дома » Алгебра в школе » Полугруппы

Полугруппы

2. Полугруппы.

 Главная страница: ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие.
Сборники Математики Скачать бесплатно
Алгебра в школе.
ЕГЭ 2015 Математика
.
Библиотека учителя.
Школьная математика.

Скачать полностью бесплатно ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие. П.А. Крылов А.А. Туганбаев А.Р. Чехлов в формате PDF.

Ниже можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска справа в колонке помогут Вам быстрее найти нужную информацию на этом сайте.

litres728_90

Пусть G — произвольное множество. Всякое отображение f: G х G G называется бинарной алгебраической
операцией, определенной на множестве G. Вместо f часто пишут •, +, *, о или другой символ. Множество G с
заданной на нем бинарной операцией называется группоидом.
Пусть (G, •) — группоид. Операция • называется коммутативной, если а • b = b • а для любых a,b Е G; ассоциативной,
если (а • b) • c = а • (b • c) для любых a,b,c Е G. Если операция • фиксирована, то элемент а • b часто обозначается
через ab.
Говорят, что в группоиде выполняется левый (правый) закон сокращения, если для любых его элементов равенство
ab = ac (ba = ca) влечет b = c. Группоид с левым и правым сокращением называется группоидом с сокращением.
Непустое подмножество A группоида G называется его подгруппоидом, если из a, b Е A следует, что ab Е A.
Если в группоиде (G, •) существует такой элемент e, что ex = xe = x для любого x Е G, то e называется
нейтральным элементом или единицей группоида. Единицу группоида часто обозначают цифрой 1. Если e£x = x
(xer = x) для любого x Е G, то e£ (er) называется левой (правой) единицей группоида G.
Группоид с ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппа с нейтральным элементом называется
моноидом.
Пусть (G, •) — группоид. Элемент аг Е G (а£ Е G) называется правым обратным (левым обратным) для а Е G,
если а • ar = er (а£ • а = e£), где er — правая (e£ — левая) единица группоида G. Элемент b Е G называется обратным
(симметричным, противоположным) для а Е G, если ab = ba = e; в этом случае а называется обратимым
элементом.
Моноид, все элементы которого обратимы, называется группой.
Число элементов конечной полугруппы называется ее порядком. Число всех попарно неизоморфных полугрупп
данного порядка n с увеличением n растет довольно быстро. Представление об этом росте дает следующая таблица.

Элемент 2 группоида G называется левым (правым) нулем, если za = z (az = z) для любого а Е G, z называется
нулем, если z — и левый, и правый нуль.
Элемент a группоида называется идемпотентом, если a2 = a.
Элемент a полугруппы S называется регулярным (по фон Нейману), если a = axa для некоторого x Е S.
Говорят, что полугруппа S антикоммутативна, если ab = ba (a, b Е S) влечет за собой a = b.
Полугруппу G с нулем 0 называют полугруппой с нулевым умножением, если ab = 0 для всех a, b Е G.
Непустое подмножество A группоида G называется его подгруппоидом, если ab Е A для любых a, b Е A. Если G полугруппа,
то любой ее подгруппоид также является полугруппой, которая называется подполугруппой полугруппы
G.
Подгруппой полугруппы G называют ее подполугруппу, являющуюся группой относительно бинарной операции,
определенной в G.
Если A и B — подмножества группоида G, то их произведением AB называется следующее множество элементов:
AB = { ab | а Е A, b Е B}. Если A = {a} (B = {b}), то иногда пишут aB (Ab) вместо AB.
Если G — группоид, то пересечение любого семейства его подгруппоидов либо пусто, либо является подгруппоидом.
Поэтому для каждого непустого подмножества M С G существует наименьший подгруппоид (M), содержащий M.
Он называется подгруппоидом, порожденным подмножеством M.

20. Полугруппы. 

Порядком элемента а полугруппы G называется порядок (мощность) подполугруппы (а), порожденной элементом
a.
Полугруппа называется моногенной или циклической, если она состоит из положительных степеней одного из своих
элементов (такой элемент является ее порождающим).
Левым (правым) идеалом группоида G называется такое его непустое подмножество A, что GA С A (AG С A).
Двусторонним идеалом или просто идеалом группоида называется его подмножество, являющееся левым и правым
идеалом.
Группоид S называется простым слева (справа), если S является его единственным левым (правым) идеалом.
Группоид S называется простым, если S не содержит (двусторонних) идеалов, отличных от S.
Если A — непустое подмножество в группоиде S, то пересечение всех левых идеалов, содержащих A, является
наименьшим левым идеалом, содержащим A (он называется левым идеалом группоида S, порожденным подмножеством
A).
Отображение f: (A, •) (G, *) группоида A в группоид G называется гомоморфизмом, если f (а • b) = f (а) * f (b)
для любых a, b Е A. Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом. Гомоморфизм (изоморфизм) группоида
в себя называется его эндоморфизмом (автоморфизмом).
Пусть X — непустое множество. Множество F(X) всех отображений X X относительно операции композиции
образует полугруппу, называемую симметрической полугруппой или полной полугруппой преобразований на X.
Множество S(X) биекций X X образует подгруппу в F(X). Группу S(X) называют симметрической группой
или группой биекций на X.

Задачи.

2.1. Условия ассоциативности и коммутативности для группоида независимы.
2.2. Если группоид содержит левую единицу и правую единицу, то они совпадают. Аналогичное утверждение справедливо
и для нулей. Приведите примеры группоидов с единицей (с нулем), имеющих подгруппоиды, не содержащие
единицу (нуля).
2.3. Будет ли * бинарной алгебраической операцией для указанных множеств:
а) N, Z, 2Z, Q, где а * b = \а — b|;
б) N, Z \ {0}, где а * b = ab;
в) N, где а * b = [а, b]; г) N, где а * b = 25;
д) N, где a * b = {множество всех общих кратных чисел a и b};
е) N, Z, 2Z, Q, где а * b = —++Ь?
2.4. Являются ли сложение и умножение матриц бинарными алгебраическими операциями на множествах:
а) {(a I) I a, b Е к}; б ) { ( а I) \a,b,c Е ^
в) { ( 0 1 0 а ) \ а Е к \ { 0 }}; г) { ( 0 b ) \ а, b Е «}?
В случае положительного ответа найдите левые и правые единицы и элементы, обратимые слева или справа относительно
этих единиц (если они существуют).
2.5. Среди приведенных ниже группоидов выделите коммутативные группоиды, группоиды с сокращениями и
полугруппы. Укажите нейтральные элементы и взаимно обратные элементы (если они существуют).
а) (N, *), где а * b = ab;
б) (No, *), (Z, *), (2Z, *), (Q, *), где a * b = \a — b|;
в) (N, *), (Z, *), (2Z, *), (Q, *), где a * b = (a + b)2;
г) (N, *), где a * b = a; д) (Q, *), где a * b = a + b — ab;
е) (Q, *), где a * b = —+-; ж) (Z, *), где a * b = a2 b;

21 Полугруппы. 

з) (Z, —); и) (N, *), где a * b = [a,b];
к) (N, *), где a * b =(a,b); л) (R, *), где a * b = a + b + a2 b2 ;
м) (2м, П), (2M, U); н) (R \ {—1}, *), где a * b = a + b + ab.
2.6. Пусть (G, •) — группоид, c — фиксированный его элемент и cf(x) = c • x. В G справедлив левый закон
сокращения тогда и только тогда, когда отображение cf инъективно.
2.7. Приведите пример группоида, в котором не выполнен закон сокращения.
2.8. Существуют моноиды, в которых каждый элемент обладает обратным элементом и подгруппоиды которых
уже не обладают этим свойством.
2.9. Пусть G — группоид и A, B — его подгруппоиды. Являются ли A П B и A U B подгруппоидами в G?
2.10. Операция А коммутативна, ассоциативна и наделяет множество 2м групповой структурой для любого множества
M, причем операция П дистрибутивна относительно А.
2.11. Множество матриц M 0 (n, R) = < A = (aj) I X) aij =0; i = 1 , . . . , n > образует полугруппу относительно опе- l 1j= 1 )
рации умножения матриц. Является ли M0 (n, R) моноидом?
2.12. Покажите, что (Z, о), где n о m = n + m + nm, является коммутативным моноидом. Что служит в (Z, о)
нейтральным элементом? Найдите в (Z, о) все обратимые элементы.
2.13. На множестве M задана операция по правилу: a * b = b. Является ли (M, *) полугруппой, существует ли в
(M, *) единичный элемент, существует ли для каждого элемента из (M, *) правый обратный элемент?
Полугруппа из упр. 2.13 называется полугруппой правых нулей. Каждый элемент из (M, *) является правым нулем
и левой единицей одновременно. Полугруппа левых нулей (M, о) определяется двойственным образом: a о b = a для
всех a,b Е M. Исследуйте (M, о).
2.14. В моноиде (M, •) фиксируется произвольный элемент x и вводится новая операция * по правилу: a * b = axb.
Покажите, что (M, *) есть полугруппа, являющаяся моноидом тогда и только тогда, когда x — обратимый элемент
в (M, •).
2.15. Пусть f — гомоморфизм группоида G. Если группоид G коммутативен (полугруппа), то группоид f(G)
также коммутативен (полугруппа). Если e — нейтральный элемент группоида G, то f (e) — нейтральный элемент
группоида f(G). Если элемент b — обратный к элементу a, то f(b) — обратный к f(a). Приведите примеры
группоидов с сокращениями, гомоморфные образы которых не обладают этими свойствами.
2.16. Изоморфны ли полугруппы:
а) (Zn, +) и (Zn, •); б) (R, •) и (M(2,R),
в) (Z, +) и (R, +); г) (N, +) и (2N, +);
д) (R, +) и (R, •); е) (R \{0}, •) и (R+, •)
ж) (R, +) и (R \{0}, •); з) (R, +) и (R+,
и)

( 2
)U
( 2
и
2.17. Полугруппа с сокращениями (G, •) коммутативна тогда и только тогда, когда отображение ^(x) = x2 есть
ее эндоморфизм. Это утверждение неверно, если полугруппа не обладает свойствами сокращения.
2.18. Если Q(<i) (Q(>i)) — множество всех положительных рациональных чисел, меньших 1 (больших 1), то
(Q(<1 ), •) и (Q(>i), •) изоморфны.
2.19. Пусть R + и R _ — соответственно, множества всех положительных и отрицательных вещественных чисел.
Полугруппы (R + , +) и (R _, +) изоморфны.
2.20. Пусть G — полугруппа, A и B — ее подполугруппы и A о B = (A,B) — подполугруппа, порожденная
подмножеством A U B. Множество подполугрупп из G является полугруппой относительно введенной операции о,
в которой каждый элемент оказывается идемпотентом. Рассмотрите дуальный вариант с операцией A * B = A П B.
2.21. Подмножество T полугруппы S является подгруппой тогда и только тогда, когда aT = Ta = T для любого
a Е T.
2.22. Пусть M = | (^ 1 1 ) |x Е Rj>. Относительно матричного умножения M есть группа, изоморфная R.
2.23. Пусть A и B — полугруппы. На A х B определена операция (a,b)(a’,b’) = (aa’, bb’). Покажите, что A х B —
полугруппа с единицей тогда и только тогда, когда A и B — полугруппы с единицами. Постройте гомоморфизмы
полугруппы A х B в A и в B. Если полугруппа B содержит единицу, то существует гомоморфное вложение
полугруппы A в A х B. Какие свойства A и B наследуются полугруппой A х B?

22 Полугруппы. 

