ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМЫ

Рассмотрим сначала простейший случай такой функции
при С — k — l; тогда у = ах.
Оп р е д е л ени е . Функция вида у = ах, гЦе а > 0 и
«=£ !, называется показательной.
Изучение этой функции начнем с построения ее графика.

§ 136. Графики показательных функций

Таблица II составлена следующим образом. Положительные
значения аргумента х образуют арифметическую прогрессию
с разностью d — ~ ; значения показательной функции 10*
в таком случае составляют геометрическую прогрессию со
знаменателем q = 108.

261 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 13. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМЫ.

Остальные степени находим умножением:
8 1 1
4) 1 0 ^ = I07 — 1 0 8 ^ 1 , 7 6 . 1,33 да 2.36
и т. д.
Для отрицательных значений показателя степени удобно
Округленные результаты с одним десятичным знаком занесены
в таблицу.
На основании составленных таблиц построены графики
этих четырех показательных функций в одном и том же
масштабе на рис. 96 и 97.

§ 137. Свойства показательной функции

функции, которые
мы принимаем без доказательства:
1) Показательная функция положительна при любом значении
аргумента (график расположен выше оси Ох).
2) При основании д > 1 показательная функция возрастает
с увеличением аргумента х , причем а* < 1 при * < Q
и п* > 1 при х > 0.
3) При положительном основании а < 1 показательная
функция а* убывает с увеличением аргумента х, причем
а * > 1 при х < 0 и а * < 1 при х > 0 .
4) При любом положительном основании а* — 1, если
х = 0 (все кривые пересекают ось ординат в одной и той же
точке (0 ; 1) ) . ,
5) При а > 1 функция а* возрастает тем быстрее, чем
больше а (кривая у — 10х быстрее уходит вверх, чем у — 2х).
6) При неограниченном возрастании аргумента х функция
а* (а > 1) может принимать какие угодно большие зна-
пользоваться таблицей обратных величин
г
10″^== ■
10 8
и т. д.
§ 137, Свойства показательной функции

262 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 13. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМЫ.

263 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 13. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМЫ.

чения. Это свойство из чертежа непосредственно не вытекает,
но нетрудно усмотреть, что при
х ^ 1, 2 , 3, 4| 5
и т. д. функция
10ж= 10, 100, 1000, 10000, 100 000 и т. д.
Это свойство показательной функции кратко выражают
в такой условной записи: у ->• оо при х -> со, где знак
-> о о — символ неограниченного возрастании переменной;
фраза хх стремится к бесконечности» означает неограниченное
возрастание переменной х.
7) . При отрицательных и больших по абсолютной величине
значениях аргумента функция ах (а > 1) может принимать
сколь угодно малые значения, например при х —— 8
10″® = 0 ,00000001.
Это свойство кратко выражают в такой условной записи:
ах—>0 при х -> — оо (а > 1).
§ 138. График показательной функции у

— Cakx
Как было отмечено в § 135, процессы органического
роста изображаются показательной функцией вида
у = Сакх.
Построим график такой функции при частных значениях
параметров:
С = 3; а ==2; & = 0 ,4 .
Тогда у = 3 • 20Лг.
Составим таблицу значений, в которой значения х образуют
арифметическую прогрессию; тогда значения функции у
(вычисленные с точностью до 0 , 1) образуют геометрическую
прогрессию:

264 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 13. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМЫ.

Значения функции вычислены с помощью таблиц. График
изображен на рис. 98. Сравнивая его с графиком функции
у = 2 * (рис. 96), можно сказать, что общий характер’ §беих
кривых одинаков: обе функции — возрастающие на всей числовой
оси и ни при каких значениях х не принимают отрицательных
значений. Но темп
роста функции у = 3 • 20,4jc
отстает от темпа роста функции
у = 2х, что вызвано множителем
k = 0,4 в показателе
степени, меньшим единицы.
С помощью графика у =
= 3 • 20,4х можно решить уравнение,
например:
3 . 2°’4х + 1 х — 1 = 0 .
Для этого достаточно представить
уравнение.в виде
3 • 20,ix — — i х + 1
и построить прямую у — — -4g — x + 1, пересекающую график
у = 3 • 20,4х в точке М; абсцисса точки М дает приближенное
значение корня данного ’ уравнения, которое равно — 1
(рис. 98).
Приме ч а в ие. Функция у — Сакх+ь приводится к виду
у — Аакх, так как Сакх+Ь == Сакх • а ь — Аакх, где А = С • а ь.

§ 139. Понятие логарифма

При составлении таблицы значений функции у = 3 ■ 20,4х
(§ 138) возникла одна трудность: как по данному значению лг,
например при х = 1, вычислить соответствующее значение
1 5 _
функции у = 3 • 20,4’1 == 3 • 2 5 = 3 }/22? Ведь не существует
таблиц для извлечения корня 5-й степени из чисел.
Эту трудность можно преодолеть, если изучить изменение
показателя степени в зависимости от величины самой
степени, но это требует введения нового математического
понятия.
Пусть дано равенство ае = Ь, где а > 0, б > 0 и аф\.

265 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 13. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМЫ.

Оп р е д е л ени е . Логарифмом данного числа Ь по
основанию а называется показатель степени с, в которую
надо возвести данное основание о, чтобы получить число Ь.
Запись loge b = c читается так: логарифм числа Ь по основанию
а равен с. Число, служащее основанием логарифма,
пишется ниже строки.
Равенства в левом и правом столбцах равнозначны: первые
влекут за собой вторые и наоборот.
Из определения логарифма следует, что
где по данным двум числам требуется найти третье число.
Пример 1. Чему равен логарифм числа 27 при основании
9?
log9 27 — х ; 9* = 27;
(ЗУ = З3, 32х = З3, откуда 2х — 3; х = у .
Пример 2. При каком основании логарифм числа 8 .
равен 6 ? Имеем
Пример 3- Найти число, логарифм которого при осно-
Из равенств следует, что
25 = 32,
102 = 100,
3 * = 8 i ,
53= 125,
1 \ ~ 3 о
5 == log2 32
2 = Iogi0 100
4 — log3 81,
3 = logs 125,
2
a’ b, c = \oga b.
a loe* b = b.
Примеры. 1) 2й* 32 = 32; 2) 10,e*“ 100 = 100,
Рассмотрим решение примеров вида
1) ax = b\ 2) x a = b] 3) ac = x,
log* 8 = 6;
x e = 8; x = y i = l/ 23 = Vrl .
6 e
вании 64 равен — -2g-.

266 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 13. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМЫ.

