дома » Алгебра в школе » Поля разложения

Поля разложения

29. Поля разложения.

 Главная страница: ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие.
Сборники Математики Скачать бесплатно
Алгебра в школе.
ЕГЭ 2015 Математика
.
Библиотека учителя.
Школьная математика.

Скачать полностью бесплатно ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие. П.А. Крылов А.А. Туганбаев А.Р. Чехлов в формате PDF.

Ниже можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска справа в колонке помогут Вам быстрее найти нужную информацию на этом сайте.

litres728_90
Если K — поле, {fi^) | i Е I} — некоторое семейство многочленов из K [х], deg ^(х) ^ 1, то под полем разложения
этого семейства понимают расширение P поля K, в котором всякий ^(х) разложим на линейные множители, причем
P порождается всеми корнями многочленов fi^). Поля разложения всегда существуют и изоморфны между собой.
Кроме того, если все корни аi (i = 1,… ,n) многочлена f (х) Е K [х] различны и F, F — два его поля разложения, то
существует в точности [F : K] различных изоморфизмов полей F и F над K. В частности, группа автоморфизмов
Aut F/K поля F над K (см. 28.14) имеет порядок ^ [F : K]. Если все корни многочлена f (х) различны, то
| Aut F/Щ = [F : K].
Теорема 29.1. Пусть P — алгебраическое расширение поля K, содержащееся в его алгебраическом замыкании
K. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) всякое вложение поля P в K над K является автоморфизмом поля P;
2) P — поле разложения некоторого семейства многочленов из K [х];
3) всякий неприводимый в K [х] многочлен, имеющий корень в P, разложим в P [х] на линейные множители.
Расширение P поля K, удовлетворяющее условиям теоремы 29.1, называется нормальным.
Если 9 — корень неразложимого в кольце K [х] многочлена, обладающего лишь простыми корнями, то 9 называется
сепарабельным элементом над полем K. Многочлен называется сепарабельным, если его неприводимые множители
имеют различные корни. Алгебраическое расширение P поля K, все элементы которого сепарабельны над K,
называется сепарабельным; это эквивалентно тому, что расширение K(a) сепарабельно для каждого а Е P. Иногда
в литературе под сепарабельными понимают только конечные сепарабельные расширения.
В случае характеристики нуль каждый неразложимый многочлен (а потому и каждое алгебраическое расширение)
является сепарабельным. В случае поля K характеристики р для каждого неразложимого многочлена f (х) над

154 Поля разложения

полем К существует целое число л ^ 0 такое, что всякий корень а многочлена f (х) имеет кратность pM, а элемент
ap сепарабелен над К.
Поле K называется совершенным, если любой неразложимый над K многочлен сепарабелен.
Поле K характеристики p является совершенным тогда и только тогда, когда оно вместе с каждым своим элементом
содержит и корень p-й степени из него, т.е. Kp = К.
Все алгебраически замкнутые поля совершенны. Каждое алгебраическое расширение совершенного поля сепарабельно
над этим полем.
Справедлива теорема
Теорема 29.2. Пусть К (aj, … ,а„) — конечное алгебраическое расширение поля К и al,… ,аn — сепарабельные
элементы. Тогда К (aj,… , an) является простым расширением К (aj,… , an) = К (9).
Элемент 9 из этой теоремы называется примитивным элементом. В этом случае, если [K(9):K] = m, то элементы
1, 9, . . . , 9m-j образуют базис пространства K (9).
Пусть P С F — некоторое расширение поля P, H С Aut F/P. Через FH обозначают подмножество FH = {а €
F \ ф(а) = а, ф € H}. Справедлива теорема
Теорема 29.3. Следующие условия на расширение P С Fэквивалентны.
1) F — поле разложения некоторого сепарабельного многочлена над P;
2) P = FG для некоторой конечной группы G С Aut F/P;
3) F — конечномерное нормальное и сепарабельное расширение поля P.
Все алгебры в данном параграфе предполагаются с 1.

