дома » Алгебра в школе » Несколько приемов решения систем уравнений высших степеней

Несколько приемов решения систем уравнений высших степеней

§ 4. Несколько приемов решения систем уравнений
высших степеней

ЧАСТЬ II. ГЛАВА IV
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

Задача о решении системы уравнений высших степеней с несколькими
неизвестными в общем случае является очень трудной, часто
не допускающей решения средствами элементарной алгебры.

Однако
во многих случаях, комбинируя известные методы решения уравнений
и систем уравнений — метод сложения и вычитания, исключения
неизвестного с помощью подстановки, введения нового неизвестного —
удается найти путь к решению системы. Но в каждой отдельной задаче
приходится использовать ее частные особенности для того, чтобы
найти удачный метод решения. Рассмотрим несколько примеров.
Пр им е р . Решить систему уравнений
18,
х — \ — у = 3.
Р еше н и е . Способ /. Из второго уравнения находим, что
у = 3 — х. Подставив в первое уравнение, получаем
* 3 + (3 — дг)3= 1 8
и, после упрощений,
откуда
1 — Ъх -J- дг2 = О,
з + у Т з — у Т
1 2 ! •** § ‘
Соответствующие значения для у будут такими:
3 — у ь . _ 3 4- / 5
У\ 9 > У-2—— 9 <
Система имеет два решения.

329 Несколько приемов решения систем уравнений высших степеней. Работа кабинета математики.

Способ 2. Представим х 6 + у 3 = 18 как
(лг-f-jy)3 — З х у ( х — \- у ) — 18.
Принимая во внимание второе уравнение, получим 27 — 9х у=1 8 ,
откуда х у = 1.
Система
| х — \ — у = г,
1 х у = 1
есть следствие исходной, но и исходная есть следствие преобразованной,
ибо если х — \ — у = Ъ\ х у — 1, то
x*-\-y* = ( x + y f — Z x y (x — \- у) = 33 — 3 • 3 = 18.
Решая преобразованную систему при помощи формул Виета, получим
те же два решения:
3— / 5
3 3 0 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ [ГЛ. TV
_ 3 + У 5
1 2
з—
У\
Х ъ — 2
3 + Уб
2
Ответ. х х = 3+ ^ ~ , у 1== 3 ;
3 — ^ 5 1f_ 3 + ^ 5
**2 — 2 9 -У 2 — 2 •
Пример. Решить систему
л;4+ / = 343,
х —j— у = 5.
Решение. Исключение одной из неизвестных величин приводит
к решению уравнения четвертой степени, в котором все коэффициенты
отличны от нуля. Поэтому лучше избежать этого пути. Это
легко сделать, введя новую неизвестную z — x y . Тогда
X9 + / = (х + / 2 — 2 х у = 25 — 2z,
x i + / = (jc2 + / ) * — 2 х У = (25 — 2 z f — 2 г* = 625 — I00z + 2 z \
Таким образом, для z получаем уравнение
2 z*— 100^ + 625 = 343,
откуда z x = M\ z<l = 3.
Итак, данная система расщепилась на две системы:
х — \ — у = 5, f х — \ — у = Ь,
х у = 47 И ( = 3,

330 Несколько приемов решения систем уравнений высших степеней. Работа кабинета математики.

первая из которых не имеет действительных решений, а вторая имеет
следующие решения:
г _ в + У П . 5— уТз „ _ 5 — ] / Т З . 5 + 1 Л З
1 — 2 ‘ — 2 — 2 * — 2 *
§ 4 ] НЕСКОЛЬКО ПРИЕМОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 3 3 1
О~ твет. х х—5—+~1 ^—1 3 ; у \ —• 5- -—— уУ—13 ; 2 > X I— 2
5 — 1 Л З . 5+УТз
* * 2 2 * -У 2 2 •
Указанный прием удобно применять к системам двух уравнений
с двумя неизвестными, в случае если каждое из уравнений симметрично
относительно х и у, т. е. если уравнения не изменяются
при перемене х и у местами.
Пример. Решить систему уравнений:
х у — 5,
лг2 = 10,
y z = 18.
Решение. Перемножив уравнения системы, получим
дгУ** = 5 • 10 . 18 = 52 . 22 . З2,
откуда x y z — db 30. Но так как лгу = 5, то отсюда следует, что
5г = i t 30 и 2 = 1h6. Теперь лг и у легко определить из второго
и третьего уравнений системы. Мы приходим к двум решениям:
x t = ^ ; ух = 3; 2* = 6 и х 2 = — _у2 = — 3; 22 = — 6.
5
Ответ. лг1 = у ; ^ = 3; 2t = б;
х г = j _у2 === ^2 — 0.
Пример. Решить систему уравнений
| х у ( х — \-У )= 42,
1 дгУ (дг’2+ У ) = 1078.
Решение. Возвысив обе части первого уравнения в квадрат,
получим
х*у* (лг2 4 — 2лгу + У) = 1764.
Вычитая из этого уравнения второе уравнение данной системы, получим
2лг3У = 686, откуда (лгу)3 = 343; лгу = 7. Теперь из первого
уравнения данной системы находим, что лг-|-^ = 4у2 = 6. Итак, решение
данной системы свелось к решению системы
х -j- у = 6,
х у = 7,

331 Несколько приемов решения систем уравнений высших степеней. Работа кабинета математики.

откуда
= 3 -f-V^2; j i = 3—1/^2 и лс, = 3— 1/2; у 4 = 3 4 -1 /2 .
Ответ. Xi — Ь У1 — З — Y^>
Х2 = 3 —1^2; Ja = 3 4 “ V^2•
Пример. Решить систему уравнений
| ( х+1)*(У + 1)*=27ху,
1 (х * + 1 )(У 2+ 1 ) = 10лу/.
Решение. В первом уравнении раскроем скобки в каждом множителе.
Затем поделим обе части обоих уравнений на х у . Получим
( • * + 2 +-*-) (у Н -2 + j ) = 27»
(J? + 7)(-y + j ) ==ia
Теперь введем новые неизвестные x — \ — ^ = z; у =
неизвестных преобразованная система имеет такой вид:
( (г + 2)(г + 2) = 2 7 ,
| zt = 1 0 .
Эта система легко решается. Получаем:
: t. В новых
Zi = -o. *i = 4; :4, tt = 2 *
Далее находим значения для х и у из уравнений
у — Ь у = * —
Всего получим восемь решений:
( Xi=2, J * a = 2 ,
I У1 == 2 -f- «[/3, I Уа = 2 — l /З ,
А»5= 2 -j- у/3 = 2 —
1 / 3 ;
У*= 2>
, | лг6= IУ в = 2,
*1— 2 »
у 1 = 2 — У Т .
x s= 2 — 1/3,
У8 = у»
Многообразие приемов, которые могут применяться при решении
систем уравнений высших степеней, неисчерпаемо, и тем не менее
найти путь к решению данной системы удается далеко не всегда.
Важно проявлять изобретательность при решении системы в тех случаях,
когда это возможно.

333 Несколько приемов решения систем уравнений высших степеней. Работа кабинета математики.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии