ԲԱՑԱՐՁԱԿ ԱՐԺԵՔ ՊԱՐՈՒՆԱԿՈՂ ՊԱՐԶԱԳՈՒՅՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ՄԱՍԻՆ

ԲԱՑԱՐՁԱԿ ԱՐԺԵՔ ՊԱՐՈՒՆԱԿՈՂ ՊԱՐԶԱԳՈՒՅՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ՄԱՍԻՆ

Մաթեմատիկան Դպրոցում

Մաթեմատիկան Դպրոցում

Տեքստ արագ ծանոթացման համար առանց ֆորմուլաների:
Տեքստը որակով դիտել էջի վերջում օնլայն:

Հ ա ն ր ա կ ր թ ա կ ա ն դպ ր ո ց ո ւմ գ ո ր ծ ո ղ հ ա ն ր ա հ ա շ վ ի դ ա ս ը ն թ ա ց ո ւ մ տ ա ր բ ե ր տ իպ ի
հ ա վ ա ս ա ր ո ւ մ ն ե ր ի ո ւ ս ո ւմ ն ա ս ի ր մ ա ն գ ո ր ծ ը ն թ ա ց ո ւ մ յո ւ ր ա հ ա տ ո ւ կ տ ե ղ է գ ր ա վ ո ւ մ
« Բա ցա ր ձա կ ա ր ժ ե ք պ ա ր ո ւնա կ ո ղ հա վա սա րումներ» թ ե մա ն 7-րդ դա սա րա ն ո ւմ : Փ ո րձենք
ք ն ն ա ր կ ե լ ա յն թ եմա ն ի ն կա տ ի ո ւն ե նա լո վ ա յն հ ա ն գ ա մ ա ն ք ը , որ դ րա ճ ի շտ մա տ ո ւց ո ւմ ը
ուսուցչի կողմից և ա շա կ ե րտ ն ե ր ի գ ի տ ա կ ց վ ա ծ յո ւրա ցում ը կ նպ ա ստ ի հ ետ ա գա յո ւմ մոդուլ
պ ա ր ո ւն ա կ ո ղ ա ռ ա վ ե լ բ ա ր դ հա վա սա ր ո ւմ ն ե ր ի լուծմա նը: Մեր կ ա ր ծ ի ք ո վ ա յդ դա ս ի ն
ն ա խ ա պ ա տ ր ա ս տ վ ե լ ի ս ս կ ս նա կ ուսուցիչը ն ա խ պ ե տ ք է ի մա նա , որ 5-րդ դա ս ա ր ա ն ի
մա թ ե մա տ ի կա յի դա սընթա ցում ա շա կերտ ները սովորում են ա մբողջ թվի բա ցա ր ձա կ ա ր ժ ե քի
սա հ մա ն ո ւմ ը (տես [3]):
Իսկ 10-րդ դա սա րա ն ո ւմ ‘ «Մոդուլ պ ա ր ո ւնա կ ո ղ հա վա սա ր ո ւմ ն ե ր և անհա վա սարումներ»
պ ա ր ա գ ր ա ֆ ո ւ մ (տ ե ս [4] էջ 106) հ ա ն գ ա մ ա ն ո ր ե ն ո ւ ս ո ւ մ ն ա ս ի ր վ ո ւ մ են մ ո դ ո ւլի
հ ա տ կ ո ւ թ յ ո ւ ն ն ե ր ը և դ ր ա ն ք կ ի ր ա ռ վ ո ւ մ = |ir(-*)| ու \f{x \= §{x ) տ ե ս ք ի
հա վա սա ր ո ւմ ն ե ր ի մա ս նա վ ո ր օ ր ի նա կ ն ե ր ի լուծման ժա մա նա կ :
Ո ւստ ի 7-րդ դ ա ս ա ր ա ն ի հ ա ն ր ա հ ա շ վ ի դ ա ս ը ն թ ա ց ո ւ մ ա ռ ա վ ե լ ևս կա րև ո ր վ ո ւմ է
« Բ ա ցա ր ձա կ ա ր ժ ե ք պ ա ր ո ւ ն ա կ ո ղ հ ա վ ա ս ա ր ո ւմ ն ե ր » թեմւսյի խ ո ր ը և գ ի տ ա կ ց վ ա ծ
յուրացումը ա շա կ ե րտ ն ե ր ի կողմից (տես [2] էջ. 161): Լինելով միջանկյալ օղա կ ‘ այն ուսուցչից
պ ա հա նջ ում է ա ռա վ ե լ ճկունություն և կարևորը’ ա շա կ ե րտ ն ե ր ի ն հասցնելու ու ա մրա պ ն դելու
կարողություն:
Դ ա սը ս կ ս վ ո ւմ է մ ո դ ո ւլո վ կա մ բ ա ց ա ր ձ ա կ ա ր ժ ե ք պ ա ր ո ւ ն ա կ ո ղ հ ա վ ա ս ա ր մ ա ն
սա հ մա ն ո ւմ ո վ : Այնուհետև ա ռա ջա ր կ վ ո ւմ է լուծել խ| = a պ ա ր զա գ ո ւյն հա վա սա ր ո ւմ ը : Ինչ
խ ոսք, ա շա կ ե րտ ն ե ր ի ն մ իա ն գա մ ի ց այս հա վա սա ր մա ն լուծումը բա ցա տ ր ե լ ա յն քա ն էլ ճիշտ
չի լինի: Ա նհրա ժեշտ է նոր նյութի ուսուցումից ա ռա ջ կա տ ա ր ե լ որոշ ն ա խ ա պ ա տ ր ա ս տ ա կ ա ն
ա շ խ ա տ ա ն ք : Ն ա խ պ ե տ ք է վերհիշել թվի բա ցա ր ձ ա կ ա ր ժ ե ք ի սա հ մա ն ո ւմ ը : Բա յց ն կա տ ի
ունենա լով, որ 6-րդ դ ա ս ա ր ա ն ի ե ր կրւսչա վտ ւթ յա ն դ ա ս ը ն թ ա ց ի հենց ա ռա ջ ի ն կ ետ ում
(«Կետեր, ո ւղ ի ղ ն ե ր , հա տ վա ծ ն ե ր» ) խ ո ս վ ո ւմ է կ ետ ե ր ի և ո ւղ ղ ի տ ա ր բ ե ր հ ն ա ր ա վ ո ր