2.24. Какие из следующих отображений будут гомоморфизмами? В случае положительного ответа найдите их ядра.
а) ф: (Rn, +) — (R, +), ^(xb … ,xn) = xi + xn;
б) ф: (R, +) —— (Z, +), ф^) = [x] — целая часть числа x;
в) ф: (R, •) — (Z, •), ф^) = [x] — целая часть числа x.
2.25. 1) Если полугруппа имеет левую единицу и каждый элемент в ней обратим слева, то все ее элементы обратимы
и справа, причем левый обратный для элемента a является также и правым обратным для этого элемента, т.е. эта
полугруппа является группой.
2) В коммутативной полугруппе, обладающей идемпотентами, множество всех идемпотентов является подполугруппой.
3) Во всякой конечной полугруппе найдется идемпотент.
4) Если e — идемпотент полугруппы с левым сокращением, то e является левой единицей.
5) Полугруппа с сокращениями может содержать только один идемпотент, а именно единицу.
2.26. Сколько существует неизоморфных между собой полугрупп порядка 2?
2.27. 1) Моногенная полугруппа конечна тогда и только тогда, когда содержит идемпотент.
2) Конечная моногенная полугруппа либо является группой, либо имеет только один порождающий элемент.
3) Любые две бесконечные моногенные полугруппы изоморфны.
2.28. Приведите пример конечной полугруппы с сокращением слева, не являющейся группой.
Пусть S — произвольная полугруппа без единицы и 1 — символ, не являющийся элементом из S. Распространим
бинарную операцию, заданную на S, на множество S1 = S U {1}, полагая 1 • 1 = 1 и 1 • a = a для любого a Е S.
Проверьте, что S1 есть полугруппа с единицей 1. Переход от S к S1 называется присоединением единицы к S.
Введем обозначение
S1 = S, если S имеет единицу,
1 S U { 1 } в противном случае.
Аналогичным образом можно присоединить нуль 0 к S.
2.29. 1) Если S — полугруппа с сокращениями, то такова и S1.
2) Если S — полугруппа левых нулей и \S\ > 1, то S — полугруппа с правым сокращением, но S1 не обладает
этим свойством.
3) S является полугруппой с правым сокращением и не имеет идемпотентов = 1 тогда и только тогда, когда S1 —
полугруппа с правым сокращением.
2.30. Всякая полугруппа S изоморфна подполугруппе симметрической полугруппы F(S1) на S1.
2.31. 1) Любое множество правых нулей группоида S является его левым идеалом.
2) Если S — полугруппа, то ее левый (правый) идеал, порожденный A, равен A U SA = S1 A (A U AS = AS1), а
двусторонний идеал — равен A U SA U AS U SAS = S1AS1.
3) Полугруппа S проста справа тогда и только тогда, когда aS = S для каждого a Е S.
4) Полугруппа является группой тогда и только тогда, когда она проста как слева, так и справа.
2.32. Пусть a — элемент полугруппы S, и пусть A = {x \ axa = a, x Е S}. Если A = 0 , то Aa (aA) есть подполугруппа
левых (правых) нулей.
2.33. 1) Полугруппа левых нулей проста слева, и каждый ее элемент образует правый идеал.
2) Каждый идемпотент простой справа полугруппы является ее левой единицей.
2.34. Если S — полугруппа, обладающая правым нулем, то множество K всех правых нулей из S есть подполугруппа,
являющаяся полугруппой правых нулей, и, кроме того, двусторонний идеал, содержащийся в каждом
двустороннем идеале полугруппы S.
2.35. Элемент а Е F(X) является идемпотентом тогда и только тогда, когда а действует на a(X) как тождественное
отображение.
2.36. Если f: A — B — гомоморфизм группоидов и I — левый (правый) идеал в A, то f (I) — левый (правый)
идеал в f (A). Если J — левый (правый) идеал в B, то f _1 (J) = {a Е A \ f (a) Е J} — левый (правый) идеал в A.
2.37. Пусть a — элемент полугруппы S и (a) — циклическая подполугруппа в S, порожденная a. Докажите, что (a)
состоит из всех положительных целых степеней элемента a: (a) = { a, a2,… }. Если (a) бесконечна, то все степени
элемента a различны. Если же (a) конечна, то существуют два положительных целых числа, индекс r и период m

23 Полугруппы. 