Обозначим искомое число через х, тогда log^x = —
откуда
64 ——3 == X, ИЛИ X = 1 ‘ === —г—1 = -JT1 T : х = 1
ж . 16 .

§ 140. Логарифмическая функция и ее трафик

О п р е д е л е н и е. Функция, обратная показательной функции,
называется логарифмической.
Если у = а * (а > О и аф 1), то
* = loga У.
или, переставляя обозначения аргумента и функции^
У — 1°£«
График логарифмической функции можно получить по
общему правилу из графика показательной функции, если
перегнуть рисунок по биссектрисе первого^и третьего координатных
углов.
На рис. 99 представлены графики показательной функции
у = 2* и обратной ей функции у = log2 х.

§ 141. Свойства логарифмической функции

Каждому свойству показательной функции соответствует
определенное свойство логарифмической функции, что видно
из следующих сопоставлений:
П о к а з а т е л ь н а я Ло г а р ифми ч е с к а я
функци я функция
1. Показательная функция по- 1. Логарифмическая функция
ложительна при любом имеет действительные зна-
зйачении аргумента х . чения лЙшь при положи-
тельйых значениях аргумента
(график расположен
справа от оси ординат).
2. При х = 0 показательная 2. ЛЬгарифм 1 при любом
функция равна 1. оснощши равен 0 .
3. При отрицательных зна- 3. Логарифмы чисел, мень-
чениях аргумента х функ- ших 1, при основании
ция ах < 1 (а > 1), при- а >* 1 отрицательны, причем
ах -> 0 при х -> — оо. чем loga х*->—оо при х — » 0 .
4. Показательная функция 4. Логарифмическая функция
возрастает и ах —> оо при возрастает1, причем loga х—>
х -> оо (д > 1). —> со при х->со (а > 1).

§ 142. Практическое значение логарифмов

Заметим, что в первой и третьей строках таблицы даны
логарифмы по основанию 2 чисел второй и четвертой строк.
Так, например, 11 = log2 2048.

267 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 13. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМЫ.

С помощью этой таблицы мощо быстро производить
умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня
над числами, помещенными в строке с наДЙйСью «2П», например:
1) Умножение 2048 на 256 можно заменить сложением
соответствующих показателей (11 + 8 = 19) и отысканием
соответствующего этому показателю числа, получим
2048 • 256 = 524 288.
2) Деление 1 048 576 на 32 768 заменяется вычитанием
показателей (20 — 15 = 5) и отысканием соответствующего
этой разности числа (32), т. е.
1 048 5 7 6 : 32 768 = 32.
3) Возведение в степень 1283 может — быть выполнено
умножением соответствующего основанию показателя (7) на 3:
7 — 3 = 21;
показателю 21 соответствует число 2 097 152:
. » 1283 = 2097 152.
4) Извлечение корня, например У 1048 576, сводится
к делению показателя степени (20) на показатель корня (2):
У 1 048 576 = 1 024.
Во всех четырех случаях громоздкие действия над самими
числами мы заменили более простыми действиями над их
логарифмами

§ 143. Общие свойства логарифмов

1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов
сомножителей.
Для доказательства рассмотрим случай, когда число со- —
множителей равно двум.
Пусть
logaN = x,
тогда —
N = а х, = а х>

268 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 13. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМЫ.

Перемножая последние два равенства, получим
W .j/ ,= S «*+•*■.
откуда по определению логарифма следует, что
loga (NN1) = x-+-xv
или
loga (NNi) = loga N + loge Nv
2. Логарифм частного (дроби) равен разности ло~
га риф мое делимого и делителя.
Пользуясь предыдущими обозначениями, имеем
3. Логарифм степени равен логарифму основания*
умноженному на показатель степени.
Действительно, если ax — N, то (ах)т =cNm, откуда
loga (Nm) = тх\
так как x — logaN, то
4. Логарифм корни равен логарифму подкоренного
числа, деленному на показатель корня.
N = ax; N1 = ax«.
Разделив первое равенство на второе, получим
откуда
или
log„ (-^ -) = Ioga N — loga Nv
loge (Nm) = m loga N.
Имеем
pr— — — p r £.
у N = N p = ( a x)P, YN ==aP
откуда

269 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 13. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМЫ.

§ 144. Логарифмирование произведениям частного

На основании ^четырех свойств, установленных в предыдущем
параграфе, можно выразить логарифм любого одночленного
выражения через логари^ы составляющих его чисел,
например, пусть V .
Х вР ~ —g .
е у ж —
Имеем
log л *) = log(a63) — lo g ( c V ^ )= s
■= log a + log (63) — (log с — j- log —
2
= log a — f — 3 log b -7- log с — j log d.
Пример.
з
(a — b)3Y 7
У — T — ■»
V (a + b)2 d3
lQgy = 3 log (a — ^ )-f-i-lo g c — -i-i2 lo g ta + *) + 31ogrf].

§ 145. Потенцирование

Если по логарифму некоторого выражения отыскивается
само выражение, то говорят, что надо произвести потенцирование,
^т. е. действие, обратное логарифмированию.
Пример 1. Дано: lo g je= lo g aH -2 1 o g 6—loge. Найти х .
i х= = ± л .
Пример 2.
log x = — j-log a — y logb + 2 log (a -+*£*)] + log c;
] x ~ c f £S^ L ‘
При потенцирований руководствуемся следующими соображениями:
сумма логарифмов есть логарифм произведения,
например:
. log ш -}- log п == log (/и • w);
*) Здесь основание логарифма —произвольное положительное
число, не равное единице; для краткости мы его не пишем.

270 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 13. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМЫ.

логарифмом указывает на то, что был взят логарифм степени,
например; 3 1 o g a = I o g a 3
■i (log а + log*) = lo g flib .
Правильность произведенного потенцирования всегда можно
проверить логарифмированием.

