дома » Занимательная Математика » Неопределенное уравнение третьей степени

Неопределенное уравнение третьей степени

Неопределенное уравнение третьей степени.

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ.

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман  ИЗДАНИЕ ДВЕНАДЦАТОЕ СТЕРЕОТИПНОЕ. Под редакцией и с дополнениями В. Г. Болтянского Сборник Математики На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. ПерельманСкачать 11-ое издание ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман в формате PDF в хорошем качестве, но без возможности каптирования на Главной странице ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман.

Текст просто для быстрого ознакомления с темой (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):


четвертого числа. Например, 33+43+53=63.
Это означает, между прочим, что куб, ребро кото-
рого равно 6 см, равновелик сумме трех кубов, ребра

120 Неопределенное уравнение третьей степени.

которых равны 3 см, 4 см и 5 см (рис. 14), — соотно-
шение, по преданию, весьма занимавшее Платона.
Попытаемся найти другие соотношения такого же
рода, т. е. поставим перед собой такую задачу: найти
решения уравнения л:3+</3+г3=ы3. Удобнее, однако,

Неопределенное уравнение третьей степени

Неопределенное уравнение третьей степени

обозначить неизвестное и через —t. Тогда уравнение
будет иметь более простой вид
Рассмотрим прием, позволяющий найти бесчислен-
ное множество решений этого уравнения в целых (по-
ложительных и отрицательных) числах. Пусть а, Ь,
с, d и а, р, Y. 6—две четверки чисел, удовлетворяю-
щих уравнению. Прибавим к числам первой четверки
числа второй четверки, умноженные на некоторое
число k, и постараемся подобрать число k так, чтобы
полеченные числа
a + ka, b + k$, c + ky, d+kb
также удовлетворяли нашему уравнению. Иначе го-
ьоря, подберем k таким образом, чтобы было выпол-
нено равенство
(a + kaK+ (b + k$K+ (с+/гуK+ (d + k6K = 0.
Раскрыв скобки и вспоминая, что четверки a, b,c,du
к> Р’ Yi ° удовлетворяют нашему уравнению, т. е.
имеют место равенства
a3+b3+c3+d3=0, gc3 + P3 + y3.+ 63 = 0,
мы получим:
+ ЗсЧу + 3
или

121 Неопределенное уравнение третьей степени

Произведение может обращаться в нуль только в том
случае, когда обращается в нуль хотя бы один из его
множителей. Приравнивая каждый из множителей
нулю, мы получаем два значения для k. Первое зна-
чение, k—О, нас не интересует: оно означает, что если
к числам а, Ь, с, d ничего не прибавлять, то получен-
ные числа удовлетворяют нашему уравнению. Поэто-
му мы возьмем лишь второе значение для k:
-f c\>2
Итак, зная две четверки чисел, удовлетворяющих
исходному уравнению, можно найти новую четверку:
для этого нужно к числам первой четверки прибавить
числа второй четверки, умноженные на k, где k имеет
написанное выше, значение.
Для того чтобы применить этот прием, надо знать
две четверки чисел, удовлетворяющих исходному
уравнению. Одну такую четверку C, 4, 5,—6) мы уже
знаем. Где взять еще одну четверку? Выход из поло-
жения найти очень просто: в качестве второй четверки
можно взять числа г, —г, s, —s, которые, очевидно,
удовлетворяют исходному уравнению, Иначе говоря,
положим:
а = г, р = — г, \’ = 5, 6 = — s.
Тогда для k мы получим, как легко видеть, следую-
щее значение:
,_ — 7r — Us __ 7r-(-lls
R~ 7r2 —s2 ~~ 7r* — s2 *
а числа a+ka, b+k$, c + ky, d + kb будут соответ»
ственно равны
28r2-(-llrs — 3s2 21r2 —llrs —4s2
7H — s2 ‘ 7r2—s2
6s2 — 42r2— Irs— bs*
7r2 — s2 ‘ 7r2 — s2
Согласно сказанному выше эти четыре выражения
удовлетворяют исходному уравнению

122 Неопределенное уравнение третьей степени

Так как все эти выражения имеют одинаковый зна-
менатель, то его можно отбросить (т. е. числители
этих дробей также удовлетворяют рассматриваемому
уравнению). Итак, написанному уравнению удовле-
творяют (при любых г и s) следующие числа:
х= 28r2 + llrs-3s2,
у= 21r2— llrs — 4s2,
z = 35r2-f 7rs-f-6s2,
t =_42r2— 7rs — 5s2,
в чем, конечно, можно убедиться и непосредственно,
возведя эти выражения в куб и сложив. Придавая г
и s различные целые значения, мы можем получить
целый ряд целочисленных решений нашего уравнения.
Если при этом получающиеся числа будут иметь об-
щий множитель, то на него можно эти числа разде-
лить. Например, при г=\, 5=1 получаем для х, y,z,t
следующие значения: 36, 6, 48, — 54, или, после со-
кращения на 6, значения 6, 1, 8,—9. Таким образом,
63+13+83 = 93.
Вот еще ряд равенств того же типа (получающих-
ся после сокращения на общий множитель):
при
при
при
при
при
при
при
г=1,
г = 1,
г = 1,
т = 1,
г=1,
т=\.
г = 2,
s = 2
s = 3
s = 5
s —4
s = — 1
р 9
S = — I
383 +
173 +
43-f-
83-f
73 +
23-}-
293 +
733=173 +
553 = 243-{-
1103 = 673-j-
533 = 293-|-
143+ 173 =
163= 93-f-
343 _j_ 443 __
763,
543,
1013,
503,
203,
153,
533.
Заметим, что если в исходной четверке, 3, 4, 5, —6
или в одной из вновь полученных четверок поменять
числа местами и применить тот же прием, то получим
новую серию решений. Например, взяв четверку 3, 5,
4,-6 (т. е. положив а = 3, Ь = Ъ, с=4, d= —6), мы по-
лучим для х, у, z, t значения:
х= 2O2+10rs — 3s2,
у= 12г2—10rs —5s2,
г— 16r2+ 8rs + 6s2,
t = ~ 24r2— 8rs —4s2.

123 Неопределенное уравнение третьей степени

соотношений:

Таким путем можно получить бесчисленное мно-
жество решений рассматриваемого уравнения.

124 Неопределенное уравнение третьей степени.

На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман
Школьная математика.  Математика в школе.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика