§ 4. Общее квадратное уравнение
Ч А С Т Ь II. Г Л А В А II.КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ
К КВАДРАТНЫМ
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Для решения общего квадратного уравнения достаточно его привести,
т. е. преобразовать, к приведенному, разделив обе его части
на старший коэффициент, и затем воспользоваться формулой для
корней приведенного уравнения. Именно так был решен последний
пример в предыдущем параграфе.
Однако целесообразно провести эти преобразования в общем
виде и получить формулу, позволяющую решить общее квадратное
уравнение без предварительного приведения.
Итак, пусть дано уравнение а х * Ь х с = 0. Поделив обе его
части на а, мы получим равносильное приведенное уравнение
* * + тр* + 7 ==0 * О)
к которому можно применить результаты предыдущего параграфа.
Положив p = z ~ 9 d = ~ , мы получим
— ( £ ) — ■ ? • ‘» w
Если уравнение х* -f- ~ х -f- = 0 имеет решение, т. е. если
/ b \* с
v2a/ — ~а ^ послеАнюю Ф°РМУЛУ можно, еще несколько упростить.
266 Общее квадратное уравнение, Библиотеки в помощь учителю.
Именно,
— — ь т / «———-— 2а — у 4а3 а
b , -*/~Ь* — 4ас
2J — V 4а*
4 ас
b Yb* — 4ас
2 а — Та
— Ь ± У Ь * — 4ас
2 а
Итак, в том случае, когда уравнение ах* -J- Ьх -f- с = 0 имеет
решение, корни уравнения могут быть вычислены по формуле
Так же, как в случае приведенного уравнения, при решении
общего квадратного уравнения нет необходимости заранее проверять,
существует решение или нет. Именно, уравнение ах* bx -f- с = О
не имеет решения в том и только в том случае, если формула (3)
приводит к невозможному действию извлечения корня из отрицательного
числа.
Действительно, решение не существует в том и только в том
случае, если
отличается только положительным множителем от выражения
Ь* — 4ас9 находящегося под знаком квадратного корня в формуле (3).
Выражение Ь* — 4 ас называется дискриминантом уравнения
ах* Ьх с = 0.
Если дискриминант отрицателен, то, как мы видели, уравнение
не имеет действительных корней. Из формулы (3) следует, что если
дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных действительных
корня, если же дискриминант равен нулю, то оба корня
сливаются в один: х = — -гЬг-. 2а
Формула (3) читается так: корень квадратного уравнения равен
дроби, знаменателем которой является удвоенный старший
коэффициент, а числителем — средний коэффициент, взятый с
противоположным знаком, плюс или минус квадратный корень
изу дискриминанта.
Если удобно принять b = 2k (например, если Ь есть целое четное
число), формула (3) может быть еще немного упрощена. В этом случае
уравнение имеет вид
отрицательно. Но
ах* -j- Vkx -j-c = 0,
267 Общее квадратное уравнение, Библиотеки в помощь учителю.
Согласно формуле (3),
— 2 k + Y № — 4 а с _ —2k ± V A (k * — ac) _
————— 2а ~ 2 а ~
— 2А±2УМ» — ас 2{—k ± У к* — ас)
2 а 2 а
_ — k ± V k * — ac
— а
Итак, уравнение ах* -{- 2kx -j- с = 0 решается по формуле
—к±УЬ* — ас ^ ^
а
Приме р . Решить уравнение
Злг2 + 4дг — 7 = 0.
D — 2 =t 1^Р еше н и е . х = ——— 11—4 + = 21 — ^—— 2 ±; 5х г = ————2- -+— 5— = 1;
— 2 — 5 7
*2 з з«
З аме ч а н и е 1. Введение иррациональных чисел не является
последним этапом в расширении понятия числа. Дальше вводятся
еще так называемые комплексные числа, после введения которых
действие извлечения квадратного корня из отрицательного числа
оказывается осуществимым. После введения комплексных чисел мы
будем вправе считать, что и в случае отрицательного дискриминанта
квадратное уравнение имеет корни, но эти корни не являются действительными
числами.
З аме ч а н и е 2. Формула (3) пригодна, конечно, и для решения
неполных квадратных уравнений. Например, для уравнения ах*-\-Ьх— 0
формула (3) дает
— Ь±. у р —Ь±.Ь
Х ~ 2а ~ ~ Та ♦
т. е. Х\ = 0; лг2 = — ~ в соответствии с прежним результатом *).
З аме ч ан и е 3. Иногда нужно рассматривать уравнение первой
степени как частный случай квадратного, в котором старший коэффициент
равен нулю. Это целесообразно, например, если некоторая
задача, поставленная в общем виде, приводит к квадратному уравнению,
в котором, в зависимости от численных данных задачи, коэфг
фициенты изменяются и, в частности, старший коэффициент может
принимать значение, равное нулю.
*) Строго говоря, не обязательно равен ^именно: У?* = Ъ при
£ > 0 , yfb* = — Ь при &<0. Но оба значения ±. У^Ь* совпадают со значениями
выражения + Ь, только знаки не обязаны находиться в соответствии.
268 Общее квадратное уравнение, Библиотеки в помощь учителю.
Формула (3) при 0 = 0 дает бессмысленный результат, ибо ее знаменатель
2а обращается в нуль. Однако формулу (3) можно преобразовать так,
что она окажется пригодной и для этрго случая. Мы проведем это преобразование,
предположив сначала, что а ф 0 и с ф 0 .
__ — Ъ±. у У ^ А а с _ (— Ь ± У Ь* — 4ас) (— Ъ ни У ‘Ь* — 4ас)
Х ~~ 2 а “ 2 а (— Ь + у ь * — 4ас)
__ (— ЬУ— (У Ь *— 4ас)% Ъ* — (Ь* — 4ас) ^
2а (— b -Е У Ь* — 4 ас) 2 а (— b Т У Ь* — Аас
4ас 2 с
§ 5 ] ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К КВАДРАТНЫМ УРАВНЕНИЯМ 2 6 9
2а (— b ни УЪ% — 4ас — Ь+ У Ь% — 4ас
Полученная формула
ЛГ — . (5)
— Ь УЪ* — 4ас
применима при а ф 0 , с ^ О наравне с формулой (3), но она, вообще говоря,
менее удобна из-за большей сложности знаменателя.
При о==0 формула (5) дает
ЛГ = — .2 с— -« — Ъ + Ъ
Если в этом результате взять верхний знак, получим
2 с с_
S~ » T ’
т. е. мы действительно получаем корень уравнения первой степени b x — f — c = 0 .
Нижний знак приводит к бессмысленному результату, так как знаменатель
обращается в 0 .
Формула (5) оказывается удобной при приближенном решении квадратного
уравнения в случае, если старший коэффициент очень мал по сравнению
с остальными коэффициентами.
Упражнения
Решить уравнения:
1. 5лг8 — 7лг — 6 = 0. 2. 5лг8 + 3лг — 1 = 0 .
3. (о + £)лг* + (4о — 2Ъ)х + Ь — 5о = 0.
4. (лг+1)(лг + 2)(лг + 3) = лг* + 52.
5. 0,001л:8 + Зл: — 6 = 0 (воспользоваться формулой (5)).
269 Общее квадратное уравнение, Библиотеки в помощь учителю.
Comments