§ 14€Г. Система десятичных логарифмов

Логарифмы чисел, вычисленные при одном и том же
основании, образуют систему логарифмов. В частности,
если за основание принять число 10, то система логарифмов
называется десятичной. Десятичные логарифмы обозначаются
символом «lg» без указания основания 10, т. е. вместо log10 А
пишут просто lg А.
Десятичные логарифмы обладают рядом свойств, делающих
их чрезвычайно удобнйми при вычислениях. Отметим
эти свойства.
С в о й с т в о I. Десятичный логарифм целого числа,
изображенного единицей с последующими нулями, равен
стольким единицам, сколько нулей в изображении числа.
Это свойство очевидное, так как
101 = 10, отсюда lg 10 = 1;
102 == 100, » IglOO = 2 ;
103 — 1000, » lg 1000 = 3; ‘
10″ = 1 0 0 . . . 0 , » lg 100 . . . 0 = я.
всего л нулей всего я нулей
С в о й с т в о II. Логарифм правильной десятичной
дроби, изображенной единицей с предшествующими
пулями, равен стольким отрицательным единицам,
сколько нулей предшествует единице, считая и нуль
целых.
10-1 = 0 , 1, отсюда следует, что lg 0,1 = — 1;
1 0 — 2 = 0 , 0 1 , » > > IgO .Q l — — 2 ;
10“* = 0,001, / > » » lg 0,001 = 3;
10^ = 0,00 . . . 01 , »
всего л нулей
» lg 0,00 . . . 01 = —п.
всего л нулей

271

Десятичные логарифмы рациональных чисел, не являю
щихёя числами вида 10я и 10~я (« — целее число), не могут
быть выражены точно ни целым, ни дробным числом; они
представляют собой иррациональные числа.
Покажем, например, что lg 2 не может быть равен дробному
числу Д-, где р и q — целые положительные числа.
Если допустим, что lg 2 = -^ , то должно иметь место
р_
равенство 1 0 « = 2 или 10р = 2?. Это равенство невозможно,
так как левая часть его 10р есть число, изображенное единицей
с «р» нулями, и состоит из множителей 2 и 5, повторенных
«р» раз [10р *ss (2 • 5)р = 2Р’ 5Р]; правая часть 2?
такого разложения дать не может; следовательно, допущение,
что lg 2 выражается точно дробным числом, неверно.
Однако можно вычислить приближенно lg2, а также
логарифм всякого другого числа е любой степенью точности,
т. е. с любым числбм десятичных знаков. Пример такого
вычисления будет дан в следующем параграфе. Здесь же мы
дадим способ производить грубую его оценку, т. е. способ
находить, между какими целыми числами он содержится.
Йусть требуется найти lg 275,6; напишем очевидное неравенство
100 < 275,6 < 1000;
тогда
lg 100 < lg 275,6 < lg 1000,
или 2 < lg 275,6 < 3, откуда
lg 275,6 = 2 — f -положительная правильная дробь.
Определение. Целая часть логарифма называется характеристикой,
дробная часть — мантиссой. В четырехзначных
таблица? Брадиса находим: lg 275,6 = 2,4402; здесь
характеристика равна 2, мантисса равна „0,4402.
Св о й с т в о Ш. Характеристика логарифма числа,
большего или равного 1, содержит столько единиц,
сколько цифр в целой части числа без одной.
Сначала убедимся в правильности высказанного положения
на отдельных примерах, а потом рассмотрим общий
случай.
а) Число 32,185 имеет в целой части две цифры и заключается
между 101 и 102 :10* < 32,185 < 102, но большему
18 Р. А. Калнин

272

числу соответствует больший логарифм;
lg 10 < lg 32,185 < lg 102,
или 1 < lg 32,185 < 2, откуда
lg 32,185 = 1 — f — правильная дробь.
Характеристика равна 1, т. е. на единицу меньше числа
цифр в цедой части. . — ‘
б) lg 5147,3 = 3 — } — правильная дробь, ибо.
1000 < 5147,3 < 10000, .
или ДО3 <5 1 4 7 , 3 < 1.0*, откуда
3 < lg 5147,3 < 4 .
в) Пусть число А имеет в целой частя я цифр, тогда
имеем неравенство
10″ — 1 < Л < 10”.
откуда п — 1 < lg А < я, следовательно
>lg А — п — 1 -f- правильная дробь.
:ха(м№. мантисса ХврИ-
стика V- ■ ■
Св о й с т в о IV. Характеристика логарифма п р а вильной
десятичной дроби содержит столько отрицательных
единиц, сколько нулей предшествует первой
значащей цифре, считая в том числе и нуль целых;
мантисса при этом.положительна.
Пример 1. Дробь 0,0475 заключается между 0,01
и 0 , 1, т. е.
. 0,01 < 0.0475 < 0.1;
lg 0,01 < l g 0,0475 < l g 0,1;
— 2 < lg‘0,0475 < — 1.
Следовательно, lg 0,0475 = — 2 -f- правильная положительная
дробь. Характеристика в данном случае равна — 2. Первой
значащей цифре (4) предшествуют два нуля.
Пример 2. lg 0,00054 = — 4 -ф-положительная правильная
дробь, так как
0,0001 < 0 ,0 0 0 5 4 < 0 ,0 0 1,

273

откуда
lg 0,0001 < Ig 0,00054 < I g 0,001;
— 4 < lg 0,00054 < — 3.
Пусть имеем правильную десятичную дробь а, первой значащей
цифре которой предшествуют я нулей (считая и нуль
целых)» Такую дробь в общем виде можно изобразить так:
п нулей
а = 0,000 . . . 0 b tb2 . . . *
где Ьх есть первая значащая цифра.
‘Имеем неравенство
я нулей (л-1) нулей
0,000 . . . 01 < а < 0,000 . . . 01.
Поэтому
л нулей ; ~ <я-1) нулей
lg 0,000 . . . 01 < l g a < 0,000 . . 7 6 l ;
— « < l g a < — ( я— 1).
Логарифм данной дроби оказался заключенным между двумя
целыми отрицательными числами: — я и — (я — 1), разность
между которыми равна 1, следовательно, он (логарифм) равен
меньшему числу+положительная правильная дробь:
lg a == — я + правильная положительная дробь.
Итак, характеристика lg^a равна — я.
Условились алгебраическую сумму целого отрицательного
числа и положительной правильной дроби сокращенно записывать
так:
— 3 + 0,4317 = 3,4317;
— 5 + 0,8205 = 5,8205.
Знак «—* сверху указывает на то, что отрицательна лишь
целая часть, мантисса же положительна (читается: пять под
минусом). В такой форме принято записывать логарифмы
чисел, меньших 1; эта форма логарифма называется искусственной.