полугруппы (a), для которых am+r = ar и (a) = { a, a2,… , am+r 1 }. Порядок подполугруппы (a) равен m + r — 1.
Множество Ka = { ar, ar+ 1 , . . . , am+r_1} является циклической подгруппой порядка m полугруппы S.
2.38. Пусть a — элемент конечного порядка полугруппы S, и пусть r — индекс, а m — период элемента a. Тогда
единица подгруппы Ka полугруппы (a) равна an, где n делится на m и r ^ n < r + m.
Полугруппа называется периодической, если каждый ее элемент имеет конечный порядок.
2.39. 1) Для всякого элемента конечной полугруппы найдется некоторая его степень, являющаяся идемпотентом.
2) Если a — элемент конечного порядка, то полугруппа (a) содержит только один идемпотент, а именно единицу
группы Ka.
2.40. Если S — полугруппа с правым сокращением, то каждый ее элемент конечного порядка имеет индекс, равный
1 .
2.41. Для любых двух заданных чисел r и m можно построить циклическую полугруппу (a), индекс которой равен
r, а период m. Конечные циклические полугруппы изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые
индекс и период.
2.42. Пусть S — коммутативная периодическая полугруппа и E — множество идемпотентов из S. Для каждого
f Е E через Sf обозначим множество всех таких x Е E, что xn = f для некоторого натурального n. Тогда
Sf ПSg = 0 при f = g, и S есть объединение всех подмножеств Sf. Каждое Sf является подполугруппой полугруппы
S, содержащей f и не имеющей других идемпотентов, SfSg С Sfg для всех f,g Е E.
2.43. 1) Множество P (соответственно, Q) всех обратимых справа (соответственно, слева) элементов полугруппы
S с единицей является подполугруппой с правым (соответственно, левым) сокращением.
2) Множество U всех обратимых элементов полугруппы S с единицей есть подгруппа в S и совпадает с пересечением
множества P всех обратимых справа элементов с множеством Q всех обратимых слева элементов полугруппы S.
В частности, если S = (M) и каждый элемент x Е M обратим в S, то S является группой.
2.44. 1) Полугруппа S содержит подгруппу тогда и только тогда, когда она содержит идемпотент.
2) Если e — идемпотент полугруппы S, то eS (Se) состоит из всех элементов a Е S, для которых e является левой
(правой) единицей, а eSe есть множество всех элементов полугруппы S, для которых e является двусторонней
единицей, и eSe = eS П Se. Кроме того, eS (Se) — главный правый (левый) идеал полугруппы S, порожденный
элементом e.
2.45. Пусть e — идемпотент полугруппы S. Тогда eSe является подполугруппой в S. Обозначим через He группу
обратимых элементов полугруппы eSe. Докажите, что:
а) He содержит каждую подгруппу полугруппы S, пересекающуюся с He;
б) подгруппы He и только они являются максимальными подгруппами полугруппы S, причем He П Hf = 0 при
e = f;
в) максимальная подгруппа He полугруппы S, содержащая идемпотент e, может быть охарактеризована как
множество всех таких элементов a Е S, что ea = ae = a и существуют x,y Е S, для которых xa = ay = e;
г) Ka (см. 2.37) является единственной максимальной подгруппой в конечной циклической полугруппе.
2.46. Пусть P (Q) — подполугруппа обратимых справа (слева) элементов полугруппы S с единицей 1 и U — группа
обратимых элементов полугруппы S.
1) Следующие три условия для полугруппы S эквивалентны: а) ab = 1 (a, b Е S) влечет за собой ba = 1; б) P = U;
в) Q = U.
2) Условия, перечисленные в п. 1), выполняются, если S — периодическая полугруппа или если S — полугруппа с
правым сокращением.
3) Условия, перечисленные в п. 1), выполняются для полугрупп P и Q.
Связкой называется полугруппа, каждый элемент которой является идемпотентом.
2.47. Пусть E — множество идемпотентов полугруппы S. Положим e ^ f (e, f Е E), если ef = fe = e. Покажите,
что ^ есть частичный порядок на E. Он называется естественным частичным порядком на E.
Коммутативная связка S является нижней полурешеткой относительно естественного частичного порядка на S.
Нижняя грань элементов a, b полугруппы S совпадает с их произведением. Обратно, нижняя полурешетка является
коммутативной связкой относительно операции взятия нижней грани.
Ненулевой идемпотент e полугруппы S называется примитивным, если каждый идемпотент из S, меньший e, равен
e или 0 (если S имеет нуль).
2.48. Полугруппа S антикоммутативна тогда и только тогда, когда она есть связка без нуля, в которой каждый
элемент примитивен, или \ S\ = 1.

