§ 1 . Основные свойства неравенств

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 10
НЕРАВЕНСТВА

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Основные свойства неравенств

Пусть а и Ь — какие-нибудь вещественные числа. Если разность
а — b положительна, то говорят, что а больше b:
а^>Ь.
Если разность а — Ъ отрицательна, то говорят, что а меньше Ь\
а<^Ь.
Точно так же, если а^>Ь, то разность а — Ь положительна, если
же а<^Ь, то разность а — Ь отрицательна.
Для того чтобы высказать утверждение, что численное значение
какого-нибудь алгебраического выражения больше или меньше численного
значения другого алгебраического выражения, их соединяют
знаком или и, таким образом, составляют неравенство.
Из определения вытекает, что неравенство а^> 0 означает, что а
положительно, и неравенство а<^0 означает, что а отрицательно.
Если в каждом из двух или нескольких неравенств левая часть
больше правой или в каждом из неравенств левая часть меньше правой,
то такие неравенства называются т^ъ^нстьт^одиткаваго^слыс^
ла. Например, неравенства а^>Ь и c^>d имеют одинаковый смысл.
Если же в одном неравенстве левая часть больше правой, а в
другом левая часть меньше правой, то такие неравенства называются
неравенствами щ о 1ттположл9ШЛМЬ1сла.
Те о р ема 1. Если а^>Ь, то Ь<^а, и, наоборот, если Ь<^а,
то а^>Ь.
До к а з а т е л ь с т в о . По условию разность а — Ъ положительна.
А тогда разность Ъ — а отрицательна. Следовательно,
Ь<^а.
Обратное утверждение доказывается точно так же.
Те^щеда % Если а^>Ь, й£> с, то а^>с.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
а — b = x, (1)
Ъ — с = у .

440 Основные свойства неравенств. Кабинет Математики.

Сложив равенства (1) и (2) почленно, получим
а — с = х -\-у.
Так как х и у положительны, то х — \- у ^> 0 и потому а^> с.
Д р у г о е д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим разность
л — с = (а — b) + (b — с).
По условию каждая из разностей а — Ь и Ь — с положительна, значит,
а — с > 0, т. е. а > с.
Те о р ема 3^ Если а^>Ь, то при любом с
а + с ^ Ь — ^ — с ,
т. е. неравенство не нарушается*), если к каждой части его
прибавить одно и то же число.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а — Ъ — х, тогда
(а-\-с) — {Ь-\-с) = х.
Так как, по условию, х ^> 0 , то а-{-с^>Ь -\-с.
~~Д4 ^ух*а£. ~д-е-к~а~з а т е л ь с т в о. Рассмотрим равенство
(а — f с) — (Ь + с) = а — Ъ.
По условию а — b > 0, значит, а + О b + с.
Следс тви е . Любое слагаемое можно перенести из одной
части неравенства в другую, изменив при этом знак его на противоположный.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
Ь^>с.
Прибавим к каждой части неравенства — Ь, получим
а ^ > с — Ь.
Слагаемое Ь перенесено из левой части в правую с противоположным
знаком.
Те о р ема 4. Если а^>Ь и с^>0, то ас^>Ьс, если а^>Ь и
с< ^0, то ас<^Ьс, если а^>Ь и г = 0, то ас = Ьс, т. е. неравенство
не нарушается, если обе части его умножить на одно и
то же положительное число;
неравенство превращается в неравенство противоположного
смысла, если обе части его умножить на одно и то же отрицательное
число;
неравенство превращается в равенство, если обе части его
умножить на нуль.
§ 1] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ 4 4 1
*) Выражение «неравенство не нарушается» означает, что неравенство
преобразуется в другое неравенство одинакового с ним смысла.

441 Основные свойства неравенств. Кабинет Математики.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
а — Ь — х.
Тогда а с— Ьс = хс. По условию, х ^> 0 .
Если с^> 0, то произведение х с положительно и а с ^Ь с .
Если с<[[0, то произведение х с отрицательно и ас<^Ьс.
Если с = 0, то произведение х с равно нулю и ас — Ьс.
Те о р ема 5. Если а^>Ь и c^>d, то a — ^ c ^ b — ^ — d , т« е. при
почленном сложении двух неравенств одного и . того же. смысла
получается неравенство того же смысла.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
а — b = х у (3)
с — d —у . (4)
Сложив равенства (3) и (4) почленно, получим
(a -J- с) — (b — f d) = x -j- у .
Так как х и у положительны, то и а-\- c^>b-\-d.
Те о р ема 6. Если a, b, с, d положительны и a^>b, c^>d,
то ac^>bdy т. е. при почленном умножении двух неравенств,
имеющих положительные члены и один и тот же смысл, полу•
чается неравенство того же смысла.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
а — Ь = х; с — d — у .
Тогда
a — b — \- x \ c = d -\-y \ а с— bd = b y -\-d x -\~ x y .
Так как дг]^>0; .у]>0; Ь^>0 и d^> 0, то правая часть последнего
равенства положительна и ac^>bd.
Те о р ема 7. Если а^>Ь^> 0, то при любом натуральном п
ап Ьп, т. е. неравенство, имеющее положительные члены, не на-
рушается, если каждую часть его возвести в степень с одним
и тем же натуральным показателем.
До к а з а т е л ь с т в о . При п — 1 утверждение справедливо по
условию. Допустим, что утверждение справедливо при л = &, где
6-какое-нибудь натуральное число, т. е. a ^>bk. Умножим предыдущее
неравенство почленно на неравенство а^>Ь, получим
ak+
т. е. утверждение справедливо и при n = k — f* 1.
Замеч ание . Если а и b отрицательны или имеют разные знаки,
или одно из них равно нулю, то из а^>Ь может не следовать
ап Ьп. Например, — 3 <[ — % однако (— З)2 > (—2)2; — 3 2, однако
(— 3)2j> 2 2; —3 < 0 , однако (— 3)2> 0 .
Те о р ема 8. Если а^>Ь, то при любом п у[а >>

442 Основные свойства неравенств. Кабинет Математики.

До к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что
V a C y b .
Тогда на основании теоремы 7 имеем а<^Ь, что противоречит условию.
Очевидно, что нельзя предполагать и то, что
лА = у * .
Неравенство а Ъ называется строгим неравенством, неравенство
а ^ Ь называется нестрогим неравенством.
Теоремы 1—8 доказаны для строгих неравенств. Нетрудно показать,
что все они справедливы и для нестрогих неравенств. Так, например,
теорему 1 можно сформулировать так:
. Если а ^ Ь у то Ь ^ а и, наоборот, если Ъ ^ а , то а ^ Ь .
До к а з а т е л ь с т в о . Выше было доказано, что утверждение
справедливо для строгих неравенств. С другой стороны, известно,
что аналогичное утверждение справедливо и для равенств, т. е. если
a — by то Ь— а и, наоборот, если Ъ — а, то а — Ь. Утверждение для
нестрогих неравенств является объединением двух аналогичных утверждений,
из которых одно справедливо для строгих неравенств, а другое—
для равенств.

443 Основные свойства неравенств. Кабинет Математики.

Околоadmin