Перестановка часовых стрелок

ГЛАВА II  ЯЗЫК  АЛГЕБРЫ. Перестановка часовых стрелок.

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман  ИЗДАНИЕ ДВЕНАДЦАТОЕ СТЕРЕОТИПНОЕ

Под редакцией и с дополнениями В. Г. Болтянского

Сборник Математики

Скачать 11-ое издание ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман в формате PDF в хорошем качестве, но без возможности каптирования на Главной странице ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. 

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):

Перестановка часовых стрелок

ЗАДАЧА
Биограф и друг известного физика А. Эйнштейна
А. Мошковский, желая однажды развлечь своего при-
ятеля во время болезни, предложил ему следующую
задачу (рис. 9):

стр. 46 Перестановка часовых стрелок. 

«Возьмем, — сказал Мошковский, — положение
стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении боль-
шая и малая стрелки обменялись местами, они дали
бы все же правильные показания. Но в другие мо-
менты, — например, в 6 часов, взаимный обмен стре-
пок привел бы к абсурду, к положению, какого на
правильно идущих часах быть не может: минутная
стрелка не может стоять на
6, когда часовая показыва-
ет 12. Возникает вопрос:
когда и как часто стрелки
часов занимают такие поло-
жения, что замена одной
другою дает новое положе-
ние, тоже возможное на пра-
вильных часах?
— Да, — ответил Эйн-
штейн, — это вполне подхо-
дящая задача для человека,
вынужденного из-за болезни
оставаться в постели: доста-
точно интересная и не слишком легкая. Боюсь только,
что развлечение продлится недолго: я уже напал на
путь к решению.

И приподнявшись на постели, он несколькими
штрихами набросал на бумаге схему, изображающую
условие задачи. Для решения ему понадобилось не
больше времени, чем мне на формулировку задачи…»
Как же решается эта задача?
РЕШЕНИЕ
Будем измерять расстояния стрелок по кругу ци-
ферблата от точки, где стоит цифра 12, в 60-х долях
окружности.
Пусть одно из требуемых положений стрелок ‘на-
блюдалось тогда, когда часовая стрелка отошла от
цифры 12 на х делений, а минутная — на у делений.
Так как часовая стрелка проходит 60 делений за
12 часов, т. е. 5 делений в час, то х делений она про-
шла за x/5часов. Иначе говоря, после того как часы
показывали 12, прошло x/5часов. Минутная стрелка

стр. 47 Задача Ньютона. 

прошла у делений за у минут, т. е. за -Lr часов. Ина-
че говоря, цифру 12 минутная стрелка прошла -^г ча-
сов тому назад, или через

Давая т и п значения от 0 до 11, мы определим
все требуемые положения стрелок. Так как каждое
из 12 значений т можно сопоставлять с каждым нз
12 значений п, то, казалось бы, число всех решений
равно 12×12=144. Но в действительности оно ра’вно
143, потому что при m=0, n=0 и при m=11, n=11
получается одно и то же положение стрелок.
При т— 11, я= 11 имеем:
x=60, y = 60,
т. е. часы показывают 12, как и в случае m=0, n=0.

стр. 48 Перестановка часовых стрелок. 

Всех возможных положений мы рассматривать не
станем; возьмем лишь два примера.
Первый пример:

Соответствующие моменты: 8 час. 28,53 мин. и
5 час. 42,38 мин.
Число решений мы знаем: 143. Чтобы найти все
точки циферблата, которые дают требуемые положе-
ния стрелой, надо окружность циферблата разделить
на 143 равные части: получим 143 точки, являющиеся
искомыми. В промежуточных точках требуемые поло*
жения стрелок невозможны.

стр. 49 Перестановка часовых стрелок. 

На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. 
Школьная математика.  Математика в школе.

Задача Ньютона