дома » Геометрия в школе » Общие свойства перемещений

Общие свойства перемещений

Общие свойства перемещений.

Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):

Скачать бесплатно: Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова

(стр. 227-246)

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.


§ 1. Общие свойства перемещений.  А. М. Абрамов НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ.

Определение . Перемещением плоскости называется отображение
плоскости на себя, сохраняющее расстояния.
По определению F — перемещение, если F отображает плоскость
на себя и для любых точек А и В плоскости
|F(4)F(B)|=* \АВ\.
Напомним также определение неподвижной точки. Точка X —*
неподвижная точка отображения F, если F (X) = X. ,
Т е о р е м а 1.1. Множеством неподвижных точек перемещения
плоскости является либо пустое множество, либо точка, либо прямая,
либо плоскость.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим произвольное перемеще-

247 Общие свойства перемещений. 

Общие свойства перемещений

Общие свойства перемещений

вуют по меньшей мере две неподвижные точ-
ки А и В и не существует неподвижных точек,
не лежащих на прямой АВ\ 2) существуют
три неподвижные точки F, не лежащие
на одной прямой; 3) только одна точка плоскости
неподвижна; 4) F не имеет неподвижных
точек.
Рис. 1 Легко понять, что мы докажем теорему,
показав, что в случае 1 все точки прямой
АВ остаются на месте, а в случае 2 F = Е. Рассмотрим эти случаи
подробнее.
1) Пусть F (А) = А и F (В) — В, А ф В. Тогда образ прямой
АВ при перемещении F — эта же прямая. Рассмотрим произвольную
точку С € (АВ). На прямой АВ существуют две точки — Си С’,
которые удалены от А на расстояние | АС\ (эти точки принадлежат
различным лучам с началом А). Так как F—перемещение и F (Л) =
= А, то F (С) — С или F (С) = С’. Поскольку точки А и В неподвижны,
то лучи АС и АС’ под действием F отображаются на себя.
Значит, F (С) = С, т. е. все точки прямой А В в этом случае неподвижны.
2) Если точки А, В и С неподвижны и не лежат на одной прямой,
то, как мы только что показали, все точки прямых АВ, АС и
ВС — неподвижные точки F. Пусть М — произвольная точка
плоскости, не принадлежащая этим прямым, а К — внутренняя
точка отрезка АС (рис. 1). По теореме Паша прямая КМ имеет
общую точку D либо с {АВ), либо с (ВС). К и D — различные неподвижные
точки F. Следовательно, все точки прямой KD, в том
числе и М, неподвижны. Поэтому F = Е.
Т е о р е м а 1.2. Если образы трех неколлинеарных точек при
перемещениях Fy и F2 совпадают, то Ft = F2.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть точки А, В и С не лежат
на одной прямой и Fx (А) = F2 (A), Fi (В) — F2 (В), Fx (С) =
=F2(C). Рассмотрим перемещениеF2~1Fl. Из условия теоремы следует,
что неколлинеарные точки А, В и С — неподвижные точки
этого перемещения. Поэтому вследствие теоремы 1.1 F-lFt = Е.
«Умножив» обе части этого равенства на F2, получим:
F2o(Fil °F1)= F2oE,
(F2 ° FJl) о Fj = F2,
E о Fу = F2,
Fi = Ft.
Очень важную роль при исследовании свойств перемещений
играет следующая теорема, в которой нетрудно узнать часть известной
теоремы о пересечении двух окружностей.
Т е о р е м а 1.3. Пусть А и В — различные точки плоскости,

248 Общие свойства перемещений. 

г и ъ — гшлижшпелопож чиили, уииолшширлющие пе/лшспиггшим
\АВ\ <r + s, | АВ\ > г — s. В заданной открытой полуплоскости
с границей А В существует не более одной точки, удаленной от А на
расстояние г, а от В — на расстояние s.
Обозначим открытые полуплоскости, имеющие данную границу
р, (АС) и (ВС) через а’ и а», [У и [V, у’ и у» (рис. 2).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что в открытой полуплоскости
а’ существует, помимо точки С, такая точка М, что
\АМ\ — \СМ \ —г, \ВМ\ ==| СМ| = s (рис. 2). Очевидно, что М
не принадлежит лучам АС и ВС. Точки, не принадлежащие этим
лучам, принадлежат одной из следующих фигур: a’ f| Y П
а’ П у » Л а’ П?» П «’ П т’ П Р»- Исследуем эти возможности.
а) Пусть точка М принадлежит пересечению открытых полуплоскостей
а’, Р’, у’ (рис. 2, а). Тогда М — внутренняя точка выпуклого
угла САВ и, значит, луч AM пересекает отрезок СВ в
его внутренней точке D (теорема 4.2).
Точки A, D, С, а также В, М, D не коллинеарны, т. е. не принадлежат
одной прямой.
Поэтому \AD\< \АС\ + \CD\, \ВМ\< \BD\ + \DM\.
Точка М лежит между А и D. Значит, \AD\ — \АМ\ + |М£>|.
Из предыдущих неравенств получаем:
|уШ| + |М£>|<|ЛС| +|С£>|, (1)
| ВМ | < | DM | -f- | BD |. (2)
Складывая почленно неравенства (1) и (2), имеем:
1 AM +\BM\<\AC\ + (\BD\ + \CD\),
г + s = AM | + | ВМ | < I AC | + | BC | == r + s.
Теперь ясно, что равенства \АМ \ = г, \ВМ \ — s выполняться
не могут. Очевидно также, что точка М’, удовлетворяющая условиям
теоремы, не может принадлежать и множеству а’ П у » П
аналогично доказывается, что в этом случае (см. рис. 2, а)
\АМ’\+ \ВМ’\> г + s.
б) Пусть М £ a’ f| Р’ П У» (рис. 2, б). В этом случае луч AM
пересекает отрезок СВ в его внутренней точке D. Для троек некол-
линеарных точек A, D, С и В, М, D справедливо неравенство треугольника:
I CD И-|Ж>|>|ЛС|=г.
\DM\+\BD\>\BM\ =s.
Складывая эти неравенства
почленно и учитывая,
что D — внутренняя
точка отрезков
AM и ВС, получим:

Общие свойства перемещений.  А. М. Абрамов НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ.

Общие свойства перемещений. А. М. Абрамов НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ.

249 Общие свойства перемещений. 

(|CL>|+|£L>|) + (| AD | -f | DM |) > | AC| + | BM | = r + s,
| BC | + | AM | > r + s.
По предположению | AM| = г, | ВС| = s. Полученное противоречие
(г + s > г + $) доказывает утверждение. Аналогично проверяется
последний случай: М’ принадлежит пересечению a’, fi», у’
(см. рис. 2, б).
С л е д с т в и е . Пусть А, В и А’, В’ — такие пары различных
точек плоскости, что \АВ\ — \А’В’\. Существует не более
двух перемещений, переводящих А в А’, В в В’.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть С — точка, не лежащая на
прямой АВ. Каждое перемещение, переводящее А в Л’, В в В’,
переводит С в точку, удаленную от А’ на расстояние \АС\, а от
В’ — на расстояние | ВС\ (при перемещениях расстояния сохраняются).
По предыдущей теореме существует не более двух таких точек,
Мг и М2 (лежащих в разных открытых полуплоскостях с границей
А’В’), для которых выполняются равенства | А’Мг\ = |Л’М2| =
= \АС\, \В’М1\ = \В’М2\ = |ВС\.
Значит, образом точки С может служить либо точка Ми либо
точка М2. Но перемещение вполне определяется указанием образов
трех точек, не лежащих на одной прямой (теорема 1.2).
Поэтому существует не более двух перемещений, отображающих
Л на Л’ и В на Б’ (одно из этих перемещений переводит С в Мх,
а другое — в М2).
Доказать существование перемещений, о которых идет речь в
доказанном следствии, нельзя. Необходима новая аксиома, регулирующая
степень «подвижности» плоскости.

250 Общие свойства перемещений. 

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
Школьная математика.  Математика в школе.

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии