§ 4. Некоторые суммы и их свойства

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 8
СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ НЬЮТОНА

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Некоторые суммы и их свойства

Пусть
аи >яп (1)
— некоторые числа. Пусть Si обозначает сумму всех этих чисел, Si
обозначает сумму всевозможных произведений этих чисел, взятых по
два, S i обозначает сумму всевозможных произведений этих чисел,
взятых по три, и т. д. Вообще S* означает сумму всевозможных произведений
этих чисел, взятых по k. Таким образом, S* обозначает
произведение этих чисел
Si = CL\ + Qrjr- * • ап%
Si = аха^ -J- ахаъ -f-.. .-j-ахал а^а3 -f-. . -j-.. .+ аЛ_1аЛ,
5 2 = * Л в |… ап.
Присоединим к числам (1) еще какое-нибудь число ая+1. Получим
л -f-l чисел
#1, . •., (2)
Пусть Si-ц обозначает сумму всех чисел (2), Si-ц обозначает
сумму всевозможных произведений чисел (2), взятых по два, Si-ц
обозначает сумму всевозможных произведений чисел (2), взятых по
три, и т. д. Вдобще S*+, обозначает сумму, всевозможных произведений
чисел (2), взятых по k. Таким образом, Sjj£{ обозначает произведение
чисел (2).
Рассматриваемые суммы обладают следующими свойствами,
С в о й ствр 1.
Si+i = Si -{- йщ, j,
S«-}-i = Si -j- #n+iSi,
^ + 1 = 4 4 — ^ s » — 1,
S”t ‘ = a „ +1S»
Св о й с т в о 2. При любом k ( l ^ k ^ . n ) в сумме S* содержится
Ckn слагаемых.
Св о й с т в о 3. Если ах = аъ = … = ап = а, то S* = C*a*, где
1 ^ k ^ n .
Свойства 2 и 3 непосредственно вытекают из способа составления
рассматриваемых сумм. Остается доказать справедливость свойства 1.
Возьмем какое-нибудь слагаемое, входящее в S* + 1. Такое слага- .
емое является произведением k чисел, взятых из (2). Возможно одно
14 Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский

417 Некоторые суммы и их свойства. Кабинет Математики.

х — \ — а ь Предположим, что формула (2) справедлива при n — k, где k —
какое-нибудь натуральное число, т. е.
П* = ** + S ix*-‘ + Six*-* + . . . + S*
Докажем, что тогда формула (2) справедлива и при n t= k — j — 1, т. е.
ПА+1 = ^ +‘ 4 — S k+ ix ‘ + S i+ ix *-1-}-. . . + 5ЭД.
Действительно,
П*+1 = Щ С* + аш ) = (лг* + S ix ’1-1 -f- Six*-* 4 -… 4 — S*)(x 4 — ам ) =
= л:*+| 4 — (SI 4* a *+i) •** 4 — 0 ^ 4 — ak+iSi) ■хк~14— • -4“ awS% •
На основании свойства 1 § 4
п*+,= 4 — S ‘k+lx k 4 — 5 |+ IX*-1.4-.. .4-
Утверждение доказано.

418 Некоторые суммы и их свойства. Кабинет Математики.

Околоadmin