24 Полугруппы. 

2.49. Для элементов полугруппы S докажите следующие свойства:
а) если a = axa, то e = ax (f = xa) является идемпотентом, причем ea = a (af = a);
б) если a = axa, то главный правый (левый) идеал aS1 = {a} U aS (S1 a = Sa U {a}) равен aS (Sa);
в) элемент a Е S регулярен тогда и только тогда, когда главный правый (левый) идеал полугруппы S, порожденный
a, порождается некоторым идемпотентом e, т.е. aS1 = eS1 (S1 a = S1 e).
Произведение о бинарных отношений (см. начало § 1) обладает свойством ассоциативности, следовательно, множество
Bx всех бинарных отношений на X является полугруппой относительно этой операции. Что является единицей
и нулем этой полугруппы?
Если р — произвольное отношение на X, то отношение
р=и pn=ри (ро р) и . . .
n= 1
называется транзитивным замыканием отношения р.
Пересечение произвольного семейства отношений эквивалентности является отношением эквивалентности. Аналогичное
утверждение для теоретико-множественного объединения не верно. Объединением р V а двух отношений
эквивалентности р и а называется отношение эквивалентности, порожденное теоретико-множественным объединением
р U а, т.е. р V а — транзитивное замыкание отношения р U а.
2.50. Докажите, что (р_ 1 ) _ 1 = р, (р о а) _ 1 = а_ 1 о р_1, т.е. отображение р — р_ 1 является инволютивным
антиизоморфизмом.
Любое отношение эквивалентности на X является идемпотентом полугруппы Bx . Кроме того:
а) рг транзитивно и содержится в каждом транзитивном отношении на X, содержащим р;
б) р1 = ро U р_ 1 U I, где i — отношение равенства (или «диагональ» множества X х X), есть наименьшее
рефлексивное и симметричное отношение на X, содержащее данное отношение ро;
в) транзитивное замыкание р = р1 является отношением эквивалентности на X, которое содержится в каждом
отношении эквивалентности на X, содержащим ро, оно называется отношением эквивалентности на X,
порожденным ро.
2.51. Если р и а — отношения эквивалентности на множестве X и р о а = а о р, то р о а — также отношение
эквивалентности на множестве X и р о а = р V а.
Говорят, что отношение р на группоиде S стабильно или регулярно справа (слева), если (a,b) Е р, где a,b Е S,
влечет за собой (хсрЬс (caрcb) для каждого с Е S. Стабильное справа (слева) отношение эквивалентности на S
называется правой (левой) конгруэнцией на S. Левая и правая конгруэнция называется конгруэнцией на группоиде.
2.52. Пусть р — конгруэнция на группоиде S и a,b — элементы множества S = S/р, т.е. классы эквивалентности
S по отношению р. Определим произведение на S по правилу a • b = ab. Проверьте, что:
а) (S, •) является группоидом, который называется факторгруппоидом группоида S по отношению р и обозначается
S/р;
б) отображение р: a — рa есть гомоморфизм группоида S на S, он называется каноническим гомоморфизмом
группоида S на S.
Пусть ф — отображение множества X в множество Y. Тогда ф можно считать отношением на множестве X U Y.
Для каждого у Е Y имеем ф_1у = {x Е X \ фx = у}. Композиция отношений р = ф_ 1 о ф содержится в X х X.
Поэтому ее можно считать отношением на X, aрЬ (a, b Е X) если и только если фa = фЬ.
2.53. (Основная теорема о гомоморфизмах). Пусть ф — гомоморфизм группоида S на группоид G, и пусть р =
ф_1 о ф. Тогда р — конгруэнция на S и существует изоморфизм ф группоида S/р на G, такой, что ф~р = ф, где р —
канонический гомоморфизм S на S.
2.54. Пусть H — подгруппа группы G. Определим отношение р на G следующим образом: aрЬ (a,b Е G) в том и
только в том случае, когда ab_ 1 Е H. Классами отношения р являются множества Ha при a Е G. Докажите, что:
а) р является правой конгруэнцией, и каждая правая конгруэнция получается таким образом;
б) р является конгруэнцией тогда и только тогда, когда H — нормальная подгруппа в G.

