§ 1. Определение отрицательного числа.

Глава II. Положительные и отрицательные числа.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ЕГЭ 2015 Математика. Библиотека учителя. Школьная математика.

Купить книги по математике за низкие цены:

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Школьная математика онлайн

Содержание понятия числа не оставалось неизменным при историческом
развитии общества и постепенно расширялось по мере расширения
круга вопросов и задач, требовавших разрешения средствами
математики. Учащимся при изучении математики тоже необходимо шаг
за шагом ознакомиться с расширением понятия числа. Первый шаг
в этом направлении делается в арифметике, когда к целым числам присоединяются
дробные. Это расширение понятия числа значительно увеличивает
круг вопросов и задач, допускающих решение при помощи
арифметики.
Теперь пришло время сделать второй шаг. Этот шаг состоит
в том, что к числам, изучавшимся в арифметике — целым и дробным
— присоединяются новые — отрицательные числа.
Под этим названием понимаются числа —3, —5 (минус три, минус
пять) и т. д. Один случай употребления такого рода чисел вошел в
быт, именно при измерении температуры. Всем известны и понятны
выражения, вроде: «Температура ночью от минус десяти до минус
четырнадцати градусов.»
Введение новых чисел заставляет дать специальное название и для
обыкновенных целых и дробных чисел, рассматриваемых в арифметике.
Все они, кроме нуля, называются положительными числами.
Число 0 не причисляется ни к положительным, ни к отрицательным
числам.
Раньше чем дать точное определение отрицательного числа, рассмотрим
следующую задачу.
З а д а ч а . Во время сильных дождей уровень воды в реке поднялся
на а сантиметров в течение суток. В течение следующих суток уровень
воды понизился на b сантиметров. Какой будет уровень воды
по истечении этих двух суток?
Р е ш е н и е . Решим прежде всего эту задачу, сравнивая уровень
воды в конце вторых суток с уровнем в начале первых суток. При
этом способе решения нам придется рассмотреть три случая.
Случай 1. Число а больше Ь. В этом случае уровень воды в конце
вторых суток будет выше уровня воды в начале первых суток на
(а — Ь) см.

45 Определение отрицательного числа.

Случай 2. Число а равно Ь. В этом случае уровень воды в конце
вторых суток будет совпадать с начальным уровнем.
Случай 3. Число а меньше b. В этом случае уровень воды в конце
вторых суток будет ниже начального уровня на (Ь — а) см.
Ответ задачи может быть сформулирован следующим образом.
За двое суток вода поднялась на (а — Ь) см, если а больше Ь\ осталась
на том же уровне, если а равно b, или опустилась на
(Ь — а) см, если а меньше Ь. Таким образом, при самом простом способе
решения этой задачи мы не можем дать одну формулу для ее
решения, охватывающую всевозможные численные значения для данных
чисел а и Ь.
Однако можно дать другой способ решения, при котором мы сможем
одной формулой охватить все случаи. Для этого достаточно отсчитывать
высоту уровня воды, например, от дна реки в глубоком месте.
Пусть в начале первых суток вода стояла на А см выше дна реки.
Тогда в конце первых суток вода будет находиться на (Л-)-а) см выше
дна, а к концу вторых суток на (А-\-а — Ъ) см выше дна. Формулой
А-\-а — b охватываются все случаи, которые могут представиться в
задаче.
Решение выглядит так, как будто к числу А, определяющему уровень
воды в начале первых суток, добавляется число а — b.
Например, если а =15 и £=10, то
А-\-а — Ь = А + б.
Однако, если а меньше b, то разность а — b не имеет смысла, а
для вычисления А а — b нужно от числа А отнять некоторое число.
Например, если а = 5 и # = 1 0 , то А-\-а — Ь = А — 5. Таким образом,
в этом случае, вместо добавления к числу А разности а — b, мы должны
сделать вычитание из А некоторого числа.
Введение отрицательных чисел дает возможность сохранить первый
способ истолкования формулы А-\-а— Ь. Именно, будем считать,
что разность а — b имеет смысл не только при а, не меньшем b, но
и при а, меньшем Ь> но в этом случае эта разность есть число, называемое
отрицательным числом, а именно такое, добавление которого
равносильно вычитанию некоторого положительного числа. Так,
10— 15 есть отрицательное число «—5». Добавление этого числа равносильно
вычитанию числа 5.
Дадим теперь точное определение отрицательного числа.
О п р е д е л е н и е . Каждому положительному числу сопоставляется
число, называемое отрицательным. При этом считается, что добавление
к какому-либо числу отрицательного числа равносильно вычитанию
соответствующего положительного.
Само собой разумеется, что то число, добавление к которому
отрицательного числа равносильно вычитанию соответствующего положительного,
нужно считать достаточно большим, чтобы это вычитание
имело смысл.

