sing M = {m € M \ r(m) — существенный подмодуль в Rr} определяет подмодуль модуля Mr, sing M
называется сингулярным подмодулем модуля M.
15.92. 1) sing M — вполне инвариантный подмодуль модуля M.
2) sing R — идеал кольца R.
15.93. EndR M — нормальное кольцо в точности тогда, когда каждое прямое слагаемое модуля M является его
вполне инвариантным подмодулем.

96 Разложение на простые множители.