25 Полугруппы. 

Два элемента a, b полугруппы S называются инверсными (или регулярно сопряженными) друг к другу, если aba = a
и bab = b.
2.55. Если a — регулярный элемент полугруппы S, axa = a, то a обладает хотя бы одним инверсным к нему
элементом. Таким элементом, в частности, будет xax.
2.56. Два элемента полугруппы S взаимно обратны в некоторой подгруппе полугруппы S тогда и только тогда,
когда они инверсны друг к другу и коммутируют.
2.57. Регулярный элемент может иметь несколько инверсных к нему элементов. Приведите пример полугруппы, в
которой любые два элемента инверсны друг к другу.
Если e, f, ef и fe — идемпотенты полугруппы S, то ef и fe инверсны друг к другу.
2.58. Следующие три условия для полугруппы S эквивалентны:
а) S регулярна и любые два ее идемпотента коммутируют;
б) каждый главный правый и каждый главный левый идеал полугруппы S имеет единственный порождающий
идемпотент;
в) S — инверсная полугруппа (т.е. каждый элемент из S обладает единственным инверсным к нему элементом).
Пусть S — инверсная полугруппа. Элемент, инверсный к a Е S, обозначается через a-1 . Имеем aa-1 a = a и
a_1 aa_1 = a_1 . Идемпотент e = aa_1 (f = a_1 a) называется левой (правой) единицей элемента a; его можно
охарактеризовать как единственный идемпотент, порождающий правый (левый) идеал aS (Sa).
2.59. Для любых элементов a, b инверсной полугруппы имеют место соотношения: (a-1 )-1 = a и (ab)-1 = b-1 a-1 .
2.60. Полугруппа всех преобразований F(X) множества X регулярна.
2.61. Пусть S — полугруппа левых нулей, причем \S\ > 1. Тогда каждый главный правый идеал в S имеет
единственный порождающий его идемпотент, но S не является инверсной полугруппой.
2.62. В полугруппе S любые два элемента инверсны друг к другу тогда и только тогда, когда S антикоммутативна.
2.63. Если регулярная полугруппа обладает свойством сокращения или содержит точно один идемпотент, то она
является группой.
2.64. Пусть a — элемент полугруппы S и A = {x \ axa = a, x Е S}. Тогда AaA есть множество элементов, инверсных
к a.
2.65. Очевидно, что необходимым условием вложения полугруппы в группу является выполнение двустороннего
закона сокращения. Докажите, что всякая коммутативная полугруппа с сокращениями вкладывается в группу.
Полугруппа S называется реверсивной справа, если Sa П Sb = 0 для всех a, b Е S. Говорят также, что полугруппа
S удовлетворяет левому условию Оре.
2.66. Любая реверсивная справа полугруппа с сокращениями вкладывается в группу.
Говорят, что группа G есть группа левых частных полугруппы S, если G — такая группа, содержащая полугруппу
S, что каждый элемент из G представим в виде a-1 b, где a, b Е S.
2.67. Полугруппа с сокращениями вкладывается в группу левых частных, если и только если она реверсивна
справа.
Пусть S — реверсивная справа полугруппа с сокращениями и G, H — две группы левых частных для S. Тогда
существует изоморфизм группы G на H, оставляющий элементы из S неподвижными.
2.68. Пусть S — множество упорядоченных пар (i,j) неотрицательных целых чисел. Определим в S умножение,
полагая
(i,j)(k,l) = (i + k, 2 kj + l).
Покажите, что полугруппа S реверсивна слева, но не справа.
2.69. Пусть S — реверсивная справа полугруппа с сокращениями, и пусть G — группа, содержащая S в качестве
подполугруппы и порожденная полугруппой S. Покажите, что G является группой левых частных полугруппы S.

26 Полугруппы 

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика