Предварительные сведения начальной геометрии.
Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):
Скачать бесплатно: Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова
(стр. 227-246)
На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
§ 1. Предварительные сведения. А. М. Абрамов НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ.
В этом параграфе мы опишем кратко те сведения общематематического
характера, которые наряду с геометрическими аксиомами
служат основой для построения планиметрии. К таким сведениям
относятся правила логики, сведения из теории множеств,
о величинах и числах, о понятиях метрического пространства.
1. Из правил логики мы узнаем, что значит «доказать», как
проводятся доказательства. Нелегкая задача точного описания
этих правил относится к математической логике. Для знакомства
с логикой рекомендуем доступно написанные книги Л. А. Калуж-
нина [51, Р. Столла [6]. Здесь же договоримся считать, что «известные
правила логики» — это те интуитивные представления о
наших логических возможностях, которые усваиваются в ходе
изучения математики.
2. Некоторые понятия и предложения теории множеств, применяемые
далее, не описаны в учебных пособиях подробно. Таковы
понятия «декартово произведение множеств» А х В (это
множество всех упорядоченных пар (х, у), где х £ А, у £ В)\
«бинарное отношение», связывающее элементы множеств А и В
(произвольное подмножество декартова произведения А х В)..
Далее мы будем пользоваться также понятием «разность множеств
» (А \ В — это множество, состоящее из элементов множества
Л, не принадлежащих В). Разбиением множества А называется
такая система непустых попарно непересекающихся подмножеств
Л, объединение которых есть А.
Выделим также следующие предложения.
Т е о р е м а 1.1 (о разбиении на классы). Всякое множество,
на котором задано отношение эквивалентности R, разбивается на
классы эквивалентности так, что любые два различных элемента,
принадлежащих одному классу, находятся в отношении R% а любые
два элемента, принадлежащие разным классам, отношением
R не связаны.
У. 1.1. Если F — обратимое отображение произвольного множества
Ф, то образ пересечения (объединения) произвольных подмножеств
Фх и Ф2 множества Ф при отображении F есть пересечение
(объединение) их образов:
1) F (Фх Л Фа) = F (Ф2) П F (Ф2);
2) ^(Ф1иФ2) = ^(Ф1)и/7(Ф2).
Теорема 1.1 нужна, например, при определении понятия «направление
»— см. п. 35; утверждение 1.1 применяется часто —
228 Предварительные сведения начальной геометрии.
Доказательства
сформулированных предложений см., например, в [7]).
3. Словом «величина» мы пользуемся чрезвычайно часто, употребляя
его по отношению к расстояниям, площадям и объемам,
промежуткам времени, массе и т. д. Естественно, что обобщение
столь нужного в естественных науках понятия должно было появиться,
а достаточно четкое знакомство со свойствами величин
должно произойти уже в школе. Парадоксально, однако, что
общее понятие величины известно существенно меньше, чем такие
абстрактные понятия, как «кольцо», «тело» и т. д. Тем не менее
аксиоматизация свойств величин существует (см. статьи «Величина
» и «Измерение» в БСЭ). Простейшие сведения о величинах
приводятся в п. 3 «Геометрии, 6—8».
Обоснование свойств величин на основе их аксиоматики проводится
непросто. Здесь отметим некоторые итоги.
С помощью процесса измерения, суть которого известна на
примере измерения длин, фиксировав единицу измерения е>0,
любой неотрицательной величине а можно поставить в соответствие
вполне определенное число ха — числовое значение величины а
прн единице измерения е. Множество числовых значений всех
неотрицательных величин при фиксированной единице измерения
есть множество R всех неотрицательных чисел; если а = b + с,
то и ха — хь + хс, если а > Ь, то и ха > хь\ числовое значение
нулевой величины — число нуль.
В школьном курсе расстоянием сначала называется величина
(это соответствует интуитивным представлениям учащихся о расстоянии).
Затем говорится, что при фиксированной единице измерения
расстоянием | АВ\ называется и просто числовое значение
\АВ\. Отметим, что такой переход необходим, например, для понимания
формулировок типа «Площадь прямоугольника равна
произведению длин его сторон». Дело в том, что величины нельзя
перемножать и смысл этой формулировки состоит в том, что числовое
значение площади прямоугольника равно произведению
числовых значений длин его сторон (при выборе за единицу
измерения площадей площади квадрата, длина стороны которого
принята за единицу измерения длин).
