§ 3. О математических способностях
Главная страница ФОРМИРОВАНИЕ МИРОВОЗЗРЕНИЯ УЧАЩИХСЯ.
Библиотека учителя математики.
Сборники Математики Скачать бесплатно.
Выявление и развитие способностей учащихся является одним
из основных назначений школы. Способности могут проявляться в
самых разнообразных направлениях — к какому-нибудь виду мастерства,
к литературе, к постановке физических опытов, к спорту и
пр. Выявление и развитие математических способностей также следует
отнести к одной из важных и ответственных задач педагогических
коллективов школ. Это крайне необходимо для жизни современного
общества, поскольку в век математизации знаний важно не
упустить потенциальные таланты, воспитать их и направить на совершенствование
как самой математики, так и многочисленных ее
применений. Хорошо известно, что в наши дни математика превратилась
в производительную силу общества, и потому мы не имеем
права допускать потерю математических способностей ни у одного
школьника.
Хорошее математическое образование и развитие математических
способностей необходимы не только тем, кто впоследствии займется
научными исследованиями, но и тем, кто станет трудиться в
различных областях народного хозяйства в качестве инженеров,
экономистов, организаторов производства, квалифицированных рабочих,
офицеров. Математический стиль мышления, умение рассуждать
строго, не совершая логических скачков и неполноты классификации,
необходимо также будущим врачам и юристам, историкам
и биологам, агрономам и лингвистам.
Мне приходилось наблюдать исключительную логическую скрупулезность
крупных врачей при постановке больным диагноза, осо-
87 О математических способностях
бенно в тяжелых случаях. Недавно при прочтении интересной книги
Л. Н. Гумилева1 я убедился, что в историю также проникает математический
стиль мышления, позволяя находить достаточно убедительные
решения в исключительно сложных и запутанных случаях.
Сказанное показывает, как важно добиваться того, чтобы математика
превратилась в дисциплину преподавания, интерсную и
доступную для подавляющего большинства школьников, а не только
для небольшой части избранных. При этом окажется, что способность
к познанию школьного курса математики присуща практически
каждому. В связи со сказанным я хотел бы напомнить читателям
следующие слова Н. И. Лобачевского, сказанные им в предисловии
к учебнику алгебры: «Готов я думать, что если учение математики,
столь свойственное уму человеческому, остается для многих
безуспешно, то это по справедливости следует приписать недостаткам
в искусстве и способе преподавания»2.
Нельзя сказать, что педагогическая общественность остается в
стороне от выявления и развития математических способностей.
В Московском университете мы ежегодно открываем двери перед
многими сотнями юношей и девушек. И у преподавателей университета
имеется право утверждать, что многие школы и преподаватели
умеют привить любовь к естественным наукам и математике, дают
своим воспитанникам достаточно прочные и продуманные знания по
математике,воспитывают увлечение ее методами*и веру в возможность
познания окружающего нас мира. Более того, эти преподаватели
прививают учащимся уверенность в их силах, в том, что им по плечу
любые задачи, поскольку они обладают способностями, в том ‘
числе и ^математическими, и умеют целенаправленно работать.
Именно они, эти бывшие воспитанники средней школы, за годы
советской .власти превратили советскую математику -в решающую
силу мировой науки. Они дали прекрасное развитие не только старым
направлениям математической мысли, но создали также новые
направления ее прогресса.
К сожалению, наряду с хорошо подготовленными по математике
учащимися, имеется немалая доля таких, кто не хочет работать си-
стематичесш, не привык вникать в суть понятий и идей, плохо
успевает и с трудом переходит из класса в класс. Нередко в таких
случаях родители и преподаватели прибегают к спасительному
объяснению: «Но ведь этот учащийся лишен математических способностей
». Но насколько можно доверять так легко даваемым заключениям
об отсутствии математических способностей? Насколько
серьезно изучены причины плохих математических успехов школьника?
Действительно ли способности отсутствуют или же отсутству-
J Г у мил ев Л. Н. В поисках вымышленного царства. М.: Наука, 1970.
а Л о б а ч е в с к и й Н. И. Поли. собр. соч. М.—Л.: Физматгиз, т. IV,
1948, с. 369.
88 О математических способностях
ет желание приложить усилия, чтобы понять изучаемый материал,
а возможно, отсутствует и знание первичных основ?
