§ 4. Основная теорема алгебры и некоторые следствия из нее

ЧАСТЬ II. ГЛАВА10
НЕРАВЕНСТВА11
УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Основная теорема алгебры

В § 3 мы видели, что, выбрав произвольные я комплексных чисел, можно
составить уравнение л-й степени, корнями которого будут выбранные числа.
Коэффициенты этого уравнения могут при этом оказаться как вещественными,
так и мнимыми. Возникает следующий весьма важный вопрос.

476 Основная теорема алгебры. Кабинет Математики.

Дано уравнение л-й степени с комплексными коэффициентами
аоХп + л i*»-1 + . . .+ + ял = 0. (1)
Можно ли утверждать, что среди комплексных чисел найдется хоть одно
число, являющееся корнем этого уравнения?
В свое время мы видели, что среди целых чисел нет числа, являющегося
корнем уравнения 2 х— 3 = 0 с целыми коэффициентами. Среди положительных
чисел нет числа, являющегося корнем уравнения х + 1 = 0 с положительными
коэффициентами.
Среди рациональных чисел нет числа, являющегося корнем уравнения
л;2 — 2 = 0 с рациональными коэффициентами. Среди действительных чисел
нет числа, являющегося корнем уравнения х* + 1 = 0 с действительными
коэффициентами.
Понятно поэтому, сколь важное значение имеет поставленный вопрос.
Ответ на него дает основная теорема алгебры.
Всякое уравнение, п-й степени с любыми комплексными коэффициентами
имеет комплексный корень.
Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьной программы.
Т е о р е м а 1. Всякий многочлен п-й степени с любыми комплексными
коэффициентами может быть представлен и притом единственным образом
в виде произведения п двучленов первой степени, т . е.
аъхп + a ixn~l + . . . + яЛ = а0 ( х— x t) ( х— x 2) . t. ( х—x ^ t
где в о ^О , я ^ ^ 1 . (Два таких разложения, отличающиеся только порядком
расположения множителей, не Считаются различными.)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Доказательство разбивается на две части.^В первой
части доказывается возможность представления многочлена я-й степени в виде
произведения я двучленов первой степени, во второй— единственность
такого представления.
Для я = 1 теорема верна, так как
a0x + a i= a lt^ x + ^ .
Предположим, что теорема справедлива для многочленов степени я— 1.
Согласно основной теореме алгебры многочлен а0х п аххп~1 + . . . + ап
имеет по крайней мере один корень х х и, следовательно, делится на х — х и
т. е.
а0х п + ахх п~1 + . . . + ап = { х—х х) фоХп~1 + Ьхх п~* + . . . + Ьп„х).
Здесь Ьо = а0 (см. § 2).
Для многочлена ЪьХп~х + + + теорема справедлива. Зна-
чит,
ЪоХп — 1 + М я“а + . . . + V — 1 = Ь0 ( х—х 2) ( x— x z) . . . ( x — x n).
Следовательно,
йоХп + axx n~l + … + an = ao(x— Xi) (л:—л:*)… (л:—лгд).
Допустим, что имеется два таких разложения:
а0х п + а гх п~1 + . . . + ап = с0 (х — х х) ( х—* а) … (х — х ^ (2)
и
аоХп + а Хх п~х + . . . + ап = cz ( х—х[) ( х—х’2) … (л: — х ‘л). (3)
Так как коэффициенты при х п в правой и левой частях равенств (2) и (3)
должны быть равны, то
с0 = с£ = я0.

477 Основная теорема алгебры. Кабинет Математики.

Приравниваем правые части равенств (2) и (3). После сокращения на ай
имеем
(ЛГ— * ! ) (* — лг2) . . . ( л г ~ лг„) = (лг — х [ ) ( х — г ЛГ^)…(ЛГ — х’„). (4)
Методом математической индукции докажем, что правая и левая части
равенства (4) состоят из соответственно равных множителей, но, быть может,
записанных в другом порядке.
Для п = 1 утверждение, очевидно, справедливо.
Пусть утверждение справедливо для произведений, состоящих из л— 1
множителей. Докажем, что утверждение справедливо и для произведений,
состоящих из л множителей.
Левая часть равенства (4) при лг=лг1 обращается в нуль. Значит, при
* = * ! обращается в нуль и правая часть этого равенства, т. е.
(*i—х[) (Xi — x ‘a) … (Xt—x’J = 0.
Произведение равно нулю. Значит, хоть один из сомножителей равен нулю.
Допустим, что X i— лг{ = 0. В случае необходимости мы можем изменить
нумерацию сомножителей так, чтобы первым был множитель, равный нулю.
Тогда
Х ! = Х [ И X — ЛГ1=ЛГ — лг(.
Сократим равенство (4) на х — х и получим
( х— лг2) (лг— **)… (лг — х п) = (лг— лг;) (а:— лг^) …(лг— лг^). (5)
По допущению правая и левая части равенства (5) состоят из соответственно
равных множителей, но, быть может, записанных в другом порядке.
Приписав в каждую часть равенства (5) по одинаковому множителю х — х и
получим, что правая и левая части равенства (4) состоят из соответственно
равных сомножителей.
Теорема доказана полностью.
В разложении
0<>хп + atxn~l + . , . + ап = а0 (лг—x t) (лг—лг2) … (л:—лг„)
некоторые из сомножителей правой части могут быть одинаковы. Обозначив
х — х и х — лг2, . . . , х — хт различные из них, а буквами k it ki9 . . . , km
кратность их вхождения, получим
a0xn + aixnr’1 + .t. + ап = л0(л г ~ л г ^ л г — лг2)*» …(л г— л г ^ /Ч (6)
где &1 + &2 + . . . 4 — £ т = л , а х и * 2, хт все различны между собой.
Представление левой части уравнения в виде (6) называется представлением
левой части уравнения в канонической форме.
Т е о р е м а 2. Всякое уравнение п-й степени с любыми комплексными
коэффициентами имеет ровно п корней, среди которых могут быть и
равные друг другу.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Дано уравнение
. аох» + atxn- ‘ + . . . + аЛ= О,
где Ло^О, п ^ 1 . Как доказано, левая часть может быть представлена в
виде нроизведения п множителей первой степени. Таким образом, имеем
Ло (лг — лгхНлг — лг2)…(лг — лгя) = 0 .
При лг = лгх; лг = лг*; . . .; лг=»лгл левая часть уравнения превращается в нуль
и, следоватеЛЪно, х и х а, . . . , хп— корни уравнения. Покажем, что никакое
число а, отличное от л?ь лт2, . . . , лгл, не может быть корнем этого уравнения.
Действительно, произведение л0 (а— х$ (а — лг2) … (а— х ^ не равно
нулю, так как ни один из множителей его не равен нулю. Таким образом»

