ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Функцию
получаемая из уравнения (1) после разрешения его относи*
тельно х , называется обратной по отношению к функции
здесь две функции, и каждую из них можно назвать обрат
ной для прямой функции у = 2х2. Если мы хотим получить
однозначную обратную функцию, то надо наложить ограничения
на изменение аргумента х прямой функции; например,
если у === 2х2 и х ^ О , то имеем однозначную ей обратную
Отметим, что прямая функция у = 2х — 3 и обратная ей
функция х — имеют один и тот же график, так как
любая пара чисел, удовлетворяющая уравнению (I), удовлетворяет
также и уравнению (2). Например, для функции

210 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

у = 2х — 3 имеем х j = 2; у, = 1; х 2 — —3; у 2 — —9.
Но если в обратной функции поменяем местами х и у, т. е.
обратную функцию будем обозначать, как и прямую, буквой у,
а аргумент буквой х , то графики
функций
у = 2х — 3 (прямая функция),
у = * (обратная функция)
уже не совпадают: они симметричны
относительно биссектрисы
перррго и Третьетр координатных
углов (рис. 83).
Таким образом, прямая
функции у === / ( х ) будет иметь
однозначную ей обратную функ —
цию д: = ф(у) или, при обычных
обозначениях аргумента Рис, 83,
и функции, у = ф^ле), если для
прямой функции берется такрй промежуток изменения аргумента
л:, в котором функция у или только возрастает, или
только убывает.
.., Д р цм ер . функция у = л:3 возрастает на всей числовой
‘ _i_
оси. Обратная ей функция у = д:3 также всюду возрастает
(ср. рис. 18 и 30,2)).

§ 100. Функция арксинус

Будем исходить из графика функции у = sin х (рис. 75).
Каждому значению угла х соответствует определенное и
единственное значение синуса этого угла; в геометрическом
истолковании это означает, что перпендикуляр, восставленный
из любой «н к» оси Ох, пересекает график функции
только в одной точке. Но можно ли сказать и наоборот,
что каждому допустимому значению синуса, т. е. числу у,
соответствует единственное значение угла лг? Очевидно, нет,
так как из § ШЗ нам известно, что Данному значению синуса
соответствует бесчисленное множество углов; например,
если y= = sin *= —j-. то х ~ (^ l)* ~ -f-:ri& , где A = S r ± t , .
± 2 , ±3,- . . . , е. А.—любое ‘.целое числе; Геометрически
эти углы мы получим, если проведем прямую параллельно

211 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

оси Ох на расстоянии и выше оси Ох. Эта параллель
пересечет синусоиду бесконечно много раз, если мыслить
график продолженным неограниченно в обе стороны.
На рис. 75 показаны точки пересечения, абсциссы которых х
Таким образом, нельзя пока установить обратного соответствия
между значениями синуса (у) и значениями х так,
чтобы это соответствие было однозначным. Однако если
угол х считать изменяющимся только на отрезке
| —-2-; y j , то каждому значению у ( |у | << 1) будет
соответствовать единственное значение х . Другими
словами существует однозначная обратная функция, которая
обозначается следующим образом:
Если .-■■■■ . ■ ‘ ’■….
y = sin* (—у
то,
* = arcsin у (|у | < 1).
Последнее равенство читается так: х есть угол (дуга)
в радианной . мере, синус которого (которой) равен у,
или сокращенно: «* равен арксинусу от у». Символ
«arcsin» пишется слитно. Он образован из двух латинских’
слов: «arcus» — дуга и «sinus».
Аргумент обратной функции также принято обозначать
буквой х , так что вместо записи х = arcsin у в дальнейшем
будем писать
у — arcsin*.
где ‘
|* |- < 1 . — ■5″<у-<! у .
Взаимная обратность функций sin* и arcsin* передается
в следующих записях:
sin (arcsin *) =* х , если |* | <[ 1, ‘
т. е. знаки операций «arcsin» и «sin», если оИи следуют
друг за другом, взаимно уничтожаются и остается то число *.
над которым последовательно были произведены эти две
операции.

212 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Например, 1) sin ^a«sin sin
2) sln|arcsin^— = sin .
Обратный порядок выполнения этих двух операций, т. е.
arcsin (sin х), дает нам право приравнять это выражение х;
если |х | — С у , то arcsin (sin *)== * есть тождество:
arcsin (sin = -2;
arcsin [sin ( — ” )] = _ » .
Но
:.■■■■■ j 2 » \ ‘»»»2
arcsin ^sin y я), я.
Это выражение надо вычислять так:
sin = sin |я — у ) == sin
откуда
arcsin ^ s in ^ -j = — j .
Приме чание . Множество всех углов, синус который
равен * ( |* 1 < I), обозначают символом Arcsin * , так что,
например, ,
Arcsin ~ =* — (— 1 )* + як,
Arcsin ^— ^ y ~) ~ — ~t + я ^«
где А — 0, ± 1 , ± 2 , . . .

§ 110. График функции

Для построения графика функции
у = arcsin* (1)
можно воспользоваться тем, что из соотношения (1) следует
* = siny (2)
по определению^ функции арксинус.

213 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Если построим т у частьсинусоиды x ^ s i a у» которая
соответствует изменению аргумента у на отрезке [—у • у ] .
то это и есть график функции у = arcsin х (рис. 84). .Вся
синусоида х ==rsioу есть график многозначной
функции
у = Arcsin х.
у -a r c s in ,т Отметим свойства функции arcsin х.
которые можно прочесть по графику.
1) Функция определена только на
отрезке 1—1. 1]. т. е. допустимыми
значениями аргумента * (синуса)
являются числа, не превосходящие по
абсолютной величине 1;
2) множество всех значений функции
составляет отрезок [— у • -у ] >
т. е. — ~ < arcsin * < 2-
Рис. 84.
3) когда аргумент х пробегает отрезок
[—1, 1J слева направо, то зна-
■ чения функции у изменяются от — -у
до , т. е. функция возрастает на
всем отрезке ГJ — -Яу , я т1 , при-
нимая наименьшее значение при х — — 1, равное ; я?j-, и
наибольшее значение при х = 1, равное ;
4) функция обращается в нуль при х = 0;
5) функция arcsin х нечетная:
arcsin (— х) = — arcsin х;
график ее симметричен относительно начала координат.

§ 111. Функция арктангенс

Функция у = tg х каждому допустимому значению аргумента
х ^ х — угол в радианной мере, х ставит
в соответствие определенное значение у—тангенс этого угла.
. Можно установить и обратное однозначное соответствие
между значениями у и х , если функцию у — tg x будем

214  АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

рассматривал толькваратех значениях х , которые находятся
в промежутке 4jr ’ *§■)* Тогда каждому действительному
числу у, принимаемому за значение тангенса, можно поставить
в соответствие единственное число х — соответствующий
угол в радианной мере: любая прямая, параллельная оси Ох,
проведенная на каком угодно конечном расстоянии от оси Ох
(выше или ниже ее — все равно), пересечет график функции
у == tg х только в одной точке, абсцисса которой заключена
между — -Tjr и (рис« 77).
О яр-еде л е н и е. Функция, обратная тангенсу, называется
арктангенсом.
Если у = fg * — прямая функция, то х — arctg у — обратная
функция.
Эту запись надо понимать так: «* есть такой усол в радианной
мере, взятый из промежутка ^ , тангенс
которого равен числу у». Переставляя обозначения аргумента
н функции, запишем обратную функцию в виде у = arctg х .
В этой записи аргумент х (тангенс) — любое действительное
число, функция у (угол в радианной мере) — любое число из
промежутка ^— — у , ,
Взаимная обратность операций «нахождение тангенса» и
арктангенса записывается так:
tg(arctg х) = х (х — любое действительное число),
arctgOgx)**jf (— •y < * < • } ) *
Таким образом,,
tg (arctg 2) —2, tg [ arctg (— я)] — — я;
arctg (tg £■* no a r e tg ( tg l я)
поскольку угол -3j я .в.. ы■-ходит за пределы промежутка
^ П о э т о м у надо писать
arctg ^tg —■ я) = arctg (— 1 )= — JL.
Примечание : Множество всех углов (дуг), тангенс
Которых равен -данному числу х , обозначают через Arctg Д.

215 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Отсюда следует, что функция у — Arctg х многозначна:
Arctg 1 = (к = 0, ± 1 . ± 2 , ± 3 . . . . ) .
тогда как arctg-1 = — ■
‘ Очевидно, Arctg х = arctg х -f- як-

§ 112. График функции у = arctg х

На рис. 85 изображен график функции у — arctg х . Этот
график совпадает, с рафиком функции х *=tgy, когда аргумент
у изменяется в промежутке ^ С в о й с т в а
функции arctg х:
1) аргумент х может быть любым действительным числом,
т. е. функция определена
на всей числовой
оси;
2) множество значений
функции (у) обра-
зуют промежуток I/ — яя-….
Рис. ,85. 3) функция arctg х
нечетная, так как
arctg (— х ) = —*■ arctg х; график симметричен относительно
начала координат;
4) функция arctg х возрастает во всей области ее определения:
когда x f возрастая, пробегает числовую осн. в направлении
слева направо, значения функции последовательно
увеличиваются;
5). функция арктангенс не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значений, если ее рассматривать на всей числовой
оси; (— оо < х < —{- оо),

§ 113. Обратные функции arccos х и arcctg х

Оп р е д е л е н и е 1. Функция, обратная косинусу, называется
арккосинусом.
Если у — cos х , то х = arccos у, что следует понимать
так: х есть угол (дуга), косинус которого (которой) равен у.
Обозначая аргумент обратной функции также буквой х ,

216 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

а функций» чёрез у, Получим запись
у = arccos х.
Функция арккосинус будет однозначной, если множество
ее значений заполняет отрёзок [0, я]. Тогда каждому зна—
чению |х|<у 1 соответствует единственное значение у (0
< у< я). •■■ ■ -■ •’ ■;
Взаимная обратность функций cos х и arccos х передается
в математической записи:
eos(areco.s —=х, еслц —-1 -< х ^ 1,
afceoa(cosх) == х , если. (Ь ^ х аф я ^
График функции у == arccos х совпадает
с той частью графика функции
х — cos у, котораи соответствует изменению
у от 0 до я (рис. 86). По этому
графику прочтите свойства функции;
Оп р е д е л е н и е 2. Функция, обратная
котангенсу, называется аркко-
. „• — тангенсом. y * a r c c o s x —
у
п ‘ —
. . . . я
■
Ж
y=arcrtjyx
1 X
Рис. 86. Рис. 87.
Из равенства у — ctg х следует, что х == arcctg у, или
в уже привычных обозначениях,
. . у = arcctg х. (1)
В равенстве (1) х — любое действительное число, принимаемое
за значение котангенса, у соответствующий угол
(дуга), взятый (взятая) из промежутка 0 < у < it. График
функции изображен на рис. 87.
Приме ры.
1-) a r c c t g 3) arccos(— 1) ===== я*
.2) arcctg (*• 1) = — |я ; 4) arccos -1j = уя .

217 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Взаимная обратнрсть функций, .arcctg jc и etg х щдма ад
следующей записи:
ctg (arcctg х) = х , —• оо < * < со;
arcctg (ctg х) — х , если 0 < х < л.