Под утверждением «лицо А лишено математических способностей»
кроется целая гамма различных представлений. Сейчас мы коснемся
только одного из них — способности учащегося благополучно
преодолеть школьный курс математики, разобраться в основных
понятиях и идеях, а также научиться самостоятельно решать рядовые
задачи.
Многолетний опыт общения со студентами, школьниками и их
родителями убедил меня в том, что, как правило, неудачи с усвоением
школьного курса математики (а также общего курса втузовской
математики) связаны не с отсутствием способностей, а с
отсутствием систематической работы, со стремлением перейти к
изучению последующих частей курса без приобретения необходимых
знаний по предыдущим, без ознакомления с фундаментальными
понятиями и идеями, лежащими в основе всего последующего. Как
правило, приходится встречаться со случаем, когда учащиеся заучивают
без осмысливания, набивают себе руки в пользовании определенным
алгоритмом без понимания и обладают в огромной мере
ленью разума, которая мешает им самостоятельно преодолевать
встречающиеся трудности. А ведь только в самостоятельном преодолении
затруднений приобретается уверенность в своих силах.
Я полностью согласен с теми педагогами, которые отрицают
необходимость какого-то специального дара для хорошего изучения
курса школьной математики. Об этом лет семьдесят назад говорил
замечательный французский педагог и математик Эмиль Борель. Об
этом же писал наш выдающийся математик А. Н. Колмогоров в известной
брошюре «О профессии математика»: «Для усвоения курса
средней школы, так же как и курса высшей математики, вполне достаточны
обычные средние способности»1.
Заключение же об отсутствии способностей педагогически очень
опасно и в подавляющем большинстве случаев не обосновано.
Прежде всего такое заключение способно угнетающе подействовать
на психику учащегося. Уже одно это обстоятельство должно заставить
нас с осторожностью говорить об отсутствии способностей.
Но этого мало. Под предлогом отсутствия способностей учащийся
может перестать заниматься, потеряет стремление встать на один
уровень со всеми, лишится желания работать с полным напряжением
сил и с чувством ответственности. При этом у него лоявится весьма
веский аргумент: «Чего же вы от меня требуете, ведь у меня нет
математических способностей».
Умение учиться не приходит само собой, а требует специальной
подготовки, внимания и серьезных усилий со стороны учащихся и
учителей. Я убежден, что среди учащихся, испытывающих трудности
при изучении курса математики (да и только ли математики!),
1 К о л м о г о р о в А . Н . О профессии математика.-М., 1960.
89 О математических способностях
причина трудностей кроется именно в том, что они не обучены искусству
учиться.
В результате разум и труд, превратившие первобытного человека
в человека современного, позволившие человечеству достичь
вершин познания и создать шедевры в науке, литературе, искусстве,
технике, остаются в стороне, формальные же сведения в лучшем
случае укладываются на полках памяти.
Должно же быть иначе: память обязана играть лишь роль верного
помощника разума, мысли, и не следует взваливать на нее несвойственную
ей роль единственного пути познания. В памяти должны
храниться сведения, идеи, методы, но они должны по мере надобности
превращаться в активные методы при решении возникающих
проблем. Точно так же невозможно научиться говорить на
чужом языке, если снабдить память только словами, выражениями,
правилами грамматики и синтаксиса. Однако этого мало. Необходимо
научить человека активно использовать приобретенный запас
знаний. А для этого необходимо говорить, писать, читать и тем самым
не давать знаниям лежать мертвым грузом. Для математики
упражнения на решение задач, доказательство теорем, логический
анализ условий доказанных предложений и развитие способности
провести необходимые рассуждения при измененных обозначениях
так же обязательны, как разговор на вновь изучаемом языке.
Хорошо известно, что процент неудовлетворительных оценок
по математике велик среди учащихся всех стран. Математика считается
трудным предметом. Причина этого лежит, однако, не во
врожденной неспособности части детей к математическому познанию.
В действительности имеется много иных причин повышенного
процента неудовлетворительных оценок по математике.
Большой ущерб обучению наносит отсутствие привычки вникать
в смысл вводимых определений, осваивать их на примерах
ранее полученных знаний и на самостоятельно решаемых задачах.
Нередко учащиеся сводят изучение новых понятий к запоминанию
определений, вместо того чтобы при этом улавливать и вложенный
в них смысл. В результате наблюдается формализм полученных
знаний, который не позволяет двигаться вперед разумно, мешает
при решении задач и при последующих объяснениях учителя.
