§ 5. Недостаточность совокупности рациональных чисел
для извлечения корня из любого рационального
положительного числа
Ч А С Т Ь II. ГЛАВА I. СТЕПЕНЬ, КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА
Школьные тесты по математике
Для упрощения дроби, числитель и знаменатель которой
являются алгебраическими суммами дробей, следует умножить
числитель и знаменатель на общее кратное знаменателей всех
дробей, находящихся в числителе и знаменателе.Как было выяснено в гл. IX, § 3, далеко не из каждого рационального
положительного числа можно извлечь квадратный корень.
Именно, было установлено, что если целое положительное число а
не является квадратом другого целого положительного числа, то не
существует и дробного рационального числа, квадрат которого
равняется а. Следовательно, извлечение квадратного корня из такого
целого числа невыполнимо, если оставаться в области рациональных
чисел. Аналогичное обстоятельство имеет место для корней любой
степени.
Приведем в дополнение к изложенному в> первой части книги
строгое и простое доказательство следующей теоремы, являющейся
лишь частным случаем сказанного выше.
Теорема. Не существует рационального числа, квадрат
которого равен двум.
Иными словами, не существует рационального значения для \^2 .
До к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что найдется несократимая
дробь где т и п — натуральные числа, такая, что
Тогда т* — 2п\ Из последнего равенства следует, что т есть четное
числа, и, следовательно, т — 2ть тх целое. После подстановки
в /я* = 2л2 и деления обеих частей равенства на 2 получим, что
2т*— п\ откуда следует, что и п есть четное число.
Итак, т и п оба четные, что противоречит несократимости дроби
~ Таким образом, предположение о «том, что существует рациональное
число ‘— 9 квадрат которого равен 2, привело нас к противоречию.
Следовательно, такой дроби не существует, что и требовалось
доказать,
226 Недостаточность совокупности рациональных чисел, Школьные тесты по математике.
§ 6. Приближенное извлечение корня
Ввиду невозможности точного извлечения корня данной степени
из данного положительного числа, целесообразно поставить задачу
о приближенном извлечении корня. В применении к квадратным корням
этот вопрос был разобран в первой части книги (гл. IX, § 3).
Напомним относящиеся сюда определения и теоремы, обобщив их
на корень любой степени /г.
Приближенным значением с недостатком для корня я-й
степени из данного положительного числа а, например с точностью
до -щд-* называется такое положительное число b, что Ьп^ а , но
Г/ +IТ6V66**) свою очерелъ b 1 называется приближенным
значением с избытком для п/~а •
Вообще приближенным значением с недостатком для корня я-й
степени из данного положительного числа а с точностью до а называется
такое положительное число b, что Ьп<^а, но (&-(-a)rt] > Д.
В свою очередь число Ь-\-а называется приближенным значением
с избытком для n\fa с точностью до а, а число а — мерой точности.
При практических вычислениях чаще всего принимается за меру
точности -—jj- где т — некоторое натуральное число, а за приближенное
значение с недостатком принимается десятичная дробь с т
цифрами после запятой. Тогда «приближенным значением с избытком
явится большая смежная с ней десятичная дрббь, т. е. такая, последняя
цифра которой увеличена на одну единицу. Например, 1^59 и
1,260 являются приближениями с недостатком и с избытком к / 2 с
точностью до 0,001, ибо
(1,259)3= 1,9956… < 2 , а (1,260)3 =2,0003… > 2.
Такие приближения называются десятичными с точностью до
единицы т-?о знака после запятой. Так, 1,259 и 1,260 суть десятичные
приближения к |/ 2 с недостатком и с избытком с точностью
до единицы третьего знака после запятой.
Те о р ема 1. Для каждого положительного числа а, не явля-
ющегося п-й степенью целого числа, существует целое число Ъ,
являющееся приближенным значением с недостатком для п/ а с
точностью до единицы.
Например, для Y 30 приближенным значением с недостатком с
точностью до единицы есть 3, ибо
З3 = 27 < 30; 43 = 64 > 30.
До к а з а т е л ь с т в о . Нам нужно доказать, что для данного
положительного а найдется такое целое неотрицательное число b,
227 Недостаточность совокупности рациональных чисел, Школьные тесты по математике.