274

Всякий отрицательный логарифм можно привести к искусственной
форме, например: . . . . , .
а) — 2,1543 = —2 —^ 0,1543 = (— 2—■ 1) -f- (1 —0,1543) =
= — 3 4 . 0,8457 = 3.8457;
б) _ 1,0647 = (— 1 — 1 ) + ( 1 —0,0647) = —2 + 0.9353 =
= 2,9353;
В) — 4.2564 = 5,7436.
П о а в и л о. Чтобы преобразовать отрицательный логарифм
в и< куСственную форму, поступают так: к характеристике
прибайляют отрицательную единицу и ставят над результатом
знак (—) сверху, все цифры мантиссы вычитают из 9, последнюю
цифру — из 10.
С в о й с т в о V. При умножении или делении числа
на 10, 100, 1000 и т. д. мантисса его логарифма
остается без изменения, а характеристика увеличивается
или уменьшается соответственно на одну, две,
три и т. д. единиц.
Заметим, что числа 10, 100, 1000, . . . суть целые положительные
степени 10, т, е. числа вида 10″.
а) Имеем: lg-(^4 • 10″) = lg Л + lg 10″ = lg Л -j-re.
В результате умножения числа А на 10″ логарифм увеличился
на п единиц, следовательно, дробная часть — мантисса-—
осталась без изменения.
б) lg = lg А — lg 10″ = lg А — п;
логарифм уменьшился на п единиц, следовательно, мантисса
остается прежней. Например:
lg 38,1 = 1,5809;
lg 381 = 2 ,6 8 0 9 ;
lg 3810 = 3,5809;
lg 38 100 = 4,5809;
lg 3,81 = 0 ,5 8 0 9 ;
lg 0,381 = 1 ,5 8 0 9 ;
lg 0 ,0 0 0 3 8 1= 4 ,5 8 0 9 .
Сл е д с т вия . 1) Характеристика 1логарифма зависит
только от положения запятой в данном числе,
но не зависит от Цифр, изображающих это число.
Логарифмы таких чисел, как 278; 598,5; 110,7; 705,48;
142,845, имеют, одну и ту же характеристику, равную 2.

275

2) Мантисса не зависит от положения запятой,
а зависит только от значащих цифр и их взаимного
расположения. Мантиссы логарифмов таких чисел, как
23,4; 2,34; 0,234; 2340 и т. п., будут одни и те же.

§ 147. Вычисление логарифма

В § 146 было доказано, что lg 2 есть число иррациональное.
Покажем способ, позволяющий вычислить приближенное
значение lg 2 с изданной степенью точности, например
с точностью до 0 ,001.
Идея этого способа заключается в следующем: находят
две вдлые положительные степени числа 10, показатели которых
разнятся на ,1; между ними должна заключаться степень
числа 2 с достаточно ббльшим показателем. Другими словами,
надо решить неравенство вида
10т < 2″ < Ю’п И, ( 1)
где т н р — искомые целые положительные числи.
Если р 1000, то поставленная нами точность будет
достигнута. В самом деле, логарифмируя неравенство (1),
получим
т < p i g 2 < /и-f- 1, или у < lg 2 <
Две дроби -у и — — , между которыми заключается lg 2,
разнятся между собой на величину у . При р 1000 поставленная
точность будет достигнута.
Переходим к вычислениям, для чего пользуемся таблицей
квадратов как вспомогательным средством. Имеем:
25 = 32;
2“ = 322 = 1 0 2 4 = 1,024 • 103;
220 = ( 1 ,0 2 4 • 103)2 1,04 • 106;
240 « (1,04 • 106)2 « 1,08 • Ю«;
280 « ( 1 , 0 8 — 1012)2 1,16. Ю24;
2160 ~ ( 1,16 • 1024)2 ^ 1.34 . 1048;;
2320 г» (1,34 . Ю48^ « 1,79 • Ю*;
2«о » ( Ь 7 9 . 1096)2 ~ з ,20 • 10192;

276

Так как 1,02 • 10385 > юзвб, fl0 1,02 • 10385 < ю » , т0
имеем неравенство
Ю385 < 2 1280 < Ю386.
Логарифмируя это неравенство, получим
385 < 12801g2< 386;
1280 ® ^ 1280 ’
0,3001 < lg 2 < 0 ,3 0 1 7 ,
или
0,300 < lg 2 < 0,302.
Взяв полусумму верхней и нижней границ, имеем
lg 2 « 0 , 3 0 1 .
Более точные вычисления дают
lg 2 = 0,3010299956 . . .
Первые три десятичных знака были вычислены нами со*
вершенно точно.. Существуют другие, более удобные способы
вычисления логарифмов, но они требуют, знания высшей
математики.

§ 148. Действия над логарифмами

Прежде чем приступить к вычислениям е помощью логарифмов,
надо научиться производить четыре арифметических
действия над логарифмами, ибо к этому в основном сводится
техника логарифмирования. Рассмотрим каждое действие
в отдельности.
1. Сложение.
Пример’ 1. Пример 2.
2,1742 3,4832
1,5736 1,6758
3,1590
Сложение производится по правилам сложения десятичных
дробей с той разницей, что характеристики складываются
алгебраически, и к результату прибавляются целые единицу,
полученные от сложения десятых долей мантисс.

277

2. Вычитание. Рассмотрим несколько случаев.
Пример 1.
2,4845
3,1796
. 1,3049 •
Из мантиссы уменьшаёмого (0,4845) вычитаем мантиссу вычитаемого
(0,1796), получаем в результате 0,3049, затем из
характеристики уменьшаемого (2) вычитаем характеристику
вычитаемого (3), получим — 1; оба результата вычитания
объединяем в запись 1,3049,
Пример 2 .
_ 1,3516
2,6432
2,7084
При вычитании мантисс пришлось занять единицу из характеристики
уменьшаемого, т. е. из 1,3516 вычесть 0,6432, что
дает 0-.7О84; вычитая характеристики, получим 0—(—2)—2.
Пример 3.
_ 3,2534
5,6718
1,5816
Характеристику уменьшаемого (—3) представляем мысленно
как сумму (— 4 — f — l ) r положительную единицу присоединяем
к мантиссе и из 1,2534 вычитаем мантиссу вычитаемого 0,6718,
что дает 0,5816. Затем вычитаем характеристики: — 4 —
— (—5 ) = 1 ; окончательный результат 1,5816.
3. Умножение. При умножении логарифма с отрицательной
характеристикой на натуральное число в отдельности
умножается мантисса и характеристика:
2,1853 • 4 = (— 2*4-0,1853) • 4 — — 8 Ц- 0,7412 = 8,7412.
Обычно такое умножение производится без предварительного
представления логарифма в виде алгебраической суммы, например:
Т.8916- 5 = 1,4580.
После умножения десятых долей мантиссы на 5 получилось
4 целые положительные единицы, которые легко прибавить

