p-группы

24. p-группы.

Скачать полностью бесплатно ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие. П.А. Крылов А.А. Туганбаев А.Р. Чехлов в формате PDF.

Ниже можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска справа в колонке помогут Вам быстрее найти нужную информацию на этом сайте.

23.3. В сепарабельной p-группе A все подгруппы A [pn] замкнуты. Если G — замкнутая подгруппа, то G [pn] = G П A [pn] —
также замкнутая подгруппа. Пусть теперь G — чистая подгруппа и подгруппа G [pn] замкнута в A [pn] при некотором n.

Тогда подгруппа G [p] замкнута в A [p]. Предположим, что G не замкнута, т.е. (A/G)1 = 0. Значит, в A/G существует
смежный класс a + G порядка p и бесконечной высоты. Так как G чиста, то в качестве a можно выбрать элемент порядка
p. Для любого k существуют такие элементы x 6 A и g 6 G, что pkx = a + g. Откуда pk+1x = pg 6 G. Тогда pk+1h = pg
для некоторого h 6 G. Имеем p (x — h) = a + (g — p h), где g — p h 6 G [p], т.е. a лежит в замыкании подгруппы G [p] и
a G [p] С G. Противоречие.
23.4. Очевидно, G П C = 0 и G + C содержит цоколь группы A. Запишем элемент a 6 A [p] в виде a = b + c (b 6 B [p] = G [p],
c 6 C [p]). Тогда высота элемента a в G + C больше или равна min(h(b), h(c)), а последнее число равно высоте элемента a в
группе A. Следовательно, подгруппа G + C чиста в A и, значит, G + C = A.
23.5. Существование подгруппы C следует из леммы Цорна.
Докажем по индукции, что C П pnA С pnC. Пусть n = 1 и pa = c C, где a A. Если a / C, то в силу максимальности
подгруппы C существует элемент b (C, a) порядка p, не лежащий в S. Пусть b = —c’+ka для некоторого c’ C и некоторого
целого числа k (1 ^ k ^ p — 1), которое без ограничения общности можно считать равным 1. Откуда pc’ = p(a — b) = pa = c.
Предположим теперь, что C П pnA С pnC при некотором n ^ 1, и пусть для a 6 A имеет место включение pn+1a 6 C. По
доказанному pn+1a = pc при некотором c 6 C. Из плотности S в A [p] и включения pna — c 6 A [p] следует существование
такого d S, что pna — c — d pnA. По предположению индукции для некоторого c1 C имеем pnc1 = c + d. Откуда
pn+1c1 = pc = pn+1a. Чистота подгруппы C доказана.
Так как C чиста, то в смежных классах порядка p группы A/C могут быть выбраны в качестве представителей элементы
порядка p группы A. Из плотности S следует, что элементы порядка p группы A/C имеют бесконечную высоту в A/C.
Значит, A/C — делимая группа и подгруппа C плотна в A.
23.17. Редуцированные периодически полные p-группы A могут быть охарактеризованы как группы, удовлетворяющие
условию Pext(X, A) = 0 для любой p-группы X. В частности, Pext (Zp^, A) = 0. Для любой p-группы X существует
чисто точная последовательность 0 — C — X — фZp^ — 0, где C — прямая сумма циклических групп. Тогда точная
последовательность
Pext ^Zp^ , A) = Pext (Zp«, A) — Pext (X, A) — Pext (C, A) = 0
доказывает утверждение.
23.26. Пусть A/G есть прямая сумма делимой и периодически полной группы. Делимая подгруппа G- /G чиста в A/G,
поэтому подгруппа G- чиста в A.
Для доказательства необходимости предположим, что A — квазиполная группа, и H — замыкание неограниченной чистой
подгруппы G группы A, причем замыкание взято в группе B, где B — базисная подгруппа группы A. Тогда H служит для
B прямым слагаемым. Откуда A + H = B. В силу квазиполноты (A П H)/G = (A/G)1 — делимая группа. Поэтому группа
A/G изоморфна прямой сумме делимой группы и группы A/(A П H) = (A + H)/H = B/H, которая изоморфна прямому
слагаемому группы B.

195 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ. p-группы. 

24. Группы без кручения

24.7. Рассмотрите ранги подгрупп A(t).

Чтобы построить пример группы с данным свойством, в группе Qa ф Qb выберите такую подгруппу A, что для каждого
простого числа рп выполняется равенство хл(о + рпЬ) = (0, … , 0, ж, …), где то стоит на n-месте.
24.14. Пусть A — р-чистая подгруппа группы Zp и £ 6 A. Если £ = skрk + sk+^k+1 + … — канонический вид числа £, то
Sk + sk+^ + … 6 A. Значит, группа A содержит р-адическую единицу. Поэтому A + рZp = Zp. Так как рA = A П рZp, то
A/рA = A/(A П рZp) = (A + рZp)/рZp = Zp/рZp ^ Zp.
Пусть A = B ф C, где B = 0, C = 0. Тогда A/рA = B/рB ф C/ftC = Zp ф Zp, противоречие.
24.15. б) Если рA = A, то существует мономорфизм A ^ Zp, р-базисные подгруппы группы A должны быть циклическими.
24.31. 4) Достаточно показать, что ни для какого простого числа р группа Zp не является W-группой. Последнее очевидно,
так как Ext(Zp, Z) = Zp.
5) В противном случае она не является конечно порожденной (19.19). Тогда для некоторой существенной свободной подгруппы
F этой группы G периодическая группа G/F бесконечна. Точная последовательность 0 ^ F ^ G ^ G/F ^ 0 индуцирует
точную последовательность
Hom (F, Z) ^ Ext (G/F, Z) ^ Ext (G, Z) = 0.
Здесь группа Hom (F, Z) — счетная, а группа Ext (G/F, Z) имеет мощность континуума.
24.36. 2) Необходимость очевидна, поскольку изоморфизм сохраняет р-типы элементов. Пусть теперь B, G — связные группы
из Rp и Tp (b) = Tp (g) для некоторых b 6 B \ рB, g 6 G \ рG. Существуют натуральные числа n, m со свойствами
Hp!(b) С Hp(ng), Hp(g) С H^(mV).
Элементы b и g являются р-образующими групп B и G соответственно. Поэтому существуют гомоморфизмы р: B ^ G,
ф: G ^ B со свойствами рЬ = ng, фg = mb. Так как ненулевые гомоморфизмы связных групп в редуцированные группы
являются мономорфизмами, то фр = (nm) 1в и рф = nm 1g. Откуда
nmB = ^p)B С фG С B и nmG = рС pB С G.
Значит, группы B и G квазиизоморфны, но квазиизоморфизм связных групп влечет изоморфизм.

196 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ. p-группы.

Околоadmin