Воронка наибольшей вместимости
Сборник МатематикиГЛАВА VII НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ.ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман ИЗДАНИЕ ДВЕНАДЦАТОЕ СТЕРЕОТИПНОЕ. Под редакцией и с дополнениями В. Г. Болтянского Скачать 11-ое издание ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман в формате PDF в хорошем качестве, но без возможности капирования на Главной странице ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. |
Текст просто для быстрого ознакомления с темой в общих чертах (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):
ЗАДАЧА
Из жестяного круга нужно изготовить коническую
часть воронки. Для этого в круге вырезают сектор и
остальною часть круга свертывают конусом (рис.31).
Сколько градусов должно быть в дуге вырезаемого
сектора, чтобы конус получился наибольшей вмести-
мости?
РЕШЕНИЕ
Длину дуги той части круга, которая свертывается
в конус, обозначим через х (в линейных мерах). Сле-
довательно, образующей конуса будет радиус R же-
стяного круга, а окружность основания будет равна х.
Радиус г основания конуса определяем из равенства
X
= x, откуда г
Высота конуса (по теореме Пифагора)
(рис. 31). Объем этого конуса имеет значение
V * 4я2*
166 Воронка наибольшей вместимости
Это выражение достигает наибольшей величины
одновременно с выражением
[
t и его квадратом
Так как
есть величина постоянная, то (на основании доказан-
ного на стр. 157—158) последнее произведение имеет
максимум при том значении х, когда
откуда
\<2п) —*н — 12л
= 2& и jc =
В градусах дуга x^295° и, значит, дуга вырезае-
мого сектора должна содержать «65°.
Самое яркое освещение
ЗАДАЧА
На какой высоте над столом должно находиться
пламя свечи, чтобы всего ярче освещать лежащую на
столе монету?
РЕШЕНИЕ
Может показаться, что для достижения наилучшего
освещения надо поместить пламя возможно ниже. Это
неверно: при низком положении пламени лучи падают
очень отлого. Поднять свечу так, чтобы лучи падали
круто, — значит удалить источник света. Наиболее
выгодна в смысле освещения, очевидно, некоторая
средняя высота пламени над столом. Обозначим ее
167 Воронка наибольшей вместимости
через х (рис. 32). Расстояние ВС монеты В от осно-
вания С перпендикуляра, проходящего через пла-
мя Л, обозначим через а. Если яркость пламени /, то
освещенность монеты согласно законам оптики вы
разится так:
АВ2
cos a =
i cos а
i cos а
где а — угол падения пучка лучей АВ. Так как
X X
cos а = cos A==
то освещенность равна
/ х
АВ
IX
а2 +
a2 +
з ‘
Это выражение достигает максимума при том же
значении ху что и его квадрат, т. е.
12х2
Множитель i2 как величину постоянную опускаем,
а остальную часть исследуемого выражения преобра-
зуем так:
(а2 + л:
__ 1 Л а2 \
K ~ (*2 + а2J у х2-\-а2)
168 Воронка наибольшей вместимости
Преобразованное выражение достигает максимума
одновременно с выражением
так как введенный постоянный множитель о4 не вли-
яет на то значение х, при котором произведение до-
стигает максимума. Замечая, что сумма первых сте-
пеней этих множителей
есгь величина постоянная, заключаем, что рассма-
триваемое произведение становится наибольшим,
когда
а2 .(л
‘(см. стр. 157—158),
Имеем уравнение
а2=2л:2+2с2—2о2.
Решив это уравнение, находим:
Монета освещается всего ярче, когда источник
света находится на высоте 0,71 расстояния от проек-
ции источника до монеты. Знание этого соотношения
помогает при устройстве наилучшего освещения
рабочего места.
169 Воронка наибольшей вместимости
Comments