278

в уме к 5 отрицательным единицам, полученным от умножения
(—*1) на 5: — 5 + 4 = — 1; окончательный результат
Г,4580.
Если логарифм с отрицательной характеристикой, но
с положительной мантиссой умножается на положительную
десяти4rfyib дробь, то удобно перевести логарифм из искусственной
формы в естественную, произвести умножение двух
десятичных Дробей и результат перевести в искусственную,
форму.
Пример 1.
1,1526 • 0,28 = (— 1 + 0,1526) • 0,23 = — 0,8474 • 0,23 =
= — 0,1949 = 1 ,8 0 5 1 .
Пример 2.
3,6418 • (—0,47) = —2,3582 • 0—0;47) = 1,1084.
* 4. Деление, Если нужно разделить логарифм с отрицательной
характеристикой на натуральное число, то здесь
надо различать два случая: а) когда характеристика делится
нацело, б) когда характеристика не делится нацело.
Пример 1. 2 , 1 8 5 6 : 2 = 1,0928.
Здесь сразу отдельно были разделены на 2 и характеристика
и мантисса.
Пример 2 .
2,4365 : 5 = (—2 — f р,4365) : 5 = (—5 + 3,4365) : 5 =
= — 1 + 0,6873 = 1,6873.
К характеристике прибавляем столько отрицательных единиц
(—3), чтобы поучить ближайшее целое число, делящееся
нацело на делитель’, к мантиссе одновременно прибавляем
столько же положительных единиц и делим в отдельности
полученные целую и дробную части.
Пример 3. 5 , 4 7 2 4 : 4 = 2,8681.
К характеристике было прибавлено —3, к мантиссе + 3 ,
деление легко произвести в уме.
Пример 4.
£1832 : 0,658 = —2.8168 : 0,658 = —4,2809 = 5 ,7 1 91 .
Пример 5.
Г.6405 : (— 1,3) = —0,3595 : (— 1,3) = 0,3595 : 1.3 = 0,2765.

279

§ 149. Дополнительный логарифм

Два числа ЛГ и как известно, называются взаимно
обратными’; произведениеих равно I.
Опред е л ение . Дополнительным логарифмом
числа N называется логарифм числа
доп. lgN = \gjf.
Так как
1 g—37 = — few.
то
flon.-lgA7 = — IgA/’.
Дополнительный логарифм числа N есть логарифм
этого ж е числа, взятый с противоположным знаком;
например:
а) доп. lg 17,18 = — lg 17.18 = — 1,2350 = 2,7650;
б), доп. lg 0,0085 = — lg 0,0085 = —3,9294 =
= — (—3 + 1 — 1 + 0,9294) = — (—2 — 0,0706) = 2,0706.
Допустим, что lg iV = с + /м, где с — характеристика, т —
мантисса, тогда у
доп. lgA7 = — lg Л7 = — с — /и== — с — 1 — т-\- 1 =
= — ( * + ! ) + ( ! — * » )•
Чтобы по логарифму числа N найти его дополнительный
логарифм, надо к характеристике прибавить единицу
и результат взять с противоположным знаком,
мантиссу же вычесть из 1.
Примеры .
1) — lg 0,0672 = доп. Ig0,0672 = —2″,8274 = 1,1726;
2) — lg 13,8 = — 1.1399 = 2.8601;
3) — -|lg0,8 2 5 = Т.9165 = — — i — =
= —1 ,9 4 4 3 = 0 ,0 5 5 7 .

280

§ 150. Таблиц» логарифме»

Таблицы Брадиса дают приближенные значения мантисс
логарифмов всех целых чйеел от 1 до 9999 с четырьмя точными
десятичными знаками! характеристика логарифма проставляется
на основании указанных свойств десятичных логарифмов.
Так как мантисса логарифма не зависит от положения
запятой в изображении числа, а зависит только от последовательности
значащих цифр в данном числе, то этими же
таблицами можно пользоваться для отыскания мантисс дробных
чисел. Ниже дается отрывок из таблицы.
N 0 1 2
3 | 4
5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7
\
8 9
65 8129 8136 8142 8149)8156 8162 8169 8176 8182 8189 1 1 2 а 3 4 5 5 6
66 8195 8202 8209 821518222 8236 8241 8248 №254 1 1 2 а 3 4 5: 3 6
6? 8261 826? 8274 3298 №99 8306 т а 8319 1 1 2 3 ,3 4 5 5 6
68 8325 8331 8338 8344 8351 8357 8363 8370 8376 8382 1 1 2 3 ‘з 4 4 5 6
69 8388 8395 8401 8407 84М 8420 8426 8432 8439 8445 1 1 2 2 3 4 4 5 6
70 8451 8457 8463 8470 8476 8482 8488 8494 8500 8506 1 1 2 2 3 4 4 5 6
71 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567 1 1 2 2 3 4 4 5 5
72 8573 8579 8585 85918597 8603 8609 8615 8621 8627 1 1 2 2 3 4 4 5 5
73 8633 8639№45 865118657 8663 8669 8675 8681 №86 : 1 1 2 2 ‘ 3 4. 4 5 5
74 8692 8698 8704 87108716 8722 8727 8733 8739 8745 1 1 2 2 3 4 4 5 5
Предположим, что надо найти lg65,4. Первые две цифры
числа—• 65 — берем из первого слева столбца, помеченного
сверху надписью «/V» (нумерус — число), и продвигаемся от
числа 65 по горизонтальной строке до пересечения с вертикальным
столбцом, помеченным сверху (или снизу) третьей
значащей цифрой числа, т. е. цифрой 4. В пересечении получим
мантиесу 8156, что . означает десятитысячные доли,
т. е. 0.8156, следовательно, lg 6 5 ,4 = 1,8156. Мантиссы логарифмов
двузначных чисел или трехзначных чисел, оканчивающихся
нулями, берутся из столбца, помеченного сверху
цифрой нуль; например, мантисса логарифма числа 68 или
числа 680 равна 0,8325.
Чтобы найти логарифм четырехзначного числа, например
lg 6754, проставляем прежде всего характеристику, т. е. пишем:
lg 6754 = 3, . . . ; неизвестные цифры мантиссы находим
следующим образом: находим сначала, как было объяснено
выше, мантиссу логарифма трехзначного числа 675, т. е.
числа, изображенного первыми тремя цифрами данного числа;
получаем 0,8293; от этой мантиссы продвигаемся вправо

281

по горизонтальной строке, пересекая двойную вертикальную
черту, пока не окажемся на пересечении-с тем из напечатанных
в правой части таблицы столбцов, который помечен
сверху цифрой 4; в пересечении находим число 3 (3 десятитысячных);
это — поправка на четвертую значащую цифру 4,
ее легко прибавить в уме к уже найденной мантиссе 0,8293;
получим окончательно: lg 6754 = 3,8296.