46 Определение отрицательного числа.

Введем теперь некоторые названия и обозначения, необходимые
при пользовании отрицательными числами.
Отрицательное число, соответствующее некоторому положительному
числу а, называется противоположным числу а и обозначается—
а. Так, число, противоположное числу 5, обозначается—5; число,
противоположное числу 0,73, обозначается —0,73; число, противоположное
числу 2 —, обозначается —2 — и т. д. Обозначение отрицательных
чисел читаются словами так: «минус пять», «минус нуль
целых семьдесят три сотых», «минус два и одна четверть» и т. д.
Смысл этого обозначения тесно связан с определением отрицательного
числа: добавление числа —а, согласно определению, равносильно
вычитанию числа а.
В свою очередь и положительное число, которому противоположно
данное отрицательное число, называется противоположным
этому отрицательному числу. Так, число, противоположное числу—5,
есть 5; число, противоположное числу — 2 ~, есть 2— и т. д.
Можно поэтому говорить, что число 5 и —5 взаимно противоположны,
так как —5 противоположно числу 5, и 5 противоположно
числу —5.
Наконец за число, противоположное числу 0, принимается само
число 0. Это естественно, так как добавление нуля к какому-либо
числу или вычитание нуля из этого же числа приведет к одному
результату — число не изменится.
Если некоторое число, положительное, отрицательное или 0, как-
либо обозначено, то противоположное ему число обозначается
таким же образом, но со знаком минус. Например, —0 есть число,
противоположное числу 0, и потому —0 = 0. Число — (—5) противоположно
числу —5, и потому —(—5) =5. Если число обозначено
буквой а, то противоположное ему обозначается —а. Если а есть
положительное число, то это обозначение совпадает с введенным
выше обозначением для отрицательных чисел.
Часто бывает нужно подчеркнуть противопоставление положительных
чисел отрицательным. С этой целью перед обозначением положительного
числа ставят знак Например, -)-5 обозначает просто
число 5. Никакого различия между -}-5 и 5 нет.
Таким же образом, если какое-либо число, положительное, отрицательное
или равное нулю, как-либо обозначено, например буквой а, то -\-а
обозначает то же самое число. Например, -f-(—5) = — 5, -)-0 = 0 и т. д.
Целые и дробные положительные числа, противоположные им отрицательные
числа и число 0 все вместе носят название рациональных
чисел.
Введем теперь важное понятие абсолютной величины числа,
О п р е д е л е н и е . Абсолютной величиной положительного числа
и числа, равного нулю, называется само это число.

47 Определение отрицательного числа.

Абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное
ему положительное число.
Например, абсолютная величина числа 5 равна 5, абсолютная величина
—5 тоже равна 5.
Вообще, противоположные числа имеют одинаковую абсолютную
величину.
Абсолютную величину числа а обозначают | я | . Так,
|—5 J = 5; 15 | = 5; |0| = 0.
Упражнения
1. Упростить запись следующих чисел:
— (—3); —(+3); -[-(-2)];
-[-(+2)]; +(-2); +[-(+3)].
2. Выполнить сложение и объяснить результат:
7 + (—3); 9 +(-5).
3. Вычислить |—21; |4 — 4|; — | —41,

48 Определение отрицательного числа.

Околоadmin