§ 114. Некоторые тождества, связывающие обратные
тригонометрические функции

Т е о р е м а. При всяком действительном значении х,
удовлетворяющем неравенству [я] 1, имеет место
тождество . ,
arcsin х -j- arccos лг — 4р.
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Если х > 0, то найдутся два
положительных острых угла а и —• — а, для которых справедливо
равенство
2) Если х < 0 ( j jcf^ l), то исходим из формулы приведения:
где а — острый угол, а потому отрицательный угол нахо

218 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

в’ переводе: на язык обратных тригонометрических функций
получим ‘ ‘
arccos х = ~ a, arcsin х = —а.
После сложения снова имеем
— arcsin х -f-arccosх = ^
Подобным же образом может быть доказано, *что при любом
действительном значении » справедливо тождество
л
arctg х -f- arcctg х ■ Т
Доказательство рекомендуется провести садам учащимся.

§ 1 1 6 . Выражение любой обратной тригонометрической
функции через остальные

Любую из четырех обратных тригонометрических функций
можно выразить через любую из трех остальных.
1. Выражение arcsin х через арккосинус, арктангенс
и арккотангенс. Пусть
sin а = х (0 < х ^ 1).
Тогда
cos а —У Г—XV
ctg а =
О)
Равенства (1) равносильны следующим равенствам:
а = arcsin х,
а = arccos У 1— х 2,
а = arctgarcctg
У г —
VT-
(2)
Эти равенства вытекают из самого определения обратных
тригонометрических функций.

219 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Так как левые части всех равенств (2) равны между
собой, то равны и их правые части:
2. Выражение arctg x через остальные обратные тригонометрические
функции. Пусть

220 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Рекомендуется учащемуся тем же методом показать справедливость
следующих равенств:

§ 116. Примеры на обратные тригонометрические
функции:

Пр име р 1. Вычислить sin £ arccos^—-|-) 4*3 a rcsin^pj’
Полагаем
а = arccos ^— -i-\, р = arcsin
Тогда
cosa==— у1 ; следо. вательно, a = -2g -rt,
Si np= * р = J ,
откуда —
sin 0 p — + — 3 — — ||= s i n x = s i n ^2я — f )= ^—sin j = —
Пример 2. Вычислить tg-^arcsin-g-+arctg . Полагаем
a — arcsin , 0 = arctg — j .
Тогда
J .
sin a = j г tg a~= =*— *■; tg f$ = = i.
Ш

221 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

По формуле тангенса суммы имеем:
tg ( а — И ) ~ -r -?gt~g a .-«tggf>f n t г а=
V 8
3. -И У 2
зУ 1
6 f 5 —
я* 3,21.
Приме р 3. Вычислить sin ^2arctg у —• у a rc c o sy j.
В новых обозначениях данный пример можно переписать
так:
где
sin (2«—4 ) ,
а = arctg у ,
0 = arccos у3:
(1)
По этим данным предварительно вычислим sin 2а, cos 2а
sin у6 и cos уВ , так как
sin ^2а — у ) = sin.2a • со&.-| — cos 2а • sin у . (2)
Из равенств (1) следует
tg a = у1 , cospо = y3,
где а и J — острые углы,

222 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

(здесь угол а рассматривался как половинный я© отношению
к 2а, а потому были применены формулы § 100).
Аналогично,
‘созр— 4
Теперь, используя (2), имеем
sin ^2 arctg — j — ia rc c o s —
Пример 4. Доказать тождество
arctg y2j —f 2 arctg ji = arctg j1 .
a ‘
Если данное равенство справедливо, т. е. левая и правая
части представляют одинаковые углы, до равным углам соответствуют
равные тангенсы. Возьмем тангенс от левой
й правой частей:
tg (arctg А + 2 arctg у ) = tg(a + 2р) = M ^ tg aV ip p ‘
Но
tg « ~ -уу- (° < « < у ) >
а потому a — )-2р < у * и левая часть равенства есть острый
угол, причем /
tg’ (arctg j — -j- 2 arctg у | = j ;
Из равенства тангенсов двух острых углов следует равенство
самих углов. Этим тождество доказано.

223 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Приме р 5. Найта дс из уравнения
arcsin х — arccos дс = 0 (дс > 0).
Так как arcsin х — arccos Y *— то уравнению можно „
придать следующий вид:
arccos У 1—дс2 = агссоз х , .
откуда .
]/ 1 — х 2 — X, 1 — дс2 = дс2;
2дс2 = 1, или д г = = ± ^ ~ .
Проверка: ■
1) arcsin arccos — -1— — 0;
OV . / У 2) arcsin I — -^2^~У I — arccos /I — У~3\I = —‘ я ‘— 1 —я «=£, 0п,
У~2 Число— не является корнем данного уравнения, оно
есть корень уравнения ■*
arcsin дс — arccos дс = —я.

§ 117. Еще некоторые примеры
тригонометрических уравнений

В § 107- были показаны приемы решения простейших-
Рассмотрим еще другие типы тригонометрических уравнений
и способы их решений. ;
I. Уравнение вида
a cos2х -\-b cos дс • sin дс -f- с sin2 дс = 0. (!)
Уравнение (1) называется однородным относйтёльно sin дг
и cos дс, причем степень однородности равна 2. (Сравните с
алгебраическим уравнением ах2-{-1)ху-\-су2 = 0, которое тоже
называется однородным второй степени’ относительно дс и у.)
Будем считать все три коэффициента а, Ь и с отличными
от нуля. Очевидно, что решениями .или корнями уравнения (1)
не могут являться те углы, косинус или синус которых равен
нулю:
сб8дс#0, since =£0.