§ 151, Таблицы антилогарифмов

Число, соответствующее данному логарифму, называется
антилогарифмом. Для нахождения числа по данному его
логарифму пользуются таблицами антилогарифмов. Устройство
и способ употребления их ничем не отличаются от только что
описанной таблицы логарифмов. Если lg x= = 1,5245, то X
(антилогарифм) находим следующим образом: не обращая
пока внимания на характеристику, берем первые две цифры
мантиссы, т. е. 52, из первого слева столбца, помеченного
буквой т (мантисса), и продвигаемся по этоК горизонтали
до пересечения со столбцом, помеченным сверху третьей цифрой
мантиссы 4; на пересечении их находим число 3342; на
четвертую цифру мантиссы — 5 — находим поправку 4, помещенную
на пересечении той же горизонтали с тем из крайних
справа столбцов, который помечен сверху цифрой 5;
поправку прибавляем к найденному числу 3342, получим
х = 0,3346. Первой значащей цифре предшествует один нуль,
так как характеристика равна 1.
§ 152. Примеры на вычисления с применением
логарифмов
lg лг = 1 [lg 783 i — lg 41,3 — (2 lg 0,815 + lg 5 2 ,6 )],
§ 151, Таблицы антилогарифмов
Пример Т. X 783 У ‘Ш
6,815*-52.6 ‘
или

282

Пр е д в а р и т е л ь ные Ок он ч а т е л ь ные
вычис л ения вычис л ения
j 1 g 41,3 = = 0,8080; lg 783 = 2,8938
доп. lg 0,815 = — (1,9112) = j i g 41,3 = 0,8080
= 0,0888; 2 доп. lg 0,815 = 0,1776
доп. lg 52,6 = — (1,7210) = доп. lg 52,6 = 2,2790
= 2,2790; 2,1584
lg jc = = 0,7195;
* = 5 , 2 4 2 ;
x 5,24.
Пример 2.
у = у 0,178 ■ 1^0,4963 -f- 4 ,Ш / С (Ш 1 1 .
Вычислим каждое подкоренное слагаемое в отдельности:
1) N = 0,1781^0,4963;
1^ N = lg 0,178 — f j lg 0,4963;
lg 0,178 = Г.2504
i lg 0,4963 = = Г.8986
lg N — 1,1490
N = 0,1409;
2) M — 4,727 — V 0,00283;
lg M = lg 4,727 + lg 0,00283;
j lg 0,00283 = = 2,7259
lg 4,727 = £ ,6 7 4 5
lg 4 1% l,4 0 0 4
Ж = 0,2514;
3) 0,1409
0,2514
0,3 9 2 3 5

283

§ 153. Модуль перехода от одной системы
логарифмов к другой

Поставим такой вопрос: как найти логарифм положительного
числа N по основании) b ф > 0 и b Ф 1), если известен
логарифм числа N при основании а, (а > 0, а Ф 1)?

284

Чтобы ответить на поставленный вопрос, надо уметь находить
тот переводный множит ел ь , с помощью которого
осуществляется переход к новой системе логарифмов.
Пусть logaN — m (т — известное число). Требуется найти
1 og6iV ==JC (л; неизвестно).
Тогда
ат == N, b* ==N,
откуда
. .
Логарифмируем обе часта этого равенства по основанию at
т loge <**=■* loga ft,
или
т = х Ioga ft,
1
х ^ м ‘ -lкo+geт*»
Заменяя л; и т их значениями, получим
log6N = logaW
Множитель называется модулем перехода от системы
логарифмов с основанием а к системе с основанием Ь.
Примеры . I)lo g 5 2 = lg 2 . j p = 0 ,3 0 1 0 .^ ^ g « 0 ,4 4 4 .
2) log, 7 = lg 7 • — ■ — 0,8451 • 3,322 « 2,807.
3) logvz N = loge N • — = 2ЮgaN.
Пусть а и ft — два положительных числа, отличных от lj
тогда имеет место тождество
logaft • lo g „ a = 1,
так как из равенства а’°еа ь = Ь путем логарифмирования
его по основанию ft находим
loge ft • log6 а = logft ft = 1
Примечание. Помимо десятичных логарифмов в математике
и ее различных приложениях широко применяются
натуральные логарифмы, основанием которых служит йрра

285

§ 154. Показательные уравнения

Рассмотрим уравнения, содержащие неизвестное в показателе
степени. Такие уравнения принято обычно называть
показательными, например:
У з * = — ^ =1 г 1 1 У27
б**1- !- 5 х = 7 5 0 ; 9Л+1 Зх+3 = 486.
Существуют два основных способа решения показательных
уравнений.
1. Сноеоб приведения к общему основанию. Если обе
части уравнения можно, яредстаарь’ как степени с одним и
тем же основанием о, где а —.положительное число, не равное
1, то из равенства степеней и оснований следует, что
должны быть равны показатели степени. Приравняв показатели
степени, получаем обычно уже известный нам тип уравнения.
Пример 1. У~ЪХ 1
Имеем
У 2 7 ’
X
3^:
з К з
1 — 3®.
3
: 3 *~ ^,
откуда
X
Т
3 .
2 х = — 3.
П р о в е р к а.У з Л==з 2_1 _ _V
-I /27
..V 3*
Пример 2.
Так как 5jr+1 = 5Jr-5, то можно вынести в левой части
общий множитель б* за скобку, получим
5х • (5 -1- 1) — 750; 5х • 6 = 750; 5х = 1 2 5 ,
или

286

Пр о в е р к а.
53+1 5з — 625 + 125 = 750;
750 = 750.
Пример 3. 9 *(дг+1) в-нгУз.
Представим обе части уравнения как степени числа 3:
9 т И + — 1>-|] = З т .
^ з Т . .
откуда
3* ,c — i„) — ti = зТI>
1 1 * jf ( х — 1) — -2 = т ;
х 2 ■— х —- -4j- = 0 .
Решая это квадратное уравнение, находим
_ 1 . _ 3 Xj — 2 * — 2 *
Подстановкой в первоначальное уравнение убеждаемся, что
оба корня пригодны.
2. Способ логарифмирования обеих частей уравнения.
Пример 4. 2 , 3 * = 1,5*+1.
Здесь представляется более удобным логарифмировать обе
части уравнения, после чего получим
х lg 2,3 = ( х + 1) lgr 1.5;
x l g 2 , 3 — x l g l ,5 = lg 1.5;
x (lg 2,3 — lg 1,5) = lg 1,5;
* lg 2.3 — lg 1.5 ~ I W и,У0*
В некоторых случаях при решении показательного уравнения
удобно вводить вспомогательное неизвестное.
Пример 5. 4х» 1 — 2 *+3- f 2 8 = 0.
Имеем
(22)*-1 — 2 *+3+ 28 = О,
или
г2* . <Г2 — 2х • 23 — f 28 = 0;

287

пусть 2* = 2; тогда 2^ = z2; уравнение принимает вид
— 8z — f — 28 = 0 или г2—• Ъ2г -}-1 1 2 = 0.
Решая это квадратное уравнение, получаем
zt = 4; z2 = 28,
откуда ‘…….
2х = 4; х 1 = 2;
2х = 28’, х lg 2 = lg- 28;
х2 = ^ — ~ 4 , 8 Ъ .
Оба корня удовлетворяют данному уравнению.

§ 155. Логарифмические уравнения

Если уравнение содержит неизвестное под знаком логарифма,
то принято называть его логарифмическим, например:
|g* + lg ( * + 3) = l ;
Обычный прием решения логарифмических уравнений—это потенцирование,
в результате чего получаем обычно алгебраическое
уравнение. Полученные корни нуждаются в проверке,
поскольку среди них могут оказаться посторонние.
Пр-имер 1. lg лг- f — lg (д: + 3) = 1.
Так как 1 = lg 10 и сумма логарифмов есть логарифм
произведения, то данное уравнение принимает вид
lg [•*(* + 3 ) 1 = lg 10.
Если логарифмы двух чисел равны, то должны быть равны
сами числа, т. е. лг (лс —(— 3) = 10.
Решая это квадратное уравнение, находим
х х = — 5; х2 = 2.
Отрицательный корень х = — 5 должен быть отброшен, так
как подстановка его в уравнение приводит к логарифму от,
отрицательного числа, а функция lg х определена только
при положительных значениях аргумента х.
Пример 2 . ^ jc i*7 rT= 100.
Логарифмируем обе части:
y O g * — l ) l g * = 2.

288

Раскрывая скобки, получаем- квадратное уравнение относительно
lg х:
lg2* — lg Jf — 6 = 0 ,
откуда . ____
I g * = y ± j + 6;
lg jf i = — 2; lg jc2 = 3;
Xl= 10~2 = 0 ,01; jc2= 103= 1000.
Проверкой убеждаемся в том, что оба корня удовлетворяют
исходному уравнению.

§ 156. Решение более сложного неалгебраического
уравнения

Уравнение
2х— дс—-2 = 0
не может быть решено ни одним из приведенных выше
способов. Однако графическим способом нетрудно найти
приближенные значения корней. Представим уравнение в
форме 2* = .х-| -2 и построим графики функций, представляющих
левую и правую части уравнения (рис. 106):
у1 = 2ж, y2 = * — j — 2.
По чертежу прочитываем абсциссы двух точек пересечения:
д ? !» — 1,7; лг2 = 2 (точный корень). ‘

289

Упражнения

1. Написать следующие показательные равенства в виде логарифмических:
1)З6 = 729; 2)4® = 1024; 3) НИ = 10000; 4)
5> ( t ) W w : « 1» “ 3- 0.<»1-
2. Написать следующие логарифмические равенства в виде
показательных: 1) log2W = 6; 2) tog381 = :4 ; 3) log6 1 2 5= 3 ;
4) iogi0 100 000 = 5; 5) log10 0,01 = — 2; — 6) tog 4 щ = — 3;
7) l°ga f f = — 4-
3. Найти при основании 2 логарифмы следующих чисел:
1) 32; 2) — J ; 3) 1 ; 4) У2-, 5 ^ 2 / 1 ; 6) р Ь ; 7) f l ; В ) — ^ — .
. ‘ У~2
4. Чему равны при основании 10 логарифмы следующих чисел:
3 ______ 5_
1) 10; 2) 1000; 3) 0.1; 4) 0,0001; 5) 10й; 6) уТО; 7) j/W ; 8) УТбО;
9) уТ5 ’ 10) 10^ 10 .1 ‘ —
5. На основании определения логарифма найти неизвестное из
следующих равенств: 1) . * = log327; 2) у = log2 16; 3) a, = Iog5625;
4) log8 27; 5) у = logs 0,04; 6) u = log2 0,125; 7) log3 x = 2;
8) togs-v — 0; 9) iogl y = ~ ; 10) log8z = — 2\ 11) log3u = 2;
12) log i N = — 3, T
ё , …
При каком основании:
1) tog3 6 = 2; 2) log27 = I ; 3) tog64 = 4; 4) log2 = — 0.5?
6. Между какими целыми числами заключаются логарифмы
чисел: 7, 30, 120, 495 при основании 2?
7. Между какими целыми числами’ заключаются логарифмы
чисел: 3, 18,134 и 1782 при основании 10?
8. Между какими отрицательными целыми числами заключаются
логарифмы чисел: 1) 0,07; 2) 0,018; 3) 0,00215 и 4) 0,00005 при основании
10?
9. Между какими отрицательными.целыми числами заключаются
логарифмы чисел: I) 2) ^ — и 3) при основании 2?
1′ . » 5; ‘ 1
10. Чему равен логарифм УЪ при основании: 1) 2; 2) »^-;
3) 4; 4) Ш 5) 64? з
11. При каком основании

