Определение производной

10 СЕЛФИ, ЗА СЕКУНДУ ДО СМЕРТИ.

§ 231. Определение производной.

Пусть у — f (л:) — непрерывная функция,
г Оп р е д е л е н и е 1. Предел отношения приращения функции
к приращению аргумента, когда приращение аргумента
стремится: к нулю, называется производной от, данной
функции’.
11т = у ‘ — (х) = — производная.
дж->о ах
Здесь даны три различных обозначения производной: у ‘ (чи-
тается «игрек штрих»); / (лг) («эф штрих о’ т и’ к’ с»’ ); d у
(«дэ игрек по дэ икс»).
Теперь можно сказать, что:
1) если формулой S = / (0 задан закон прямолинейного
движения, то скорость движения (мгновенная скорость) для
любого момента времени есть производная от пути по времени:
= dS (,з адача |1ч).
2) Если дан закон распределения массы по длине неоднородного
стержня, т. е. М=г/(лс); то линейная плотность

401 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Определение производной.

стержня в сечении х есть производная от массы по расстоянию
(по длине):
Ч*— 1ПГ (задача 2).
3) Если дано уравнение кривой у — / (*), то производная
от ординаты по абсциссе есть угловой коэффициент касательной’
МТ, проведенной к кривой в точке Ж:
— g = tg<p = AKac (задача 3).
В этой формулировке дан г е ом е т р и ч е с к и й смысл
пр о и з в о дн о й .
Обратим внимание на то, что при фиксированном значении
аргумента (х = х 0) производная от данной функции есть
определенное число. Это число обозначается у ‘ (х0) или f (л:0).
Так было при решении задачи 1 о движении лифта. Здесь
требовалось найти скорость в момент времени t ~ i сек;
ответ:
dS
\t=4
S ‘ (4) = 14 или — j f \ . , = 14.
Если же исходное значение . аргумента не фиксируется,
а остается произвольным, то производная от данной функ-
ции есть функция того же аргумента,
но только закон зависимости
у ‘ от х другой, чем закон
зависимости у от х (бывают
исключения). Это видно из решения
задачи 3: здесь функция
у = 0,5л;2, ее производная у ‘ =
Оп р е д е л е н и е 2. Функция,
имеющая конечную производную
во всех точках некоторого Промежутка (а, Ь),
называется дифференцируемой в этом промежутке.
Г рафик дифференцируемой функции называют гладкой
кривой, а сама функция называется гладкой.
Бывают функции, которые в некоторых точках (или даже
во всех точках) не имеют производной. Пример такой функции
изображен на рис 138: здей в точке х — с к кривой
можно провести две различные касательные, левую СР,
если Ад: < ®, и правую СТ, когда Дл: > 0. Б таких случаях
говорят, что нет никакой касательной, так как преде

402 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Определение производной.

Urn ~ не должен зависеть от того, стремится ли Ь х к нулю
д*-юДЛ
справа (при A j?> 0 ), и л и слева, т. е. правая и левая касательные
должны совпасть,
В дальнейшем речь будет идти только о дифференцируемых
функциях. Фразы «найти производную» и «продифференцировать
функции» по своему смыслу равнозначны.
§ 232. Общее правило отыскания производной
Производная от любой дифференцируемой функции
у = / ( х) находится по следующей схеме:
1) дается приращение аргументу х и находится приращенное
значение функции
у + Ду = /(х -Ь А х ) .
2) Из приращенного значения функции вычитается начальное
значение функции
Ду== / ( * 4 — Д*) — f i x ) .
3) Находим отношение приращения функции к приращению
аргумента:
‘ Ау /(*-*-
Ах Ах
(это — средняя скорость изменения функции).
4) Находим предел отношения приращения функции к приращению
аргумента, когда ( приращение аргумента стремится
к нулю. Этот предел и есть производная от данной функции:

403 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Определение производной.

§ 233. Основные формулы дифференцирования.

§ 233. Основные формулы дифференцирования
1. Производная от постоянной величины равна нулю
(I) ( с / = 0;
у — с (буква с — символ постоянной). Когда аргумент х
получает приращение Ах, функция у
сохраняет прежнее значение с:

х Полученный результат имеет простое
геометрическое истолкование: гра-
Рис. 139. фик функции у —с —ярямая, параллельная
оси Ох (рис. 139); касательная
к ней в любой точке сливается с самой прямой и также
параллельна оси Ох. Следовательно,
ф = 0; t g ^ ^ y ‘==?0.
2. Производная от аргумента равна 1:
(II) (* )’ = !.

404

Действительно, если у = х , то:
1) у + Ду = х — |- Дх; » 2) Ду = Дх; 3) — 1;
4) Пш -т^- = Нш 1 = 1 (предел постоянной равен самой по-
Дл:->0 Ajr<*-0
стоанной), т. е.
у’ = 1 или, так как у = х , ( х ) ‘— 1-
3. Производная от степени аргумента равна степени, умноженному на степень аргумента
1 с показателем, на 1 меньшим:
I (III) (*«)’ = « • х п~1.
-f Итак,
, у = лЛ (1)
i 1) у -(- Ду — (х Ах)п. Правую часть можно разложить
1 по формуле бинома, получим
y-f- Ду — х п- \-п х п~* A x-f- лгя ~2 (Ал:)2 —)— . . . (2)
5-‘-‘ . . <
К 2) Вычитаем из равенства (2) равенство (1);
^ Ду — п хп~1 Ах -f- п ^ 0 хя~2 (Ах)2 -|- . . .
i
3) Находим отношение приращения функции к прираще-
У кию аргумента:
1 Ж ^ „ . хЯ-1+ Д ^ У л0-2Дх + . , . Ч
* (дальнейшие члены в правой части не пишем, так как в пре-
I ‘ деле они обращаются в нуль).
%■ 4) Пш = п х п~х (так как предел второго слагаемого
\ Ьх-ьо,&х:
и всех дальнейших членов равен нулю в силу того, что Ах
\ в пределе равен нулю). Итак,
; | ( X * ) ‘ = B • Х * — 1 .
^ Примеры, I) (х3)’ = Зх2, 2 )(х 5)’ = 5х4.
* Примечание . Можно доказать, что формула спра-
% ведлива при любом значении показателя степени:
«V , ,ч/ . 1
1 —2 1 —
2 * ^ 2У~х ’

405

§ 234. Производная суммы.

Пусть функция у есть алгебраическая сумма нескольких
дифференцируемых функций одного и того же аргумента х:
у = и — v-^-w , (1)
где и = и(х), v — v (x ), w = w(x).
Если аргумент х получает приращение Длс, то
функция и получает приращение Д«.

Производная алгебраической суммы конечного числа
дифференцируемых функций равна алгебраической
сумме производных от отдельных слагаемых,

406

Скачать или посмотреть оригинал
«АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 18. ПРОИЗВОДНАЯ» в формате PDF (396-415).

407 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Определение производной.