§ 1. Введение

ЧАСТЬ II. ГЛАВА VI. Обобщение понятия о показателе степени.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Введение

При введении понятия о степени подразумевалось, что показатель ;
степени — целое положительное число. Все правила действий над степенями
были выведены в этом предположении.
В математике наряду со степенями с целыми положительными
показателями рассматриваются также и степени с нулевым, отрицательным
и дробным показателями. Более того, исследование некоторых
вопросов, имеющих очень большое значение, требует рассмотрения
степеней с иррациональными показателями.
В этой главе будет введено понятие о степени с любым веще- i
ственным показателем и будет показано, что все правила действий
над степенями, выведенные для целых положительных показателей,
сохраняются и для любых вещественных показателей.

§ 2. Понятие о степени с нулевым и отрицательным показателем

Оп р е д е л е н и е . Если а ф 0, то а° = 1. Нулевая степень числа,
отличного от нуля, равна единице.
Например, 2 ° = 1; (0,75)°= 1; (—}/1Г)0 = 1. Выражение 0° смысла
не имеет.
Оп р е д е л ен и е . Если а Ф 0 и q — целое положительное 1
число, то
Целая отрицательная степень числа, отличного от нуля, равна
единице, деленной на степень того же числа с показателем, равным
абсолютной величине отрицательного показателя.
Например,
J l = _i_. (__оу-з— 1 — ± .
3* 27 ’ ‘ — ( _ 2)2 — 4 >

373 ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ. Кабинет Математики.

Теорема^ При любых целых п о л ож ит е л ь ны х и п справедливо
правило деления степеней
ат : ап = от ~л
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если т^>п, утверждение в доказательстве
не нуждается.
Если т — Пу справедливость утверждения вытекает из определения
нулевого показателя.
Если т<^Пу справедливость утверждения вытекает из определения
целого отрицательного показателя.
Теорема доказана.
Определение нулевого и отрицательного показателей возникло в
связи с желанием обобщить установленное ранее правило деления
степеней одной и той же величины. Это правило
ат:ап = ат~п
было выведено в предположении, что т и п — целые положительные
числа и что т^>п.
Допустим, что правило деления степеней можно применять и дог да,
когда показатель степени делимого равен показателю степени делителя
и когда» показатель степени делимого меньше показателя степени
делителя/
Пусть т =71* тогда
ат :аР = ат : ат= ат~т == а0. (1)
С другой стороны,
■ ‘ , ат:ат=* 1. * (2)
Сравнение результатов (1) и (2) показывает, что аР = U
Пусть т<^п, т. е. n — m-\-q> где q —тположительное число.
Тогда имеем
ат:ат+9 = ат^ т+д) = а ^ . (3)
С другой стороны, посредством. сокращения получаем
(4)
Сравнение результатов (3) и (4) показывает, что целесообразно считать
3 7 4 ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ о ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ \ГП. VI
где q—целое положительное число.
Рассуждения, которые приведены выше, не являются, кОнёчно,
доказательствами того, что в®=1; • Эти рассуждения проведены
только для того, чтобы показать, что принимаемые нами опре

374 ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ. Кабинет Математики.

деления нулевого и отрицательного показателя подсказаны нам опытом
деления степеней с одним и тем же основанием и единственно
возможны, если мы желаем сохранить правило деления степеней для
случая, когда показатель степени делимого не превосходит показателя
степени делителя..
Замечание. Не следует думать, что введением отрицательного
показателя дробное выражение превращается в целое drq. Выражение
crq является лишь другой формой записи выражения

375 ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ. Кабинет Математики.

Околоadmin