Мешает изучению математики отсутствие привычки внимательно
следить за цепочкой логических выводов, критически их осмысливать,
замечать отсутствие необходимых для полноты вывода звеньев
рассуждения. Несомненно, что существует определенный
разброс способностей этого рода и можно указать в каждом классе
многочисленные примеры учеников, которые чувствуют себя при
проведении логических рассуждений как бы в родной стихии, и
учеников, которые быстро утомляются и теряют нить вывода. В
этом случае систематическая тренировка на простейших задачах
и логических примерах может принести неоценимую пользу.
Очень важно воспитывать, наряду с привычкой к логическому
выводу, математическую интуицию, которая позволяет намечать
90 О математических способностях
окончательный результат и примерный путь его получения заранее.
Об этом много и прекрасно сказано в книгах Д. Пойа «Математика
и правдоподобные рассуждения» и «Математическое открытие».
Часто учащиеся предпочитают заучивать доказательства теорем
без того, чтобы усвоить их основную идею, чтобы понять логику
их проведения, стремятся запомнить каждый шаг вывода,
каждое обозначение, каждое дополнительное построение вместо
того, чтобы разобраться, зачем оно делается и в чем состоит связь
звеньев рассуждения. Понятно, что при таком подходе ученик взваливает
на себя непосильный труд, не развивая при этом умения
учиться.
Человек обладает огромными потенциальными возможностями
духовного, развития, восприятия нового в различных областях
знания. Но для того, чтобы возможность превратить в действительность,
требуется приложить усилия и учителю, и ученику. Особенно
существенно чувство ответственности учащихся за процесс обучения,
поскольку им придется самим жить и учиться. Им придется
принять на себя всю ответственность за прогресс страны, ее
экономики, промышленности, сельского хозяйства, науки и культуры.
А на что будут способны граждане, если они с детства не
приучены нести ответственность за свои поступки, не воспитаны в
уважении к труду и внутренней потребности в нем, не научились,
сделав хорошо, стремиться к еще лучшему.
Интересно, что Л. Н. Толстой в правилах поведения, которые
он выработал для себя в 1847 г., писал: 1) что нужно непременно
сделать, то исполняй, несмотря ни на что; 2) что исполняешь, исполняй
хорошо.
Школа и семья должны действовать совместно в воспитании у
подростка привычки и потребности к самостоятельному труду,
выполненному хорошо. Следует воспитывать удовлетворение от
умственного напряжения, которое принесло видимые плоды. Это
задача далеко не частная, она имеет огромное государственное
значение.
Почему мы не удивляемся тому, что ток не идет по разорванной
электрической цепи, но ссылаемся на природную неспособность
учащегося, когда у него разорвана цепь последовательных знаний и
навыков? Приступая к изучению алгебры и геометрии, нельзя назвать
учащихся, которые неспособны к восприятию и усвоению
школьного курса математики. Другое дело, что одни делают это
быстрее и лучше, а другие — медленнее и не столь основательно.
Это уже другой вопрос— статистический разброс свойств человека,
который постоянно приходится наблюдать и при изучении
массовых явлений природы.
Сейчас уместно сказать несколько слов о положении в классе
учащихся со способностями выше средних. Здесь опасны обе крайности
— как фактическое забвение их существования, так и чрезмерное
подчеркивание их талантов. При первом отношении, которое
случается нередко, поскольку учитель уделяет все внимание
91 О математических способностях
отстающим учащимся, можно легко сначала потерять интерес к
предмету, а затем и сами способности. При втором же подходе
можно вызвать у ученика чрезмерное самомнение и нарушение
психологического равновесия в классе.
Способные учащиеся тоже требуют к себе внимания и повседневных
забот. Забот очень ответственных, поскольку на математические
способности в век научно-технического прогресса и математизации
знаний следует смотреть как на национальный капитал. Это
достаточно хорошо у нас понято в отношении спортивных способностей,
и сейчас мальчики и девочки, показавшие свои незаурядные
спортивные возможности, с ранних лет становятся предметом
гордости и внимания спортивных тренеров, руководителей школ,
комсомольской общественности. С умственными способностями
пока этого нет, но я и не предлагаю переносить опыт воспитания
чемпионов на учащихся с математическими способностями.
Каждый опытный учитель знает, что время от времени в классе
появляются ребята, которым математические знания даются буквально
«с лета», без видимых затруднений. Они как бы знают все
заранее и вновь вводимые учителем понятия у них не только мгновенно
укладываются в голове, но и начинают работать при решении
задач, при переосмысливании ранее полученных знаний. Как правило,
при решении задач в классе они успевают их сделать раньше,
чем одноклассники осмыслят их содержание. И очень часто при этом
они предлагают оригинальные решения, не связанные со стандартным
подходом. При объяснении же нового материала они понимают
его с полуслова.
