§ 2. Основное свойство дроби

ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Глава V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Основное свойство дроби

При преобразованиях дробных алгебраических выражений постоянно
приходится пользоваться следующим основным свойством дроби.
Значение дроби не изменяется, если числитель и знаменатель
умножить на одно и то же число, отличное от нуля.
В буквенной записи это свойство выглядит так: при любом т ф О
имеет место равенство

Читая это равенство справа налево, мы приходим к следующему
-правилу: любой общий множитель числителя и знаменателя дроби
может быть сокращен.

112 Алгебра. Основное свойство дроби, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Это свойство в обеих формулировках в применении к численным
дробям хорошо известно и широко пользуется при действиях над
дробями. В первой формулировка — при приведении дробей к общему
знаменателю, во второй — при сокращении дробей. Например

В первом примере мы произвели сокращение дроби на 3, во
втором для приведения дробей к общему знаменателю мы умножили
числитель и знаменатель первой дроби на 3, второй дроби —
на 2.
В арифметике это свойство используется в применении к дробям,
числитель и знаменатель которых — целые числа, и к множителям,
также являющимися целыми числами. В алгебре под буквами понимаются
любые числа: целые и дробные, положительные и отрицательные.
Поэтому в алгебраической дроби числитель и знаменатель, даже
если они имеют вид целых алгебраических выражений, могут принимать
не только целые, но и дробные значения. Соответственно и множитель
тоже может принимать дробные значения.
Поэтому, желая распространить основное свойство дроби на дроби
алгебраические, следует его предварительно доказать при самых общих
предположениях.
Д о к а з а т е л ь с т в о о с н о в н о г о свойст ва . Нам нужно
доказать, что если т ф. 0л , то уа = та ,
Дробь ~ есть частное от деления числа а на число Ь, т. е. такое
число, которое при умножении на делитель b дает делимое а. Обозначив
— через х , мы будем иметь равенство Ьх = а. Умножив обе
части этого равенства на любое число т, мы получим снова верное
равенство
тЪх — та.
По условию, т ф 0. Тогда и mb Ф 0, ибо Ь ф 0 (иначе частное ~ не
имело бы смысла), а произведение двух не равных нулю чисел не
равно нулю. Таким образом, х есть такое число, которое при умножении
на не равное нулю число mb дает число та. Следовательно,
по определению действия деления, х = . Но буквой х была обозначена
дробь у . Следовательно,
а_ та
b mb 9
что и требовалось доказать.

113 Алгебра. Основное свойство дроби, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Околоadmin