224 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Допустим противное, т. ё. что cos х = 0. Тогда первые два
члена левой части уравнения (1 ) обратятся в нуль и получится
с • sin2 х — О,
что невозможно при с Q, так как sin х ==.± 1 при cos* = 0 .
Аналогично убеждаемся в том, что sin х ФО. В таком
случае можно делить все члены уравнения, на cos2* (или
на sin2*). Получим квадратное уравнение относительно тангенса
(соответственно — котангенса):
с • tg2 * -f- b — tg * •+- а — О,
откуда
‘ — b ± V W = ^ r e .
2с
если А2 — 4лс ]>0, то уравнение имеет действительные корни.
Пример. 2 cos2 * -(- 5 cos * • sin * 3 sin2 * = 0. После
деления на. cos2 х получим:
3tg2* — 5 tg* —2 — О,
■(tg x , ; „ = i ± £ p a = ^ ,
(*g *)i = — j . (tgx)2 = 2;
*i = arctg -g-)4-яЛ, v X j —;arc, tgi-f лА, j ■
* 2 = агс^:2фяА*-
где A = 0, ± 1, ± 2, щ ;
Вообще уравнение вида
a cos2 * -|- b cos * sin * -f- с sin2 * = m,
где т ф 0, решается так: умножаем правую, часть уравнения
на 1 = sin2 х -f-cos2* .
Тогда
a cos2 * + A cos x s in x—f- с sin2 * ±*= т (sin2 * 4 — cos2 *),
(а — т) cos2 *Ц-frsip* * cos * + ( с — m)sin2 * — 0.
Это однородное уравнение, к оно решается предыдущим
способом.
2.Уравнеииевида
— ‘• ‘ •••»- ■ ■ ‘-i’i ‘ ..—.г,. ‘Ч*,\ S- : •. * : -ft
a c o s*H ^A s in * i= c (афО, ЬФО.’сФО).
15 Р. А. Калят

225 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Выразим cosх и ; s|n д? через t g ^ 1% ДО0); полним
что приводит к квадратному уравнению:
(а 4 — с),г2 — 2 bz *4- с — а = 0.
Если дискриминант Ц = Ьг — (с — а) (а с) О, или
a2_j_ft2^.c2, то уравнение имеет действительные корни.
Пример. 5 cosх — f-4 sinх = 3.
Здесь а2 -\~Ь2 — с2 == 25 —f- 16 — 9 = 32 > 0, в уравнена
имеет действительные корни. Получим:
8д2 — 8£ — 2 = О,
4д2 — 4г — 1 = 0 , ^
Наименьший положительный угол, удовлетворяющий данному
уравнению, есть
Найдем его величину сначала в градусах, а потом в радианах:
— 1 ± £ 1 —
, -у- =* — arctg У ‘12….?■ -f- лй,
х г — — 2 arctg ^ 22 — ‘- ‘-}-2я&{
arcti .
2 arctg 1.2071 5» 100°44’г я* 1,758 pad. .

226 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Вт о р ой с п о с о б решения. Преобразуем левую часть
уравнения
5 c o sx 4 -4 ;s in x = = 4 j^ c 6 S x -4 -s tn x J .
. … ; 5
Введем вспомогательный угол §, полагая tg ф = ^ (ф = 51 °20′).
Тогда :::
. 4
5 cos х + 4 sin ie*=4,,gg.f * ) sin (л:-f-<p).
Уравнение теперь принимает вид
откуда
3 cos ф
Но
, ■ 1 _ _ .
C0S ф ~ y i — f tg2<p ~ ^ ^ 6403 » :
sin (А- 4 — Ф) = J • -g-щ- Я? 0,4686.
Поэтому
д:4-ф = (—1)* arcsin 0,4688- f-180® • А (А = 0, ± 1 , . . . ) .
НО ? ‘ ’ ■;/=
агсйп8,46Ш « 2 7 °5 7 ‘.
Окончательно,
S JW -W — r J f • 27°57’ ф .180° • к.
Часто удается после переноса всех членов уравнения в левую
часть разложить эту часть на множители. Приравнивая
-каждый сомножитель нулю, находим корни данного уравнения.
Пр им е р ы. I) cos х — cos’2а = 1. Представляем уравнение
в следующем виде:
cos а — {1 -j- cos 2а) = 0, *■
COS:A — 2cOS2;A^f t ; — M- ‘ , ‘ f . V :..я«; j
c o s x ( l — 2cos а) = 0. 4
Если произведение равно нулю, то должен быть

227 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

либо ,
1 — 2cosx = 0 , cosx = -1j ,n
x 2— ± -j-f-2 n ft (ft = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ).
2) sinx -|-s in 3 x -j-s in 5 x sst’O. Сумму sin i-f-sin 5 jc преобразуем
в произведение:
sin x -j-sin5x и ? 2 sin 3x • cos 2jc.
Уравнение принимает вид:
2 sin Sx • cos 2дг -f- sin 3x = 0,
sin Zx (2 cos 2* -j- 1) = 0;
1) Sin3jf = Q, Zx=*nk, x ,= -£ f t( f t = 0.. ±1. ; ±2, . . .
2) 2 cos2jc + 1 = 0, cos2x = — j ,
откуда
2jc = ± — ^ -\-2 n k , x 2— ±-j-J-nft (f t — 0, ±1 , ± 2 , . . . ) .

§ 118. Общие указания к решению тригонометрически^
уравнений

Приемы решения тригонометрических уравнений весьма
разнообразны и нет общего правила решения всякого уравнения.
Поэтому ограничимся Показом на примерах некоторых
часто применяемых приемов,, решения.
1) Если уравнение содержит несколько различных тригонометрических
функций одного и того же-аргумента, ТО
можно все функции выразить через одну, после чего получим
алгебраические уравнения относительно неизвестного, обозначающего
ту функцию, через которую выражены все
остальные.
Пример 1. 3 sin cos2 *==2. Здесь удобно cos2.*
выразить через синус, после чего получим квадратное уравнение
относительно sin х:
sin2 х -г- 3 sin х 1 — 0.
решая его.5 получим
• sinx =с’3-~~^5 «а 0.382,
11″ * = ( — 1)*22°30’+180°.А (ft = oj ± 1, );

