Непрерывность функции

| ПРЕДЕЛ

Непрерывность функции.

Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 3: ПРЕДЕЛ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛ

§ 3.7. Непрерывность функции

Ha рис. 71 изображен график функции y — f(x)
( a ^ x ^ . b ) . Его естественно назвать непрерывным графиком,
потому что он может быть нарисован одним непрерывным
движением карандаша без отрыва от бумаги.
Зададим произвольную точку (число) х отрезка [о, Ь].
Близкая к ней другая точка х’ отрезка [а, Ь] может быть
записана в виде х ‘= х + Д л ; , где Ал: есть число положительное
или отрицательное, называемое приращением х■

77

Разность
Af = A y = f ( x + Ax) — f(x)
называется приращением функции f в точке х, соответствующим
приращению Ах. На рис. 71 А у равно длине
отрезка ВС.
Будем стремить Ах непрерывно к нулю; тогда для рассматриваемой
функции, очевидно, и А у будет стремиться
к нулю:
Д г /-> 0 (Аде — 0). (12)
Рассмотрим теперь график функции F(x), изображенный
на рис. 72. Он состоит из двух непрерывных кусков
РА и QR. Однако эти куски не соединены непрерывно,
и потому график естественно назвать разрывным. В точке
л-, нам надо как-то определить нашу функцию; условимся,
что F (х0) равно длине отрезка, соединяющего А и х0;
в знак этого точка А изображена на графике жирно, в то
время как у точки Q нарисована стрелка, указывающая,
4io Q не принадлежит графику. Если бы точка Q принадлежала
графику, то функция / была бы двузначной
в точке х0.
Придадим теперь х0 приращение Ах0 и определим соответствующее
приращение функции-
AF = F (ха + Ax0)— F (х„).
Если мы будем Лх0 стремить непрерывно к нулю, то теперь
уже нельзя сказать, что AF будет стремиться к нулю.
Для отрицательных Ах0, стремящихся к нулю, это так,
но для положительных вовсе не так: из рисунка видно,
что если Ах0, оставаясь положительным, стремится к нулю,
то соответствующее приращение AF при этом стремится
к положительному числу, равному длине отрезка AQ.

78

После этих рассмотрений естественно ввести следующее
определение. Функция /, заданная на отрезке [a, b], называется
непрерывной в точке х этого отрезка, если приращение
ее в этой точке, соответствующее приращению
Ах*), стремится к нулю при любом способе стремления
Ах к нулю при Ах > 0 и Ах < 0. Это свойство (непрерывности
в х) записывается в виде соотношения (12) или
еще так:
lim Ау = 0. (13)
Длг- » 0
Запись (13) читается так: предел А у равен нулю, когда Ах
стремится к нулю по любому закону. Впрочем, выражение
«по любому закону» обычно опускают, подразумевая
его. В частности, Ах может пробегать любую стремящуюся
к нулю последовательность, значения которой могут быть
как положительными, так и отрицательными.
Если определенная на отрезке [а, Ь\ функция f не является
непрерывной в точке х этого отрезка, т. е. в этой
точке для нее не выполняется свойство (13) хотя бы при
одном способе стремления Ах к нулю, то она называется
разрывной в точке х.
Функция, изображенная на рис. 71, непрерывна в любой
точке х отрезка [а, Ь], функция же, изображенная на
рис. 72, очевидно, непрерывна е любой точке х отрезка
[а, Ь] за исключением точки х0, потому что для последней
соотношение (13) не выполняется, когда Ах0- ^ 0 ,
оставаясь положительным.
Функция, непрерывная в любой точке отрезка (интервала),
называется непрерывной на нем.
Непрерывная функция математически выражает свойство,
с которым нам приходится часто встречаться на
практике, заключающееся в том, что малому приращению
независимой переменной соответствует малое же приращение
зависимой от нее переменной (функции).
Прекрасными примерами непрерывной функции могут
служить различные законы движения тел s = f (t), выражающие
зависимости пути s, пройденного телом, от времени
t. Время и пространство непрерывны, при этом тот
или иной закон движения s = f (t) устанавливает между
ними определенную непрерывную связь, характеризую*)
Здесь имеется в виду Ах такое, что лг+Д* принадлежит
1а, Ь].

79

щуюся тем, что малому приращению времени соответствует
малое приращение пути.
К абстракции непрерывности человек пришел, наблюдая
окружающие его так называемые сплошные среды—твердые,
жидкие или газообразные, например металлы, воду,
воздух. На самом деле всякая физическая среда представляет
собой скопление большого числа отделенных друг
от друга движущихся частиц. Однако эти частицы и расстояния
между ними настолько малы по сравнению с объемами
сред, с которыми приходится иметь дело в макроскопических
физических явлениях, что многие такие
явления можно достаточно хорошо изучать, если считать
приближенно массу изучаемой среды непрерывно распределенной,
без всяких просветов в занятом ею пространстве.
На таком допущении базируются многие физические
дисциплины, например гидродинамика, аэродинамика,теория
упругости. Математическое понятие непрерывности,
естественно, играет в этих дисциплинах, как и во многих
других, большую роль.
Из (12) следует
lim / (х) = lim [/ (х0) + (/ (х)— f (x0))] =
x-+x0 x-+x0
= l im/ (*„)+ \ imt f{x) — f ( x 0)] = f ( x0) + 0=:f ( x0),
Х—Ъ’Хо X—^Xq
и мы получили равенство
l im/ (x) = / ( x 0), (14)
х-+х0
которое может служить другим эквивалентным определением
непрерывности / в точке х0: если функция f непрерывна
в точке х а, то она должна быть определена в окрестности
этой точки, в том числе в самой точке х0,
должен существовать предел f в точке х0 и должно выполняться
равенство (14).
Равенство (14) можно еще записать так:
lim / (х) = f ( lim xY (15)
Х-*-Х0 \ Х->-Х0 У
Говорят, что если функция f непрерывна в точке х 0,
то «предел /(х ) при х —* х0 равен f от limx», или еще
говорят, что в этом случае символы f и lim перестановочны

80

#Непрерывность_функции #математика #анализ #математический_анализ

Тригонометрические функции

Школьная математика
Математика в школе

Околоadmin