դա սա վորությունների մա սին [տես՜ [5], էջ 6], 7-րդ դա սա րա ն ո ւմ կարելի է մոդուլի սա հ մա ն մա ն
մեջ կ ա տ ա ր ե լ ա ռա վ ե լ ճ շ գ ր իտ ձև ա կերպ ում , այն է. թվի բա ց ա ր ձ ա կ ա ր ժ ե ք կա մ մոդուլ
կ ոչվ ում է ա յդ թվին հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն ո ղ կ ետ ի հ ե ռա վ ո ր ո ւթ յո ւն ը 0 ս կ զ բ ն ա կ ե տ ի ց :
Ս ա հ մ ա ն մ ա ն մեջ մ ե ն ք օ գ տ ա գ ո ր ծ ե ց ի ն ք հ ե ռա վ ո ր ո ւթ յո ւն բա ռ ը : Ո ւսուցիչը պ ե տ ք է
ա շա կ ե րտ ն ե ր ի ն հարցնի’ հ նա րա վ ո ՞ր է ա րդյոք, որ հեռավորությունը լինի բա ցա սա կա ն թի՛վ,
ա ս ե ն ք. «Արամը ա ն ց ա վ -5 կմ ճա նա պ ա ր հ» : Ոչ: Հ ետ և ա բա ր թվի բ ա ց ա ր ձ ա կ ա ր ժ ե ք ը
բ ա ց ա ս ա կ ա ն լինել չի կարող: Այնուհետև կա րելի է դ իտ ա ր կ ե լ տ ա րա բ ն ո ւյթ և տ ա ր ա տ ե ս ա կ
օ ր ի ն ա կ ն ե ր ու խ ն դ ի ր ն ե ր ա ռ օ ր յա կյա նքում, կ ե ն ցա ղում, ա րտ ա դ ր ո ւթ յա ն մեջ մոդուլի
կիրա ռութ յունների վերա բերյա լ: Փ ո ր ձ ե ն ք լուծել |л:| = 5 հա վա սա ր ո ւմ ը : Հա ր ց — Ո՞ր թ վերն .

են, որոնց հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն ո ղ կ ետ ե ր ի հեռա վորութ յո ւնը ս կ զ բ նա կ ետ ե ր ի ց հա վա սա ր է 5
մ իա վորի: Գ ծենք կ ո ո ր դ ի նա տ ա յի ն ո ւղիղը և ն շե ք ա յդ կետ երը:
ե կ . 1-ից երևում է, որ գ ո յո ւթ յո ւն ունի 2 թիվ, ո ր ո ն ց հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն կ ետ ե ր ի
հե ռա վ ո ր ո ւթ յո ւն ը 0 ս կ զ բ նա կ ետ ի ց հ ա վ ա ս ա ր է 5-ի’ * = 5 և д- = -5 : Հ ե ն ց դ ր ա ն ք էլ (1)
հա վ ա ս ա ր մ ա ն լուծումներն են, ուրեմն |-5| = 5 և |5| = 5:
Վերևում ձև ա կ ե րպ վա ծ սա հ մա ն ո ւմ ը փ ա ս տ ո ր ե ն ե ր կ րա չա փ ո ր ե ն է և լինելով ա ռա վ ե լ
դ իտ ո ղա կա ն , օգ ն ո ւմ է հա ջ ո ր դ կետ ում հեշտ ությա մբ լուծելու ]л| > а , |*| < а , |лг| > а , |*| < а
տ ե ս քի ա նհա վա սա ր ումները: Բայց ա յնուա մենա յնիվ պ ե տ ք է տ ա լ մոդուլի հա ն րա հա շվա կա ն
սա հ մա ն ո ւմ ը : Ոուս հա յտ ն ի մ ե թ ո դ ի ստ Կ ո ն ստ ա նտ ի ն Սերգեևիչ Բ ա ր ի բ ի ն ը (տե ս [6] էջ 90-
92) ա յդ գ ա ղ ա փ ա ր ի ե լա կետ հա մա ր ո ւմ է խ ն դ ի ր ը : Մեր կ ա ր ծ ի ք ո վ ուսուցիչը ց ա ն կ ւ ս ց ս ^
թ վի հա մա ր մոդուլի գ ա ղ ա փ ա ր ը պ ե տ ք է բ ա ցա տ ր ի օ գ տ վ ե լ ո վ հա նգունութ յունից . ինչպես
կ ո ն կ ր ետ թ վի հա մա ր , ա յնպ ե ս էլ ց ա ն կ ա ց ա ծ х թվի հա մա ր սա հ մա ն ո ւմ ը գ ր վ ո ւմ է
Այժմ կարելի է անցնել pj = а հա վա սա ր մա ն ուսումնասիրմանը: Քանի որ թվի բա ցա ր ձա կ
ա ր ժ ե ք ը չի կա ր ո ղ բ ա ց ա ս ա կ ա ն լինել, ուստ ի երբ а < 0, հ ա վա սա ր ո ւմ ը լուծում չունի:
Օ ր ի նա կ |*| = -10 հ ա վա սա ր ո ւմ ը լուծում չունի: Իսկ երբ а > 0, պ ե տ ք է ք ն ն ա ր կ ե լ х թվի
հ նա րա վ ո ր ա ր ժ ե քն ե ր ը .
ա) х<0 : Վերհիշելով մոդուլի սա հ մա ն ո ւմ ը կա ր ո ղ ե ն ք գր ե լ |л] = — х , կ ստ ա ց վ ի

