§ 11. Направленные отрезки.

Глава II. Положительные и отрицательные числа.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ЕГЭ 2015 Математика. Библиотека учителя. Школьная математика.

Купить книги по математике за низкие цены:

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Рассмотрим следующий пример. Через город Н проходит шоссе.
По этому шоссе из города выехал автомобиль и проехал 40 км.
После остановки он проехал по тому же шоссе еще 30 км. На каком
расстоянии от города оказался автомобиль?
Очевидно, что формулировка этой задачи неполная, так как в ней
нет указания на то, в каком направлении проехал автомобиль последние
30 км; в том же, в котором он раньше проехал 40 км или в противоположном.
В первом случае автомобиль окажется в 70 км от
города, во втором — в 10 км.
Таким образом, для получения определенного ответа нужно в
условие задачи к указанию пути в 30 км, пройденного автомобилем
во второй прием, добавить указание о направлении его движения.
Таким же образом обстоит дело во всякой задаче, связанной с
движением точки по прямой. Если известно исходное положение
точки и известна длина отрезка, пройденного точкой, то нужно знать
еще направление движения для того, чтобы знать конечное положение
точки. ‘
Отрезок на прямой линии, для которого задана не только длина,
но и направление, называется направленным отрезком или вектором

61 Направленные отрезки. 

У направленных отрезков следует различать начало и конец, так что
две точки, ограничивающие направленный отрезок, не равноправны.
Направленный отрезок обозначают двумя буквами, соответствующими
его началу и концу. При этом буква, обозначающая начало, ставится
впереди буквы, обозначающей конец.
Направленные отрезки считаются равными, если они имеют одинаковую
длину и одинаковое направление. Так, отрезки А В и CD (см.
рис. 8) равны, а отрезки АВ и ВА не равны, хотя их длины равны.
Для измерения направленных отрезков используются наряду с положительными
числами числа отрицательные. Для этого прямой, на кото-
рой располагаются направленные отрезки, тоже придается некоторое
направление.
Алгебраической величиной направленного отрезка на данной прямой
называется его длина, измеренная в данном масштабе, взятая со
знаком-}-, если направление отрезка совпадает с направлением прямой,
и взятая со знаком —, если эти напра-
вления противоположны

Например, отрезок АВ имеет алгебраическую
величину 2, а отрезок ВА
имеет алгебраическую величину — 2

Вообще отрезки, имеющие одина-
ковую длину, но противоположные направления,
имеют в качестве алге-
браических величин противоположные
числа.

Особенно удобно рассматривать направленные отрезки на числовой
оси. В этом случае алгебраическая величина направленного отрезка равна
разности координаты конца отрезка и координаты его начала.
Действительно (рис. 10), длина отрезка, соединяющего точки с координатами
а и Ь, равна сумме абсолютных величин координат
концов, если точки лежат по разные стороны от начала, или абсолютной
величине разности абсолютных величин координат концов, если
точки лежат по одну сторону от начала. В обоих случаях длина
отрезка равна абсолютной величине разности координат концов.
Направление отрезка совпадает с направлением оси, если координата
начала меньше координаты конца, и направление отрезка противоположно
направлению оси, если координата начала больше координаты
конца. В обоих случаях знак алгебраической величины отрезка
совпадает со знаком разности координат его конца и начала. Таким

62 Направленные отрезки. 

образом, алгебраическая величина отрезка и разность координат его
конца и начала совпадают по абсолютной величине и имеют одинаковые
знаки. Следовательно, они равны.
Направленные отрезки применяются в задачах, связанных с движением.
Перемещение за некоторый промежуток времени точки, движущейся
по прямой линии, целесообразно рассматривать как направленный
отрезок. Алгебраическая величина этого отрезка называется
алгебраической величиной пути или величиной перемещения точки. Та-
ким образом, величина перемещения двигающейся точки может быть как
положительной, так и отрицательной. Величина перемещения положительна,
если направление перемещения совпадает с выбранным направлением
прямой, по которой происходит движение, и отрицательна,
если эти направления противоположны.
Движение называется равномерным, если точка в равные промежутки
времени проходит равные пути. Скорость равномерного движения
измеряется алгебраической величиной пути, пройденного за единицу
времени. Таким образом, скорость равномерного движения точки
может измеряться как положительным, так и отрицательным числом.
Положительная скорость указывает, что направление движения совпадает
с направлением прямой, отрицательная,— что направление движения
противоположно направлению прямой.

Упражнения

Задача 1. На числовой оси задана точка Л с координатой—2 и точка В с
координатой 3. Чему равна алгебраическая величина отрезка АВ? Чему равна
алгебраическая величина отрезка ВА7
Задача 2. Найти координату конца отрезка АВ} если его начало имеет
координату—4, а алгебраическая величина равна —3.
Задача 3. Найти координату начала отрезка АВ} если его конец имеет
координату 4, а его алгебраическая величина равна —6.

63 Направленные отрезки. 

Околоadmin