Пифагоровы числа

Пифагоровы числа.

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):

Удобный и очень точный способ, употребляемый
землемерами для проведения на местности перпенди-
кулярных линий, состоит в следующем. Пусть через
точку А требуется к прямой MN провести перпенди-
куляр (рис. 13).

Пифагоровы числа

Откладывают от А по направлению
AM три раза какое-нибудь рас-
стояние а. Затем завязывают на м в а . а t g » N
шнуре три узла, расстояния меж- ^
ду которыми равны 4а и 5а. При-
ложив крайние узлы к точкам А
и В, натягивают шнур за средний
узел. Шнур расположится тре-
угольником, в котором угол А —
прямой.
Этот древний способ, по-види-
мому, применявшийся еще тыся-
челетия назад строителями еги-
петских пирамид, основан на том,
что каждый треугольник, стороны которого относят-
ся, как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пи-
фагора, — прямоугольный, так как
32+42=52.
Кроме чисел 3, 4, 5, существует, как известно, бес-
численное множество целых положительных чисел а,
Ь, с, удовлетворяющих соотношению
Рнс. 13.
Они называются пифагоровыми числами. Со-
гласно теореме Пифагора такие числа могут служить

 стр. 117 Пифагоровы числа 

длинами сторон некоторого прямоугольного треуголь-
ника; поэтому а и Ь называют «катетами», а с — «ги-
потенузой».
Ясно, что если а, Ь, с есть тройка пифагоровых
чисел, то п’ра, рЬ, рс, где р — целочисленный множи-
тель,— пифагоровы числа. Обратно, если пифагоровы
числа имеют общий множитель, то на этот общий
множитель можно их все сократить, и снова полу-
чится тройка пифагоровых чисел. Поэтому будем вна-
чале исследовать лишь тройки взаимно простых пи-
фагоровых чисел (остальные получаются из них
умножением на целочисленный множитель р).
Покажем, что в каждой из таких троек а, Ь, с один
из «катетов» должен быть четным, а другой нечетным.
Станем рассуждать «от противного». Если оба «ка-
тета» а и b четны, то четным будет число а2 + Ь2, a
значит, и «гипотенуза». Это, однако, противоречит
тому, что числа а, Ь, с не имеют общих множителей,
тек как три четных числа имеют общий множитель 2.
Таким образом, хоть один из «катетов» а, Ъ нечетен.
Остается еще одна возможность: оба «катета» не-
четные, а «гипотенуза» четная. Нетрудно доказать,
что этого не может быть. В самом деле: если «катеты»
имеют вид
2-v+l и 2у+1,
то сумма их квадратов равна
т. е. представляет собой число, которое при делении
на 4 дает в остатке 2. Между тем квадрат всякого
четного числа должен делиться на 4 без остатка.
Значит, сумма квадратов двух нечетных чисел не мо-
жет быть квадратом четного числа; иначе говоря,
наши три числа — не пифагоровы.
Итак, из «катетов» а, Ь один четный, а другой не-
четный. Поэтому число а2 + Ь2 нечетно, а значит, не-
четна и «гипотенуза» с.
Предположим, для определенности, что нечетным
является «катет» а, а четным Ь.

 стр. 717 Пифагоровы числа 

мы легко получаем:
а2 = с2—Ь2=(с+Ь){с—Ь).
Множители с+Ь и с—Ь, стоящие в правой части, вза-
имно просты. Действительно, если бы эти числа имели
общий простой множитель, отличный от единицы, то
на этот множитель делились бы и сумма
\с+Ь) + (с—Ь)=2с,
и разность ,
(с + Ь) — (с—Ь)=2Ь,
и произведение
(c + b)(c-b)=a2,
т. е. числа 2с, 2Ъ и а имели бы общий множитель. Так
как а нечетно, то этот множитель отличен от двойки,
и потому этот же общий множитель имеют числа а,
Ь, с, чего, однако, не может быть. Полученное про-
тиворечие показывает, что числа с + Ь и с—Ь взаимно
просты.
Но если произведение взаимно простых чисел есть
точный квадрат, то каждое из них является квадра-
том, т. е.
Решив эту систему, найдем:
/и2 4- и2 , га2 — и2
с — —-п—. о =
2 » «~ 2 ‘
а=тп.
Итак, рассматриваемые пифагоровы числа имеют вид
, те2 — и2 га2 + и2
а = тп, Ъ = —g— • с — —i—’
где т и п — некоторые взаимно простые нечетные
числа. Читатель легко может убедиться и в обратном:
при любых нечетных тип написанные формулы
дают три пифагоровых числа а, Ь, с,

119 Пифагоровы числа

получаемых при различных тип:
при т= 3, п = \ 32+ 42= 52
при т— 5, /г = 1
при т= 7, п=\
при /п= 9, я = 1
при т = 11, п — \
при /п=13, п = \ 1324-842 =
при тп= 5, /г = 3
при т= 7, « = 3
при т=П. /г = 3
при т=13, д = 3
при т= 7, п = 5 352+122 =
при т= 9, /г = 5 452-f-282 =
при т=11, л = 5
при т=13, л = 5
при т= 9, п = 7 632+162=г652
при т = 11, п = 7 772 + 362 = 852
(Все остальные тройки пифагоровых чисел или
имеют общие множители, или содержат числа, боль-
шие ста.)
Пифагоровы числа обладают вообще рядом любо-
пытных особенностей, которые мы перечисляем далее
без доказательств:
1) Один из «катетов» должен быть кратным трем.
2) Один из «катетов» должен быть кратным че-
тырем.
3) Одно из пифагоровых чисел должно быть
кратно пяти.
Читатель может удостовериться в наличии этих
свойств, просматривая приведенные выше примеры
групп пифагоровых чисел.

120 Пифагоровы числа

На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. 
Школьная математика.  Математика в школе.

Околоadmin