Возможности познания школьников с повышенными способностями
не используются в классе и на половину. Нередко им становится
в классе скучно, и они начинают отвлекать товарищей от
Дела, начинают привыкать к мысли, что можно хорошие оценки получать
почти автоматически, без систематического упорного труда.
По-видимому, для таких учащихся следует разработать индивидуальные
планы обучения, использовать систему дополнительных
заданий, которые можно давать сразу же после выполнения основной
части программы. Эти задания должны быть интересны и содержательны
и в то же время составлены так, чтобы способные учащиеся
несли моральную ответственность за их выполнение перед
классом. Быть может, это будет чтение дополнительной литературы,
на основе которой должна быть подготовлена статья в классную
математическую газету или доклад для кружка. Понятно, что в такие
дополнительные задания следует включать задачи повышенной
трудности, доказательства теорем, находящихся в русле программы,
но выходящих за пределы предусмотренного минимума.
Методика работы со способными учащимися заслуживает пристального
внимания. Здесь есть над чем додумать, и необходимость
в этом огромна. Ведь наша задача состоит не только в том, чтобы
сохранить природные способности, но и в том, чтобы талантливые
учащиеся не приобрели зазнайства, а ясно увидели, что потенци
92 О математических способностях
ально каждый человек обладает некоторыми способностями и они
не представляют в этом отношении исключения.
Нам следует так воспитывать учащихся с повышенными способностями,
чтобы они поняли простую мысль: способности накладывают
на них повышенные обязанности перед обществом, но не дают
права относиться к другим без должного уважения.
Естественно возникает вопрос: что же следует предпринимать,
чтобы не было ссылок на недостаток у учащихся математических
способностей при изучении школьного курса математики? Что следует
делать, чтобы подавляющее большинство школьников успешно
усваивали курс математики и овладевали основами математического
мышления, так необходимого в современной жизни?
На мой взгляд, основное —это вызвать интерес к предмету,
непрерывно его поддерживать и научить учиться. Нужно показывать
не только и не столько внутреннюю логическую стройность
и завершенность математики, но также ее связи с другими науками,
широту-ее применений и богатство ее истории. Этому помогут
и указания на философскую значимость математики. Школьник
должен каждый день получать подкрепление убеждения в том, что
математика является не только и не столько предметом для сдачи
экзамена и получения диплома, сколько орудием для последующей
работы, для разрешения многочисленных задач первостепенной
важности. Школьник должен быть убежден, что знание математики
необходимо всем — рабочим, инженерам, военным, экономистам,
биологам. Несомненно, что интерес школьника к математике должен
быть основан не только на широте ее применений, но и на понимании
внутреннего логического совершенства и красоты самой
математики.
Само собой разумеется, что ни один учебник не может вместить
в себя все необходимые для этого сведения. Полноценные и разнообразные
методические материалы должны раскрывать , современную
ценность математики, наглядно показывать примеры технических
применений, важность математической строгости. Для этого можно
использовать и теорию релейных схем, и задачи поиска неисправностей
технических систем, и вопросы контроля качества продукции,
и задачи медицинского диагноза, Рассказывая об ученых,
полезно указывать, как они подходили к своим проблемам, откуда
их черпали и как им удавалось сформулировать окончательный результат.
Мы уже говорили о необходимости развития инициативы, самостоятельности
и чувства личной ответственности у каждого школьника.
Это нужно не только при решении задач по математике, но
и в последующей жизни, когда сегодняшний школьник начнет работать
на производстве, в школе, * учреждении. К сожалению, мы
нередко сами не развиваем, а гасим самостоятельность учащихся
чрезмерной опекой. Иногда случается и так, что учитель отвергает
с ходу оригинальное решение, предложенное-учеником, только
потому, что оно не соответствует структуре учебника, школьному
93 О математических способностях
стандарту. А это крайне опасно, поскольку при этом сковывается
творческое начало. Другой разговор, если предложенное решение
основано на ошибочном рассуждении, нестрого или же чересчур
сложно. Но и в этом случае необходимо разобраться и указать,
в каких пунктах допущены промахи.
Способности —великий дар природы. Школа должна содействовать
его развитию.
94 О математических способностях
Околоadmin
Comments