§ 7. Об обратных действиях

ГЛАВА I. УПОТРЕБЛЕНИЕ БУКВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ЕГЭ 2015 Математика. Библиотека учителя. Школьная математика.

Купить книги по математике за низкие цены:

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Об обратных действиях. Простые вопросы по математике

Мы рассмотрели свойства двух основных арифметических действ
и й — сложения и умножения. Сейчас мы займемся обратными
действиями —вычитанием и делением.

30 Законы арифметических действий. Простые вопросы по математике

Вычитание — действие, обратное сложению. Деление — действие,
обратное умножению. Внимательное изучение обратных действий
показывает, что они обладают одной особенностью: они не всегда
выполнимы, в то время как прямые действия (сложение и умножение)
выполнимы всегда.
В самом деле,, какие бы два числа нам ни задали, мы всегда
можем их сложить или перемножить. Иначе обстоит дело с вычитанием
и делением.
Вычитание можно производить во всех случаях, когда уменьшаемое
не меньше вычитаемого (т. е. больше его или равно ему). Если
же уменьшаемое меньше вычитаемого, вычитание производить нельзя.
Другими словами: выражение а — b имеет смысл, если а не меньше Ь\
если же а меньше b, выражение а— Ь не имеет смысла.
Рассмотрим теперь деление. Если бы мы не знали дробей, мы
во многих случаях не могли бы производить деление и должны были
бы говорить, что выражение не всегда имеет смысл. В самом деле,
7
что может сказать о выражении 7:15 или yg- тот, кто не знает дробей
(например, ученик младшего класса школы)? Он должен сказать:
деление здесь выполнить нельзя, выражение это не имеет смысла.
Мы же знаем дроби, и поэтому для нас выражение — имеет смысл
при любом а как целом, так и дробном и при любом b, кроме одного
случая. Именно, выражение ~ не имеет смысла, если Ь=0. Другими
словами: деление всегда возможно, кроме деления на нуль. На нуль
делить нельзя!
Возникает вопрос: чем вызвано запрещение делить на нуль?
Попробуем разделить какое-нибудь число на нуль, например 2. Чтобы
выполнить деление, мы должны отыскать такое число, которое при
умножении на нуль дало бы в произведении 2. Но такого числа
нет, так как произведение любого числа на нуль равно нулю. По той
же причине нельзя разделить на нуль и всякое другое число, отличное
к 2 от нуля, например 5, у и т. п.
Остается рассмотреть деление нуля на нуль. Чтобы выполнить
деление в этом случае, мы должны найти такое число, которое при
умножении на нуль даст в произведении нуль. Этим свойством обладает
любое число, так как произведение любого числа и нуля равно
нулю:
2 7 — 0 = 0; у — 0 = 0; 1275,3 • 0 = 0 и т. п.
Таким образом, в качестве частного от деления нуля на нуль с одинаковым
правом можно было бы взять любое число. По этой причине
действие деления нуля на нуль не имеет смысла, так как у нас

31 Законы арифметических действий. Простые вопросы по математике

все равно нет никаких оснований для выбора определенного ответа.
Более того, при неосторожном обращении с делением можно, выполнив
незаметно для себя деление на нуль, получить неверные результаты.
Вот почему в математике принято правило: на нуль делить нельзя\
Выражение ~ при любом а не имеет смысла. На нуль делить
нельзя.
В гл. II будет показано, что вычитание из меньшего числа большего
становится возможным, если к известным нам числам присоединить
так называемые отрицательные числа. Таким образом, будет
показано, что выражение а — b имеет смысл также и при а меньшем Ь.
Иначе обстоит дело с делением на нуль. Деление на нуль остается
невозможным и при дальнейших присоединениях к известным нам
целым и дробным числам еще и других, пока не известных нам, чисел.
Упражнения
Задача 1. Два числа, произведение которых равно 1, называются обратными
1 7 3
друг другу. Так, например, 2 и у обратные друг другу числа,у и у обратные
друг другу числа. Для всякого ли числа существует обратное?

32 Законы арифметических действий. Простые вопросы по математике

Околоadmin