բ) * > 0 . ը ստ սա հ մա ն մա ն |л| = л-: Հ ետ և ա բա ր կստ ւսց վի \х — а <=> х ~ а ‘■ Ուրեմն
\х\ = а հ ա վ ա ս ա ր մ ա ն լուծումները կլինեն а < 0 դ եպ ք ո ւմ լուծում չունի,
а > 0 դ եպ ք ո ւմ х = ± а :
Այս հա վա սա ր մա ն լուծումն ա մ րա պ ն դ ե լո ւ ն պ ա տ ա կ ո վ պ ե տ ք է կա տ ա ր ե լ ինչպես թ իվ 7
վա րժութ յունը, ա յնպ ե ս էլ ա ռա ջա ր կ ե լ ա շա կ ե րտ ն ե ր ի ն ինքն ուրույն կա զ մ ե լ ն ո ւյնա տ իպ
հա վա սա ր ո ւմ ն ե ր և լուծել դ ր ա ն ք տեղում: Ա նհրա ժեշտ է, որ այս ա շ խ ա տ ա ն ք ը կա տ ա ր ե լի ս
ուսուցիչը ո ր քա ն հ նա րա վ ո ր է հ ա ճ ա խ կրկնել տ ա մոդուլի սա հմա նումը :
Այնուհետև դ ա ս ա գ ր ք ո ւ մ ք ն ն ա ր կ վ ո ւմ է \x- lj + 2 x — 4 = 2 հ ա վ ա ս ա ր մ ա ն լուծումը:
Բ ա ց ա ր ձ ա կ ա ր ժ ե ք ի ն շա ն ի ց ա զա տ վ ե լո ւ հա մա ր դ իտ ա ր կ վ ո ւմ է երկու դ եպ ք , ելնելով
սա հ մա ն ո ւմ ի ց
ա) л-֊1>0,
Բ) лт-1 < 0:
ա) դ ե պ ք ը ա շա կ ե րտ ն ե ր ը հ ե շտ ո ւթ յա մ բ են հա ս կա ն ո ւմ և կո ղ մ ն ո ր ո շվ ո ւմ լուծմա ն մեջ:
Ս ա կա յն բ) դ եպ քո ւմ , եթե x — l < 0 , հ ա մ ա կ ա ր գ ի հ ա վ ա ս ա ր մ ա ն ստ ա ց ո ւմ ը ոչ բոլորն են
հա ս կա ն ո ւմ (տես [1] էջ. 229): Ա յստ եղ նույնպ ես կա րևոր է ուսուցչի ճ ի շտ մ ոտ եցումը, ն րա
բա ցա տ ր ո ւթ յո ւն ը : Հ ի շե ց ն ե լո վ մոդուլի սա հ մա ն ո ւմ ը ա շա կ ե րտ ն ե ր ի ն պ ե տ ք է հա ն գ ե ց ն ե լ
— ( x — l ) + 2 x — 4 = 2 այս հա վա սա ր ո ւմ ը ը ն դ գ ր կ ո ղ հա մա կա ր գ ի ն : Ստ անա լովճ= 5 , իհա րկե,
ա յն պ ե տ ք է տ ե ղա գ ր ե լ ա ն հ ա վ ա ս ա ր մ ա ն մեջ և հա մ ո զ վ ե լո վ , որ 5-1<0 ա սույթը կ ե ղ ծ է,
_ 7
հա ն գ ե լ այն ե զ րա կա ց ո ւթ յա ն , որ հա վա սա ր ո ւմ ը ունի մ իա կ լուծում x — —:
Ք ննա րկվում է նա և Ьг-1| + |2лг-4| = 2 բա ր դ հա վա սա ր ո ւմ ը , ո ր տ ե ղ մոդուլի ն շա նը
մա ս նա կ ց ո ւմ է երկու ա ն գա մ : Ուսուցիչը ա շա կ ե րտ ն ե ր ի հ ետ պ ե տ ք է պ ա ր զ ի , թե դ րա ն ց ի ց
ա զ ա տ վ ե լո ւ հա մա ր ք ա ն ի դ ե պ ք պ ե տ ք է քն նա ր կ ե լ: Ք ննա րկելով 4 հ նա րա վ ո ր դ եպ ք ե ր ը և
լո ւծելով կ ա զ մ վ ա ծ հ ա մ ա կա ր գ ե ր ը ա ն հ ր ա ժ ե շտ է վերջում ի մի բերել պ ա տ ա ս խ ա ն ն ե ր ը .
7
х=1 և X = — ; Այնուհետև ս ո վորե ցրա ծ ը ա մ րա պ ն դ ե լո ւ և տ ր ա մ ա բ ա ն ա կ ա ն մտ ա ծողութ յունը
զա ր գա ց ն ե լո ւ ն պ ա տ ա կ ո վ ս ո վ ո ր ո ղ ն ե ր ի ն կա րելի է տ ա լ հետ ևյալ հարցերը.
1. \x֊l\ + 2 x — 4 — 2 հա վա սա ր ո ւմ ը ք ա ն ի լուծում ունի,
2. \x—1| + 12x ~ 4| — 2 հա վա սա ր ո ւմ ը ք ա ն ի լուծում ունի,
3. Ի՞նչ ե ք կա րծում’ \х~ 1| + |2л—4| = ֊1 հա վա սա ր ո ւմ ը քա ն ի ՞ լուծում ունի:
Ո ւս ո ւ ց ի չ ը ա յս հ ա ր ց ե ր ի մ ի ջ ո ց ո վ ա շ ա կ ե ր տ ն ե ր ի ն պ ե տ ք է հ ա ն գ ե ց ն ի ա յն
ե զ րա կա ց ո ւթ յա ն , որ բա ցա ր ձա կ նշա ն պ ա ր ո ւնա կ ո ղ հա վա սա ր ո ւմ ն ե ր ը կ ա ր ո ղ են ունենա լ
մեկից ա վելի լուծումներ կա մ լուծում չունենալ: Թիվ 12 վա րժութ յունը լուծելիս կ ա ր ի ք չկա
դ իտ ա ր կ ե լ չորս դ եպ ք: Քանի որ ի րա ր հ ա վ ա ս ա ր են միա յն ի րա ր հ ա վ ա ս ա ր կա մ ի րա ր