290

12. Составить такую последовательность чисел, чтобы логарифмы
членов этой последовательности при основании 2 образовали арифметическую
прогрессию
1 , 2 , 3 , . . , , 10.
Какую последовательность образуют эти числа?
13. Показать в общем виде, что если числа образуют #еометри-
‘ ческую прогрессию с положительными членами, то логарифмы этих
чисел образуют арифметическую прогрессию.
14. Построить на одном чертеже графики функций: 1) у = log2 х;
2) у = log2 (■* + 1); 3) y ==log2x — f 1.
У к а з а н и е . Предварительно составить таблицу значений.
15. Выразить логарифм числа 15 через логарифмы чисел 3 и 5.
16. Выразить логарифм числа 2 через логарифмы чисел 7 и 3.
17. Выразить: 1) log 8 через log 2; 2) log 81 через log3.
18.^Выразить: 1) log У~5 через log 5; 2) log 1^2 через log 2;
3) log У 27 через log3.
19. Логарифмы каких простых чисел надо знать, чтобы найти
при том же основании логарифмы чисел:
20. Найти 1) log2 (8 • 128); 2) logs (25 V 125).
21. Зная, 4To logm 2 =0.3010; log10 3 = 0,4771; log|0 5 = 0,6990,
найти: 1) logi040; 2) logl0 l,8; 3) log100,12; 4) log100.02.
22. Прологарифмировать следующие выражения:
<)nh a2hb l ) x — 3ab\ 2) x = ; 3 ) у = аЧН 4) г = ; 5 )х = 3 (а — Ь);
6> у = — ^ г аг _ й& ;’ — 7>’ г в’) х = (^а + а с)2 с’ ™’ 1« ■- аЧ1с3
И) — . — j T f ; 11) , — ; 12> г — | / Ж Ж
— З У ( а + 5 ) 3 Г Ь ЬУШ
-1 f ^ л F b 1 5 аЬУ~аЬ
. . . ( 1 f а* V • in. / 40 V r t f . **-\V »пс) ■ Щх-у
17) у 18) лт = У т / Р ; 19) a
/ а У Т р Т
20> у = |/~ae+ I/ Р ; 21) л: = (У !)^ 5;

291

22) * *= log* f(a + 5)l0* “ te+W].
23. По логарифму неизвестного числа. Найти само Число:
1) logх = log5 — log2 + log3; 2) logx = log7 -f* log5 — log3;
3) log у = 2 log 3 -j- 3 log 5; 4) log г = 3 log 2 — 2 log 3 + log 5;
5) log y — y !°S 3 + j !og 5 — j log 2;
6) log м = i log (a + b) — [log a + 2 log (ft + c)];
7) log * === i log (a2 + *2) — j flog {a + ft) — log (b — a ) ] ;
8) log- 3 log a — (3 log ft -|- 2 log c) .
9) log у = -i- [3 log (a — b) + 2 log (a + b) — 4 log a]\
10) log* = y J ^ l o g e + j ( l o g e + 3 logc)J —
— [log b + 3 log (с ф a) — log (ft + 1)J.
24. Найти: 1) lg 1000; 2) lgO.l; 3) lg 0.0001.
25. _Найти характеристики логарифмов следующих чисел:
7; 125; 5832; 109,54; 0,083; 0.00012.
26. Зная, что lg32 — 1.5051. найти:lg3.2, lg3200. Ig0.32. Ig0.0032.
27. Следующие логарифмы с отрицательной характеристикой
представить в виде отрицательных чисел:
1) 1,1728; 2) 25893; 3) 4,0075; 4) 6,9917.
28. Следующие отрицательные логарифмы Представить в искусственной
форме, т. е. с положительной мантиссой:
1) —0,5618; 2) —1,6247; 3) —2,0019; 4) — 3.99Э4; 5) -0,7328.
29. Найти по таблицам логарифмы следующих целых чисел:
1) 30; 2) 160; 3) 4800; 4) 72000; 5) 252; 6) 493; 7) 109; 8) 649;
9) 1183; 10) 7845; И) 5848; 12) 2007.
Найти логарифмы следующих дробей:
1) 0,007; 2) 0,03; 3) 0,0008; 4) 0,0002; 5) 0,12; 6) 0,019; 7) 0,0031;
8) 0,0078; 9) 3,18; 10) 0,0542; 11) 72,8; 12) 0,632; 13) 30,65; 14) 1,967;
15) 18,12; 16) 0,4343.
30. Зная, что lg 375 — 2,5740, найти без таблиц логарифмы чисел:
т 1) 37,5; 2) 0,375; 3) 3,75; 4) 0,00375; 5) 3750.
31. Округляя данные пятизначные числа до четырех цифр,
найти их логарифмы:
1) 13407; 2) 32,742; 3) 0,058369; 4) 18396; 5) 0,070418.
32. Найти числа, соответствующие логарифмам:
1) 0,8140; 2) 1,6590; 3) 1,6454; 4) 2,7789; 5) 3,1580; 6) 3,1752;
7) 1,003; 8) 3,0463; 9) 2,0032.
33. Найти логарифмы чисел и произвести над ними указанные
действия*
1) Ig0,057 + lg0,09; 2) lg 3,18 + lg 0,25; 3) lg 25,6 — lg 18,2;
4 __
4) lg 0,873 — lg 0,543; 5) Ig (2,17)3; 6) lg (0,3725)*; 7> lg V» 1,271

292

8) 3 lg 0.728; 9) 2. lg 15,8 + 3 lg 0,263; 10) J g V f f i + ig V f f i f f i .
34. Найти дополнительные логарифмы следующих чисел:
1) доп. Ig 18,23; 2) доп. lg 0,0532; 3) доп, lg 318,6;
4) ^ Д°п- lg 0,326; 5) — у lg 13,6.
35. С помощью четырехзначных таблиц логарифмов вычислить:
1) х — 0,7545 • 2,457; 2) * = 144,6 • 0,0256-0,753; 3) л: = 120o^U1Гv )Зl’44;
^ 17,6-2,85 , 5 0.0795-15,4,
‘ 43,6 • 8,95 ‘ Ь’ у ~ 1,182 • 32,7 ’ 7 * ‘ ‘
7 ) * = / б лШ ; 8) У = — Н — : Ъ * = !&№ ■’•
Уо,т
,0> х — ¥ ш : “ > ,
13) л г= У 0 .4 2 /Ш ? § ; 14) у = 0,75*/ 0 7 5 5;
3____ 4_ ___ у 2,5/00125 *
15) х = / 0 2 7 5 — /Ш б ; 16) лг = — —1
Г ‘ 3 .——————«У——-3———— .
3,125—/ (Ш Г _ 1 8 ) х ~ * у 1 — / Щ й ;
1,563 • 0.0036421/ щ шут— я >
22) * = —7.454°з,3з2- ; 23) А — 0,004850,°652; 24) у = 1 + 0.48930*285;
8 3/ 4 ! . .. 0,089
—J— . -лу У —
3Q0T . (43.6)-0’7
25) 26) (0,089)°-41. (3.726) “ *‘3
• — т — ‘*
Y
г
27) г = 7,82 2 (3,47>-°’п
(6,402) ~ 5 ■ (0,081)°’57
36. Решить следующие показательные уравнения:
. х ^ — _ j_ • » 0
1) /~2 = 2*; 2) 2лг_1 = 45; 3) 4_Jf = 1 ; 4) ‘ = — ^ — ;
5) 6) 7 )У ® = / 4 *

296 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 13. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМЫ.

ЕГЭ 2015 Математика.
Библиотека учителя.
Школьная математика.