228 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

второй корень, sinx = — ^ f f i , отбрасывается, поскольку
Пример 2. 3 stn х -f- cos >:.== I. В данном случае нецелесообразно
заменять cos дг на ± У 1—sin2 дг, так как получим
иррациональное уравнение относительно sin дс,. и после
освобождения от радикала могут появиться посторонние
корни. Проще решать это уравнение так:
3 sin jc — (1 — cosx) = 0,
6 sin ^ c o s 2 sin2 у — 0.
После сокращения на 2 и разложения левой части на множители
имеем
sin j ^3 cos y — jsln y ) = 0;
sin-^ = 0, x 1 = 2nk;
; tg — j = 3, x 2 = 2arctg 3 -\-3nk. j
2) Если уравнение содержит, тригонометрические функции
от различных аргументов, в состав которых входит неизвестное,
то часто целесообразно привести функции к одному
аргументу.
Пр име р 3. sinх 4 * 2 cos2х = 1,5. Здесь можно cos2де
выразить только через sin х , так как cos 2дс = cos2 х —sin2 х =
?= 1 — sin2.*— sin2 дс — 1 — 2 sin2 дс,\ после чего получим
квадратное уравнение относительно sin jc:
8sin2* — 2 sin дс —-1 = 0,
sinxt = -i> *! = ■£■(—-l)ft-f-n:A(* = 0, ± 1 , ± 2 , . , . ) ,
sin дс2= — -у , дс2= ( — arcsin j -f-
-j- nk (&s=P, ± 1, ± %rm
Пр име р 4. cos дс cos 2jc -j- cos Здс = 0, При решении
этого примера нет. необходимости приводить все функции

229 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

к одному аргументу (х); преобразуем левую часть уравнения
в произведение:
(cos х 4 — cos Зх) 4 — cos 2х = О,
2 cos 2х cos х 4-cos 2х = О,
eQs2x(2c6s > 4 — 1)==0,
Xt = -J (2 * 4 — 1); дг2= ± ~ + 2 n k (& = 0, ± 1 , + 2. , . .).
3) Приведенные примеры показывают, что одним из результативных
приемов решения уравнений является разложение
левой части уравнения на множители после переноса всех
членов в эту Часть. Поэтому иногда приходится прибегать
к искусственным приемам разложения.
Пример 5. j = 1 + sin 2х. Представим уравнение
в следующем виде:
— 1 —tg-ж — 1 = 2 sin х cos х
или
2 tg х • 2 sin х cos x = 0; 1 — tg x
i
выносим общий множитель sinx:
)
co sx I = 0,
или
sinx ■ COS x. j = 0;
1) ^sin x = p, x l =nfc (A = 0, ± 1 , ± 2 , , . . } ;
2) ———!— ;——— cosx==0, ‘ COS X — sinx S
1— COS2 X + sin X COS X Q
COS X — sin X
Предполагая, что cosx — sinx^O, находим
1 — eOs2 x -4* sin x cos x = 0,
sin2 x -j- sin x cos x ==. 0,
sin x (sin x -j- cos x) == 0;
отсюда либо sinx = 0, тогда имеем 1), либо
sinx 4 — со* ^5=4*

230 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

tg x = — 1, х2■==t~ (fc =г0 . ± 1 , . . . ) .
4) Вся» уравнение -содержит «ваараты синусов или косинусов
от неизвестного ‘аргумента, то обычно применяют формулы
понижения степени, заменяя sitf х на — — у 8 a cos2x
на — ,прием н&аеоообразно применять и при
более высоких четных степенях синуса и косинуса.
Шрлшвр Ш. *|». Решеиие:
, ; ‘ 4 = — s s ) — + p i cos 2л j 2
(1 — сон2й^4Н4 4 — c o s 2 x f= —,
2 4 -t«os22x = — | — )
аИагиМвдИо.. -1
14- cos 4x = — j , cos 4x = — | ,
4x = ± |p -4 .2 n ft,
х = ± | 4 — | й ( * = 4 ± 1 , ± 2 , . . .).
5) Уравнение, содержащее члены с произведениями синусов
или косинусов, приводят к виду, в котором произведения
заменены алгебраическими суммами.
Приме р 7. s i a ^ ^ ) s ^ ^ s m 8 x c » s 6 x = 0. Решение:’
• j &1пЩ -4 p n 2 x f— ^ (sin 14х 4 — sin 2х) ~=;в, ,
sinSx — sia 14х ==0,
— 2sin3x cos 11* = Q,
‘ s in 3 «— б, * , = { k—Ф. ± 1, 4:2, . . .),
cos 11* = 0, x 2 = -~^ (2k 4 — 1) (6 = 0, ±1, ± 2 ____).

231 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

§ 1 IS. Трягонеыетриае-свиефуякция
числового аргумента

Пусть ндм заданафункдия у — 2х\ при ее исследовании
.нас не интересует природа аргумента х . Действительно,
если 2 есть-стоимость (в рублях) одного килограмма товара,
а х — количество килограммов, то у — стоимость 2х кг.
Если, например, х = 5 кг, то у = 10 руб.
Если же число 2 есть скорость (сл/сек), а х — время
движения, то у— пройденный путь. Например, при х ~ 5 сек
значение функции у == 10 см, .
В обоих случая^ зависимость между аргументом и функцией
записывается одной и той же формулой. Поэтому при
исследовании функции можно отвлечься от конкретного содержания
величин, т; е» считать аргумент х отвлеченным
числом, ‘
В тригонометрии мы можем также ввести понятие функции
отвлеченного (числового) аргумента.
Опр е д е л ение . Тригонометрическая функция (отвлеченного)
числа а есть число, равное одноименной тригонометрической
функции а радианов; »
Например, синус 1 есть по определению число, равное
синусу одного радиана.

