§ 8. Монотонные последовательности

ЧАСТЬ II. ГЛАВА V
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Монотонные последовательности

Возрастающие и убывающие последовательности называются моно-
тонными, а также монотонно возрастающими, монотонно убывающими.
При этом возможно как строгое, так и нестрогое возрастание
или убывание, .Весьма важное значение имеет следующая теорему
Т е о р ем а 1, Всякая монотонная и ограниченная последовательность
имеет предел..
Теорема дается здесь без доказательства, мы лишь разъясним ее
геометрический смысл.
Пусть {н*} — монотонно возрастающая последовательность. Это
значит, что переход от каждой точки последовательности к следующей
производится посредством некоторого передвижения вправо по
числовой оси (рис. 81)^ Если последовательность возрастает нестрого,
^ ^> ■ 1 > 1> | 1 I > 11I I HilВl АI———
*t U*
Рис. 81.
то возможно, что uk = uk+ij и таким образом, переход от uk к uk+l
производится без продвижения по числовой оси.
Если последовательность ПРЙ Эт01й ограничена, то существует
такая точка А, правее которой не может находиться ни одна точка
последовательности. Точка А является преградой, через которую
точка последовательности перешагнуть не может.
Теорема утверждает, что существует точка В, к которой последовательность
сходится; Эта точка В может совпадать с А, а может
находиться и левее А.

366 Монотонные последовательности. Кабинет Математики.

Точно так же разъясняется смысл утверждения в случае» когда
последовательность убывает и ограничена.
Последовательность называется ограниченной сверху, если все
члены последовательности меньше некоторого числа. Последовательность
называется ограниченной снизу, если все члены последовательности
больше некоторого числа.>
Всякая, монотонная возрастающая последовательность ограничена
снизу* Действительно, все члены последовательности больше любого
числа, меньшего, чем ее первый член.
Всякая монотонная убывающая последовательность ограничена
сверху. Действительно, все члены последовательности меньше любого
числа, большего, чем ее первый член.
На основании этого теорему 1 можно сформулировать так:
Всякая монотонная возрастающая и ограниченная сверху
последовательность имеет предел.
Всякая монотонная убывающая и ограниченная снизу последов
вательность имеет предел,:
Те о р ема 2. Если последовательность {ип} Монотонно возрастает
и ограничена сверху, последовательность {vn} монотонно
убывает и ограничена снизу и при этом^ и х разность
{vn — яя} сходится к нулю, то обе последовательности {ип\
и \vn} имеют общий предел.
До к а з а т е л ь с т в о . На основании теоремы о монотонной ограниченной
последовательности каждая из последовательностей
и {<пл} имеет предел. Остается только доказать, что их пределы
совпадают.
Пусть
li тип = а\ И m v n = b.
Тогда
lim — un) = b ,— а.
По условию, lim(^„ — ия) = 0. Значит, а = Ь. ‘
Сл е д с т вие . Если монотонно возрастающая последовательность
{ял} и монотонно убывающая последовательность {<vn\
имеют общий предел, то предел этот является единственным
числом, которое не меньше любого члена возрастающей последовательности
и не больше любого члена убывающей последовательности.
До к а з а т е л ь с т в о , Пусть
lim ип = а; И m v a = a.
Так как последовательность {ип} возрастает, иа ^ а при любом tu
Так как последовательность {vn\ убывает, ^ а при любом п. Таким
образом,1 число а не меньше любого члена последовательности {ия}
и не больше любого члена последовательности {v n\.

367 Монотонные последовательности. Кабинет Математики.

Допустим, что число Ъ обладает тем же свойством, т. е. при
любом п ип^ Ъ \ v n^ b . Тогда на основании теоремы 3 § 6
lim ип < b\ lim v n ^ Ъ.
Но
lim ип = lim v n = а,
а потому
a ^ b и а ^ Ь у т. е. а = Ь.
Этот результат был изложен в § 11 гл. I. Там же дана геометрическая
иллюстрация этого вопроса.
Пример. Пусть {#„} есть последовательность десятичных приближенных
значений }/2~ с недостатком с точностью до (0,1)я, т. е.
последовательность
1,4; 1,41; 1,414;…
Пусть {vn1} — последовательность десятичных приближенных значений
| / Т с избытком с точностью до (0,1)я, т. е. последовательность
1,5; 1,42; 1,415;…
Последовательность {ил} монотонно возрастает, а последовательность
{г>л} монотонно убывает. Любой член последовательности {v ^
больше любого члена последовательности {ил}, а потому последовательность
{ип} ограничена сверху, а последовательность {vn} ограничена
снизу. Наконец
lim (vn — ип) = lim (0,1)я = 0.
Все сказанное дает право утверждать, что последовательности
{ия} и {оп} имеют общий предел. Этот предел и называется значением
J/2.
Таким образом, точным значением у1Г является единственное число,
которое больше всех приближенных значений У 2 , вычисленных
с недостатком, и меньше всех приближенных значений \/~2, вычисленных
с избытком.

368 Монотонные последовательности. Кабинет Математики.

Околоadmin