478 Основная теорема алгебры. Кабинет Математики.

корнями рассматриваемого уравнения являются числа х и x if . . . , х п и других
корней нет.
С л е д с т в и е . Уравнение п-й степени имеет п корней, если каждый
корень считать столько р а з, какова его кратность.
Т е о р е м а 3. Если уравнение п-й степени имеет действительные
коэффициенты и мнимое число а -\-Ы является корнем этого уравнения,
то и сопряженное число а — Ы является также корнем этого ур а внения.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть мнимое число а + Ы является корнем
уравнения
воЯ’Ч-в»*»-» О (7)
с действительными коэффициентами. Требуется доказать, что сопряженное
число а — Ы также является корнем уравнения (7).
Составим многочлен
[л:— (а + Ы)\ [х — (а — Ы)] = л:* — 2ах + (а* + Ъ*). (8)
Этот многочлен имеет действительные коэффициенты. Разделим левую часть
уравнения (7) на многочлен (8). В частном получим многочлен п — 2 степени
с действительными коэффициентами, в остатке многочлен степени не
выше первой и тоже с действительными коэффициентами.
Так как делимое равно делителю, умноженному на частное плюс остаток,
то
аоХп + atx n- 1 + . . . + ап я
= [** — 2 ах + (а* + Ъ’)]<ЬъХп-* + biXn~’ + ,„ + Ьп^ ) + А х + В.
Положим в этом равенстве х — а-^-Ы. Получим
А (а + Ы) + В = 0,
так как и левая часть равенства и трехчлен х г — 2ах + (о* + Ь*) при
х = а -{-Ы обращаются в нуль. Имеем
(Аа + В) + АЫ = О,
следовательно,
* + i : S }
Так как Ь ф 0, то Л = 0. Из первого уравнения системы (9) имеем £ = 0.
Выходит, что остаток Ах В равен нулю, т. е.
аоХп + йхх п~1 + . . . + ап =
= [х*- 2ах + (а* + Ь*)\ (b0x*-* + Ьхх»-* + . . . + V *k 0 0 )
При х = а — Ы первый сомножитель правой части равенства (10) превращается
в нуль, значит, и левая часть равенства тоже обращается в нуль.
Значит, число а — Ы является корнем уравнения (7).
Т е о р е м а 4. Всякий многочлен п-й степени с действительными
коэффициентами может быть представлен в виде произведения многочленов
первой или второй степени с действительными коэффициентами.
Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы проводится методом математической
индукции. Теорема, очевидно, справедлива для многочленов первой и второй
степени. При этом многочлен второй степени либо имеет действительные
корни и тогда разлагается на множители первой степени с действительными
коэффициентами, либо он цмеет два мнимых сопряженных корня, и
тогда он на множители с действительными коэффициентами не разлагается.
Допустим, что теорема справедлива для многочленов п — 2 степени и
многочленов п— 1 степени. Докажем, что тогда она справедлива и для многочленов
л-й степени.

479 Основная теорема алгебры. Кабинет Математики.

Пусть До*я + д1* Яг‘1+ ••• + <*« — многочлен я-й степени с действительными
коэффициентами.
Если этот многочлен имеет действительный корень хи то он представляется
в виде произведения многочлена первой степени на многочлен я — 1 степени
с действительными коэффициентами, т. е.
аох» + aixn~l + :. . + ап = ( х— x t) (ЬоХп~1 + М » — * + . . . +
Если же многочлен действительных корней не имеет, то он имеет мнимый
корень а + Ы и сопряженный с ним корень а — Ы. В этом случае многочлен
представляется в виде произведения трехчлена второй степени на
многочлен я — 2 степени с действительными коэффициентами, т. е.
аоХп + а * *»-1 + . . . + =
= [лг* — 2ах + (о* + **)] (Ь0хп~* + Ьхх*-* + . . . + Ь^г).
Так как террема для многочленов я — 1 степени и многочленов я — 2
степени справедлива, то она справедлива и для многочленов степени я.
Упражнения
1. Решить уравнение лг4 + 4 = 0, зная, что один из корней его 1+1.
2. При каких значениях а и Ь многочлен х* — Зх* + Зх* + ах + Ь делится
без остатка на х* — 3×4-2?

480 Основная теорема алгебры. Кабинет Математики.

Околоadmin