§ 120. Графики функций, получаемых преобразованием
синусоиды

1. График функции у = sin (х + а). На рис. 88 изображены:
графики двух функций:
‘■ у = sin х , у ssssin 4″ .
При одинаковых значениях независимого переменного х
аргументы этих двух функций отличаются на постоянную
величину: ^x-f- f-) — х — \ — Вследствие этого точке М на
графике -у =5= sin x будет соответствовать точка т втором
графике с той же величиной ординаты, но абсцисса точки М1
меньше абсциссы точки М на величину . То же самое соотношение
между абсциссами имеет, место и для пар точек
N n .N v .P и ординаты которых имеют одинаковую величину.
Таким образом, любая точка первого графика может
быть преобразована в соответствующую точку второго

232 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

графика переносом ее параллельно оси Ох в отрицательном
направлении на величину■ т«■г — •- *. ■
Если сдвинуть синусоиду у = sinx вдоль оси Ох в отрицательном
направлении на величину у* то произойдет слияние
(совпадение) этих двух графиков, и можно сказать, что.
график у = sin ^x-j- Щ ест* синусоида, у *= sin x , сдви- ,
путая вдоль оси Ох влево на величину у .
Подобным же образом График функции у — sin ^х — y j
можно получить из синусоиды У—sinx сдвигом ее в положительном
направлении (вправо) на величину у .
Вообще, график функции у — sin (х~\-а) есть синусоида
у = sinx, сдвинутая вдоль оси Ok вправо на величину
а при а < 0 и влево при а > 0.
П р й меч а н и е. Так как sin (х ~^r — cos х * то график
у = cosx есть синусоида; сдвинут влево вдоль оси Ох на
величину у . — • .
2. График функции у = /4 sinx. Сравним две функции:
1) y = 2sinx (/4 = 2) и 2) у = y s i n x ^/4 ==у) с функцией
у = sinx.
При одинаковых значениях аргумента х значения первой
функции в два раза большееоответствуюшйх значений ф и к ции
у = sinx-, значения второй функции1—в два раза меньше.

233 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

В геометрическом истолковании это означает, что ординаты
кривой у = 2 sin х могут быть получены из соответствующих
ординат кривой у = sinx растяжением их в два раза
в направлении оса Оу (положительные ординаты растягиваются
вверх, отрицательные—вниз).
Г рафик функции у = —sinx получается изграфика у—sinx
сжатием всех ординат в два раза в направлении оси Оу,
что изображено на рис. Ш.
Вообще, график функции у == A sinx получается из
графика y — sm x растяжением ординат в А раз а
правлении оси Оу при \А [ > 1 и сжатием их в А раз,
если | А | < I.
Число А) называется амплитудой синусоиды у — Asin х
и означает наибольшее отклонение точек «рафика от оси Олт,
т. е. наибольшую яр абсолютной величине ординату кривой.
Приме чан не. График функции у = — 2 sinx есть
зеркальное отображение. относительно оси Ох графика
y = 2 sinx (см. рис. 89).
3. График функции у = sin k x . Пусть у = sin2x (А — 2).
Нетрудно сообразить, что период (наименьший) этой функции
равен л, т. е. Т — я, где буквой Т обозначен период.. Действительно,
по определению периода равенство
sin 2 (х -j- Т) — sin 2х
должно выполняться при любом значении х, иди
sin (2 x -f-2Т) s= sinSx,

234 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

что возможно только, если
2Т = 2яя, Т = п п .
Так как Г —я при л — 1, то я и есть наименьшее положи-
тельное число, прибавление которого к х не меняет значения
функции у = sin2x, т. е. ее главный период, или просто период.
Построение графика сводится к вписыванию в одну
волну синусоиды у = sinx двух волн синусоиды у = sin2х
(рис. 90).
График у—sin-Xj есть растянутая (удлиненная) в два раза
синусоида с длиной волны (периодом) 4я, так как тождество
x -f-T . х
-Т Sin g = Sin-£,
или •
будет справедливым при всех значениях х , если
-у = 2я, т. е. Т — 4я.
Построение графика дано на рис. 90.
4. График функция у ==sin (ftx Аргумент (kx -f- а)
можно представить в виде ft (х -f- а{), где л 1==^-. Тогда
у = sinft(x -j- flj). Параллельным сдвигом (переносом) синусоиды
у = sin x ,в направлении оси Ох на величину а х (вправо,
если Oj < 0, и влево при ах > 0) достигнем того, что новому
положению синусоиды соответствует и новое уравнение
у = sin (х + e’i). Если теперь длину волны сократить в ft раз,

235 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

то такому вторичному геометрическому преобразованию синусоиды
соответствует уравнение .
у —sin Л (х-}-в,) или у s= sin (Аде-}-«)•
Итак, график функции у — sin(ftx -\-а) есть преобразованная,
или деформированная, синусоида. На рис. 91
• = sin нзображен график функции у (2jp — -J) с показом ка-
ждого преобразования.
б. График функции y ^ ^ s i n ( / ^ H — a )* Этот график
представляет деформацию (искажение) графика y=sin(fex^f- e),
а именно — растяжение всех ординат графика в направле-
y=sinx i/-s/F? ( г — §)
y = 7 , 5 s i n ( 2 x — f ) t/*SLn { 2 х -% )
Рис. 91.
нии оси Оу в | A { раз (или сжатие,если | Л | < 1). Пример
такого графика изображен на рис. 91 (у— 1,5 sin ^2х — — jj j*
6. Функция у = Л cos Лх -|- В sin k x . Покажем, что
функция ‘ .
у ®s= A cosAxH-Bsinfcx (1)
может быть приведена к виду.
у = С sin (k x -f- а).
Умножим и разделим правую часть равенства (1) на В2:
у — 1/Л2-}-Я2/ * .. — coyfe*-I- sin АдеУ.
г \ / Л 2 + В* 1 УА2 + В* )
Положим
А — В у — ■■■■.s-.- = sin а, cos а,

236 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

что всегда возможно, так как по абсолютной величине каждая
А В
из дробей и Y f t + b* не больше единицы и
сумма йХ квадратов равна единице:
I ^ I 1 I — I 1 •
| к ж + ж |’ х- ‘ I у л * + в г •
/ л \ 2 _J_ ( В в •
\ К л 2 -Ь в* J \vA * + S2 /
Тогда имеем
у = y ^ 4 * 4 -jP (sin a cos Ajc -4- cos a sin k x ) =
= У A2 ■+ BP sin (Ax — f — а) = С sin(A,*r-f-a),
где C = } M 2- f В2. у . .
Пример, у = —0,5 c o s2 x -f-1,2sin2х. Здесь А = —0.5;
В — 1,2; А = 2. Находим —
. G = / ( —0,б)2+ (1 ,2 )2= 1,3. —
Тогда
cos a = — ==— fg*2582— 0,3846;
■ 1.2 12 л лоо,
s ina= X 3 ==T3 ’
Угол а принадлежит второй четверти, в которой синус имеет
положительный знак, а косинус — отрицательный. По таблицам
находим
а а 180° — 67°,23′ = 112° 37′.
В радианной мере
a =’1,9654, или a г» 1,97.
Таким образом, ~v
у = 1,3 sin (2л: + 1,97),
т. е ., мы получили уравнение вида, — рассмотренного вйЙЙ
(см. п. 5).

§ 12Т. Графическое решение тригонометрических
уравнений

Приме р 1. Если надо решить тригонометрическое уравнение
sin 2лг .=?= О, то в геометрическом истолковании это означает1
отыскание корней функции y = sin2x т. е. абсцисс
точек пересечения графика с осью Ох. Точки пересечени

237 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

кривой у = sJh 2’х с осью’ абсцисс могут Фаю- заданы* фор**’
яуя&р ж з в у гЬ $Sh=?®,»d tts ± Х : . чш яаобрлжт и*
рис. 92. . ■ .. . .
В ис. 92.
Пр име р 2, Корю» уравнения; зш 2х = j представляют
абсциссы точек пересечения графика y = sin2Jc с прямой
y=sin2x sinZx=cosx
y=cosx
1 Jr i \ $* f If
2 \ У ■i
г л \
‘ 2 Vs.
In / \
e i
JZu X
Вяа. 93i
У = > параллельной оса Ох. и отстоящей от нее на рас-
стоянии d — Tg над- осью» Ох- Точки пересечения имеют вид
* ‘ ^ Н У 4 + § * — ± 1 > ± 2 ’ •••>•
На рис. 92 отмечены ближайшие к началу координат
точки с абсциссами: — ^ , -Цгр
Пр име р 3. Решение уравнения Ы й ф е с а о * — —
дится к- отысканию абсцисс точек пересечения* графикоьдеух

238 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

функций, у = sin 2л: и у = cos х , так как уравнению можно
придать вид
sin 2л: = cos л;.
Абсциссы точек пересечения графиков у = sin 2л: ‘ Ш
у — cos л:, т. е. корни уравнения, определяются двумя формулами
(рис. 93):
л:1 = | ( 2 А + 1 ) (k = 0, t l , ± 2 . . . . ) ,
лс2^ ( — 1 / | + я* (ft = 0, ±1,- ±2, . . . ).
На рисунке изображены корни — |г> §» я > П0ЛУчен“
ные из первой формулы при к — — 1, 0 и 1, и корни ,
5 ■д-л, полученные из второй формулы при k = 0 и 1. О /

§ 122. Простое гармоническое колебацие

По Окружности радиуса ОЯ — а движется точка М
с постоянной угловой скоростью в положительном направлении.
По какому закону движется проекция тонки М на
ось Оу, т. е. точка С, если
в момент начала движения
(/ = 0) движущаяся по окружности
точка Ж находилась в’по ?
ложении Ж0; угловая скорость
точки Ж равна ©
(рис. 94).
В начальный момент радиус
ОМ0 образует с осью Ох
угол 1_ АОМ0 — а. Через t
секунд угол увеличится на величину
a t и радиус ОМ. соответствующий
новому положению
точки, образует с осью Ох Рис. 94
угол хОМ = e tf -f — a . За
время t сек проекция точки М на ось Оу, т. е; точка С, из
первоначального положения С0 сместится по оси Оу в положение
С. Если обозначим через у отрезок ОС, характеризующий
Отклонение проекции С от центра окружности

239 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Это и есть закон, описывающий движение проекции на ось Оу
точки М. Проекция С движется прямолинейно по оси Оу,
колеблясь около точки О, ч\ е. отклоняясь то вверх, то вниз
не больше, чем на- величину радиуса. Следовательно, проек-
, чод движется по оси Qy между точками Я, и Я.
‘ Оп р е д е л ен и е . Движение по закону

называется простым гармоническим колебанием.
Выясним смысл постоянных, входящих в уравнение
y= o sin (© T -j-a).
Параметр а называется амплитудой колебания ичхаракте-
ризует наибольшее отклонение колеблющейся точки от центра О.
Аргумент wf + tt называется фазой колеблющееся точки С;
a — начальная фаза колебания.
Время Г, в течение которого точка М совершает по
окружности полный оборот, а следовательно, точка С совершит
полное колебание и возвратится в исходное положение,
называетсяпериодом гармонического колебания. Очевидно,
что
в момент времени /, то
Величина, обратная периоду колебания, называется частотой
колебания, частота
‘ 1 а
Т ~ 2а *
Примечани е . Проекция точки М, взятая на оси Ох,
также совершает гармоническое колебание, если точка М
движется равномерно по окружности, но только с другой
начальной фазой:

240 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

График гармонического колебания для случая а = 1,5; ш = 2
а = — у изображен на рис. 91.
v Упражнения
1. Найти; 1) arcsin у ; 2) 2 arcsin у 2 ; 3) arctg У 3] 4) -2- arctg 1;
5) 3 a r c tg ( — у = — ) .
2. Найти: 1.) arccos- у р ; 2) arccos ^ y — j ; 3) arcctg УТ;
4) 2 arcctg (—1); 5) arccos 0.
3. Вычислить: 1) arctg 1-^-arctg у!Г; 2) arccos (—1) -j- arcsin (—1);
3) arctg(— V b ) + arccos{— — y p ] — —
4. Построить соответствующие углы (дуги): a) arcsin 6,6;
2) arccos {—0,4); 3) arctg 1,5; 4) arcsin (—6,3). •
:5. Выразить дг как функцию у из следующих равенств, /
1) у = sin дг, если —у < — * < у ; 2) y = i — s i n ^, если
— 3) у — с о ^ х , если 0 < J C < ^ ; 4) у = у tg х, если
_ y < j r < y ; 5) y = 3 t g y , «если —ж . * < я ; 6) y=«clg2jc,
если 0 < х < уя . 1
X 6. Выразить х как функцию у из равенств: 1) у = arcsin — у ;
2) у = 2 arctg jc; 3) у = yarecos х\ 4) у = 3 sin 2х.
7. Вычислить: 1) cos (arcsin 0,3); 2) tg ^arcsin 1— у arccos y j ;
3) sin (2 arcsin x) (0 < лг < 1); 4) cos ^2 arctg У Т — arcsin у j .
8. Показать справедливость следующих равенств:
1)2 arccos х == arccos (2дг2 — 1). 0<дс<1; 2) arctg 1+arctg у = arctg3;
3) arccos 0 , 6 arccos 0.8 = arccos 0. v
9. Пользуясь обозначениямиобратных тригонометрических функций,
написать общий вид уСлов, ‘соОтйётс1«уйщих данному значению

241 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

тригонометрической функции: 1) sin л: = 2 2) sin З 1 а: = — т-;
3) cos 2* =s-g-; 4) tg2jc ==5; 5) sln^A:— 6 ) cos =r—y .
У к а з а н и е . Если sln2* = -3g- , то 2лг = (—1)*arcsin-3g—j-я*;
(—1)*arcsin -g- + y k (k — 0, ±1, ±2. ± 3 ,…) .
10. Преобразовать в произведение:
1) sin 80°-f-sin 30°; 2) sin 3a — sina; 3) sin 5 + sin 3; 4) cos 4*—cos’2jc; 4jt / .1
5) tg — ^ + t g f ; 6) tg 70°+ ctg 40°; 7) i + cos*; 8) l^J-f-tg A;
9) —Ygs— l-sin40°; 10) cos a -{-cos 2a -j- cos 3a; 11) 1-f-sin jc-f-cos a t;
12) cos x + sin 2л: — cos 3a:; 13) sin A cos VI; 14) 3 — 4 cos2 x.
11. Представить в виде суммы следующие выражения: ^
1) 2 sin 40° • cos 20°; ‘ 2) 2 cos 70° • sin 10°; 3) sin 3a- cos n;
4) cos5jt-sin2Ac; 5) cos -Y- • cos -2-; 6) sin • sin
7 ) sin ^jc -f -2-j cos ^2a: — ; 8 ) cos ^ 2 ac — — j — j cos (x .
12. Доказать тождества:
1) 4 sin a ■ sin (60° — a) sin (60° -j- a) = stn 3a;-
2) sin x + cos x -f-1 = 2 Y Y cos cos ^45° — ;
3) (cos A -f- cos B)2 + (sin A — sin B)2 = 4 cos2 ;
4) tg 30° + tg 40° + tg 50° -}~ tg 60° — ;
5) sin 10° + 2 sin 5° • cos 15° + cos 50° = cos 10°;
6) cos 2a • cos a — sin 4a • sin a = cos 3a cos 2a;
7) sin a • sin (P — y) + sin (5 sin (y — a) -f- sin у sin (a — p) = 0;
8). cos 10° • cos 50° • cos 70° = ;
9) 1 — 4 cos2 a = 4 sin (60° + «) sin (a — 60°);
10) 11 — t»g„*9 a = шcos ^2aг , 11) cos я cos -2gя- = y1 ;
12) f{f r — T ^ ctg(45° ~ a); 13) *g20° -tg40° • tg60° • tg80° = 3.
13. Решить уравнения:
1) sin a: + 2 cos ас = 1; 2) уТГsin x -[-cos x — 1;
8) 8 sin x —3 cos ac = 4; 4) sin 2a: = (cos x — sin x)2;
5) sin2 A: + Y sin2A: = l;
8) sin 3ac = cos 2ac. Указание, cos 2a: = sin -f- 2x^j.
7 ) tg 2a: — ctg З а: = 0 ; 8> sin ( jc — f — 45°) sin (jc — 15°) = — i — ;

242 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

«‘§) sin 3jc cos 5д; — sin Ax — cos 6x; 1 $ sir! 2лг + cos 2x == K f’sfhS i;
11) lX s i n ^ + — 5 . j —s i n ^ ^ — ^ « 0 ;
12) 12 sin * 4 У з cos (* + я) = 8 VW;
13) 8 sin2 + 3 sin x — 4 = 0 ; 14) sin x * sin 2 x -j- cos 3* = 0;
X 15) sec x = 4 sin x + 6 cos x; 16) 3cos x -j-5 sin -g- == — 1;
17) cos j — f cos x + cos 2x = 0;
18) cos2x — 2 У з ”cos-esi®.*— sia3.* = 1;
19) sin x • sin (л:4-60а){ма(лг-+-12#р)1=
20) sifl;*-sffl*2k-sm3*=»-y.sin4*.

243 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

ЕГЭ 2015 Математика.
Библиотека учителя.
Школьная математика.