4. Далее мы будем считать расстояния числами. Из основных
свойств расстояния сразу вытекает, что плоскость — метрическое
пространство.
Напомним, что метрическим пространством называется пара
(М, р), где М — произвольное множество элементов, называемых
точками, ар — отображение М х М в R (расстояние или метрика),
удовлетворяющее следующим свойствам:
1) Для любых точек А и В
р (Л, В) ^ 0, причем р (А, В) = 0 <=> А = В.
2) Для любых точек А и В
р(А,В)=р(В, А).
229 Предварительные сведения начальной геометрии.
3) Для любых точек А, В и С
р (А, С) < р ( Л , Я ) + р ( Я , С).
Точка X называется внутренней точкой множества Ф пространства
М (для краткости часто называют метрическим пространством
само множество М, а не пару (М, р)), если существует
шар с центром X, целиком содержащийся в Ф; X — граничная
точка Ф, если всякий шар с центром X содержит как точки Ф,
так и точки, не принадлежащие Ф; множество Ф называется
открытым в М, если всякая точка Ф — внутренняя точка Ф;
множество всех граничных точек Ф называется границей Ф.
Изометрией называется отображение пространства (Мг, рх) на
(М2, р2), сохраняющее расстояния (/ — изометрия, если для любых
точек А £ Ми В £ Мх р2 (/ (Л), / (В)) = рх (Л, В)).
(Отметим, что свойство множества быть открытым зависит
от того, в каком пространстве это множество рассматривается.
Например, открытая полуплоскость — открытое подмножество
плоскости, но не пространства.)
В известном смысле можно сказать, что задача составления
системы аксиом планиметрии, положенной в основу школьного
курса, состояла в добавлении к аксиомам расстояния таких аксиом,
которые постепенно выделяли бы плоскость из других метрических
пространств. Приведем примеры метрических пространств
(выполнимость свойств расстояния проверьте самостоятельно).
A. Мх — множество из трех элементов: = {Л, В, С).
Р х (А, В) = Pl (В, А) = 3, Pl (В, С) = рх (С, В) = 4; Pl (Л, С)=
—• Pi (Р, Л) —■ 5, Рх (Л, Л) —• Рх (В, В) — рх (С, С) — 0.
B. (Дискретное пространство). М2 — произвольное множество;
р 2( х , У ) = Г ’ е с л и Х ¥ = У ;
2V ; \0, е с л и Х = К.
C. (Декартова плоскость). М3 — «числовая плоскость» R x R ,
расстояние евклидово:
Рз((*1> yi). (%. У 2)) = V(x2 — ^i)2 + (У» — У if-
D. М4 — «числовая плоскость»,
Р4 (fat yi)> fa, У#)) = max (\х2 — дгх1, |у2 — Ух)).
E. Мъ — «числовая плоскость»;
рб((*х. yi). fa, уд) = Vfa—^i)4+ (у2—у¥-
По сравнению с евклидовой плоскостью многие метрические
пространства обладают довольно экзотическими свойствами. Так,
единичным кругом пространства (М4, р4) с центром (0, 0) является
«квадрат». Отрезок с концами (1, 0) и (—1, 0) в этом пространстве
(определение отрезка см. на стр. 232) — «квадрат» с вершинами
(0, 1), (0, —1), (—1, 0), (1, 0). Заметим также, что концы этого
отрезка определяются неоднозначно.
Т е о р е м а 1 . 3 . Множество изометрических отображений
метрического пространства М на себя образует epyrfhy.
230 Предварительные сведения начальной геометрии.
С7Т0 означает: I) КОМПОЗИЦИИ люиыл дьул изимспрпп C U D now-
метрия, причем закон композиции ассоциативен, 2) отображение,
обратное изометрии, есть изометрия, 3) тождественное отображение
также изометрично.
Важно и другое свойство изометрических преобразований
произвольного метрического пространства: эти преобразования
сохраняют метрические свойства. В частности, отрезки переходят
при изометриях в отрезки той же длины, окружности (круги) —
в окружности (круги) того же радиуса, внутренние (граничные)
точки отображаются на внутренние (граничные) точки образа
данного множества и т. д.
Это общее свойство изометрий полезно проверить самостоятельно
— доказать, например, в случае евклидовой плоскости,
что образ отрезка есть отрезок, образ прямой — прямая и т. д.
231 Предварительные сведения начальной геометрии.
На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
Школьная математика. Математика в школе.
Околоadmin