հա կա դ ի ր թ վերի բ ա ց ա ր ձ ա կ ա ր ժ ե քն ե ր ը , ա յս ի ն ք ն И Ч -И 0
ք ն ն ա ր կ ե լ երկու դ ե պ ք (տես [2], Էջ 161):
Ինչպես ն կ ա տ ե ց ի ն ք այս դա ս ո ւմ ն ե ր մ ո ւծ վա ծ նոր հա ս կա ց ո ւթ յո ւն ն ե ր ը կա ր ի ք ունեն
մ ե կ նա բա ն մա ն (ավելի պ ա րզ, ե ր եխ ա ն ե ր ի կ յա ն քի փ ո ր ձ ի ց վերցվա ծ) օր ի նա կ ն ե ր ի միջոցով
լրացուցիչ պ ա ր զ ա բ ա ն մ ա ն : Գ տ նում ենք, որ ն պ ա տ ա կ ա հ ա ր մ ա ր Է ա մ բ ո ղ ջ դ ա ս ա ժ ա մ ը
տ րա մա դ ր ե լ նոր նյութի հա ղ ո ր դ մա ն ը և ա մ րա պ ն դ մա ն ը :

ՕԳՏԱԳՈՐԾՎԱԾ ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. Հ. Մ ի քա յե լյա ն , « Հա ն րա հ ա շ ի վ 7», հ ա ն ր ա կ ր թ ա կ ա ն դպ ր ո ց ի 7-րդ դ ա ս ա ր ա ն ի
դա սա գ ի ր ք , Ե. «Հայ Էդիթ» 1999
2. Հ. Ս. Մ իքա յելյա ն, « Հա ն րա հա շ վ ի ուսուցումը 6-8 դա սա րա ն ն ե ր ո ւմ» , Մ ե թ ո դա կա ն
ձե ռ նա ր կ հա ն րա կ ր թ ա կա ն դպ ր ո ց ի ուսուցիչների հա մա ր , Ե. «Հայ էդիթ» 2000
3. Բ. Ն ա հա պ ետ յա ն , Ա. Ա բրա համյա ն, « Մ ա թ ե մա տ ի կա 5» հա ն րա կ ր թ ա կա ն դպ ր ո ց ի 5-
ր դ դա սա րա ն ի դ ա սա գ ի ր ք , Ե. «Մակմիլան-Արմենա» 2000
4. Գ. Գևորգյան, Ա. Աահակյան, « Հա ն րա հա շի վ և մա թ ե մա տ ի կա կա ն ա նա լի զ ի տարրեր»,
հա ն րա կ ր թ ա կա ն դպ ր ո ց ի 10-րդ դա սա րա ն ի դա սա գ ի ր ք , Ե. «էդիթՊրինտ» 2001
5. Լ. Մ. Ա թ ա ն ա ս յա ն , Վ. Ֆ. Բ ո ւտ ո ւ զ ո վ և ո ւ ր ի շ ն ե ր , « Ե ր կ ր ա չա փ ո ւ թ յո ւ ն 6»,
հա ն րա կ ր թ ա կա ն դպ ր ո ց ի 6-րդ դա սա րա ն ի դ ա սա գ ի ր ք , Ե. «Աստղիկ 59» 2000
6. Барыбин К. С., Методика преподавания алгебры. М., 1965

21

ԲԱՑԱՐՁԱԿ ԱՐԺԵՔ ՊԱՐՈՒՆԱԿՈՂ ՊԱՐԶԱԳՈՒՅՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ, ՊԱՐԶԱԳՈՒՅՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.

Околоadmin