что Ъп<^а и (£-{- 1)п^>а согласно определению приближенного значения
с недостатком для а. Если а < 1, то утверждение теоремы
очевидно. Именно, в качестве числа Ь можно взять нуль, ибо 0я = 0 < а,
1п=^1 > а .
Допустим теперь, что 1. Выберем целое число т ^ а и рассмотрим
ряд чисел
1Я= 1 , 2я, 3я, 4я, 6я, т \
Согласно теореме 1 § 2 это возрастающий ряд чисел, т. е.
каждое последующее число больше предыдущего. Первое число 1
этого ряда меньше а, последнее nin больше а, так как п Р ^ т ^ а .
Само число а не находится среди чисел этого ряда, так как а не
является и-й степенью целого числа. Следовательно, а попадает в
какой-то промежуток между двумя соседними числами рассматриваемого
ряда, т. е. найдутся два таких смежных целых числа Ъ и 6 — j- l,
что Ьп< ^а< ^ф -|-1 )я.
Число b и есть искомое приближение.
Те о р ема 2. Для каждого положительного числа а, не являющегося
п-й степенью десятичной дроби с т цифрами после запятой,
существует десятичное приближение я У а с точностью
до единицы т-го знака после запятой,
Раньше чем привести доказательство в общем виде, рассмотрим
численный пример. Пусть, например, требуется найти приближенное
значение с точностью до 0,01 для 3j/3. Обозначим это значение через
х . Тогда
* 8< 3 ; (* + о ,0 1 )3> 3|
Умножим обе части каждого из этих неравенств на 1003= 1 ООО ООО,
получим
(100л:)3 < 3 000 ООО и (100л:- f 1)3> 3 000 000
(лемма 1 § 3). Следовательно, 100л: есть приближенное значение с
точностью до 1 для У 3 000 000. В силу теоремы 1 такое приближенное
значение существует. Посредством испытаний убеждаемся, что
144s = 2 985 984 < 3 000 000; 1453 = 3 048 625 > 3 000 000.
Следовательно, 100л: = 1 4 4 ; л: = 1 ,4 4 . Действительно,
1,443 = 2,985 984 < 3; 1,453 = 3,04 8 6 25>3.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Обратимся теперь к доказательству в общем случае.
Пусть нам требуется найти десятичное приближение с недостатком к положительному
числу а с точностью до единицы т-го знака после запятой. Рассмотрим
числ^ at = a* 10тп. Число ах не является я-й степенью целого числа,
ибо если ах =лхп при целом л , то
10тп 10ш \ 10mj 9
228 Недостаточность совокупности рациональных чисел, Школьные тесты по математике.
a -J— есть десятичная дробь с т цифрами после запятой, что противоречит
условию теоремы. Поэтому, согласно теореме 1, для аi найдется целое приближение
с недостатком bi с точностью до единицы, т. е. такое число, что
**1<0Ь ><*1.
Тогда
\Qmn IQmn * Ю тп \Q mn
НО
*1* *1 У». (*1+1 У1- IQ/ЯЛ / j M \ ffi + iy1- / *1 . 1
\*
\ 10т / » 10ш \ 10т Ют) •
Таким образом, мы нашли две десятичные дроби -А — и ^ ——|— L с
Ю77* 10от 10771
цифрами после запятой, отличающихся на т* е* на одну, единицу
последнего знака, и такие, что /г-я степень меньшей дроби меньше а, я-я
степень большей дроби больше а. Следовательно, и есть искомое приближение.
Теорема 2 решает вопрос о существовании приближенных значений для
корня любой степени из любого положительного числа, но способ нахождения
приближений к корню, использованный для доказательства теоремы,
практически мало пригоден. Трудность заключается в отыскании приближенного
значения с точностью до 1 из числа at = а • 107Я/1, которое может быть
огромным по величине. Для приближенного извлечения квадратного корня
существует удобная схема вычислений, разобранная в гл. IX первой части
книги.
З а м е ч а н и е . Для корней степени выше второй приближенное извлечение
корня производится косвенными средствами: или с привлечением
логарифмов (что будет изложено в гл. VII), или посредством применения
общих методов приближенного решения уравнений высших степеней (некоторые
из них разобраны в гл. IV). Эти методы можно применить, так как
извлечение корня /z-й степени из числа а равносильно решению алгебраического
уравнения х п — я = 0.
229 Недостаточность совокупности рациональных чисел, Школьные тесты по математике.
Околоadmin
Comments