Задачи

точности тогда, когда его минимальный многочлен fa^) и его производная взаимно просты в P [х].
29.2. Для любого несовершенного поля существуют несепарабельные расширения.
29.3. 1) Каждое квадратичное поле над P нормально над P.
2) Каждое расширение степени 2 нормально.
29.4. Каждое конечное нормальное расширение является полем разложения некоторого многочлена.
29.5. Пусть K С P С F — башня конечных расширений поля K. Докажите, что:
а) если расширение K С F нормально, то расширение P С F также нормально;
б) если расширения K С P и P С F нормальны, то расширение K С F не обязательно нормально;
в) если расширения K С F и P С F нормальны, то расширение K С P не обязательно нормально.
29.6. Если P — нормальное, а F — произвольное расширения поля K и P, F содержатся в некотором большем
поле L, то PF нормально над F. Если к тому же и F нормально над К, то поля PF и P П F также нормальны
над K.
29.7. Если P С F — нормальное расширение, то F содержит поле разложения минимального многочлена каждого
элемента a € F.
29.8. Постройте поле разложения многочлена х3 — 2 над Q и покажите, что если а — один из корней этого многочлена,
то Q (а) не является нормальным.
29.9. Покажите, что Q(^5) (под ^5 понимается вещественный корень) не может быть полем разложения многочлена
х3 — 5. Найдите поле разложения этого многочлена, покажите, что оно является простым расширением поля
Q.
29.10. Найдите поля разложения многочлена х2 + 1 над Q и R.
29.11. Пусть G — конечная группа автоморфизмов поля К и P = KG. Покажите, что [К : P] ^ \G\.
29.12. Если F — расширение поля P, то имеются два отображения:
1) H — К = FH — из множества подгрупп H С Aut F/P во множество подполей P С К С F;
2) К — H = Aut F/K — из множества промежуточных подполей P С К С F во множество подгрупп H С Aut F/P.
Докажите свойства этих отображений:
а) если G2 С Gj С G = Aut F/P, то FG С FG2;
б) если P С P2 С Pj С F, то Aut F/Pj С Aut F/P2;
в) P С FAut F/P;

155 Поля разложения

29.13. Поле Q(\/2, \/3) является полем разложения многочлена х4 — 10х2 + 1, а \/2 + \/3 — примитивный элемент
этого поля (ср. с 28.15).
29.14. Какие из следующих расширений являются нормальными:
а) Q(V3); б) Q(V—3); в) Q(V2 V3).
29.15. Если р — простое число и £ = рГ = 1, то Q (г) является полем разложения многочлена $p(x) = xp-1 +
xp-2 + … + х + 1.
29.16. Покажите, что если присоединить к F2 корень 9 неприводимого многочлена х2 + х + 1, то получится поле
F2 (9) = {0, 1, 9, 1 + 9} из четырех элементов, изоморфное полю F2[x]/ (х2 + х + 1).
Используя соотношение х2 +х+1 = (х — 9) х — 92 , покажите, что F2 (9) — поле разложения многочлена х2 +х+1.
29.17. Найдите степень поля разложения над Q для многочленов:
а) ах + b (a,b Е Q, а = 0);
б) х2 — 2; в) х3 — 1; г) х3 — 2; д) х4 — 2;
е) хp — 1 (р — простое число); ж) хп — 1 (n Е N);
з) хp — а (а Е Q и не является р-й степенью в Q, р — простое число).
29.18. Конечное расширение K С P является простым тогда и только тогда, когда множество промежуточных
полей между K и P конечно.
29.19. Пусть K — поле характеристики р. Покажите, что:
а) K (х,у) имеет степень р2 над K (xp^p);
б) между K (х,у) и K (xp^p) существует бесконечно много расширений. Это дает пример конечного расширения,
не являющегося простым.
29.20. В случае нулевой характеристики неприводимый многочлен f (х) Е P [х] имеет только простые корни. В
случае характеристики р многочлен степени > 1 имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его можно
представить как многочлен от xp, причем существует целое число л ^ 0 такое, что всякий корень многочлена f (х)
имеет кратность рм, а если а — корень f (х), то элемент ар сепарабелен над K.
29.21. Пусть K С F — алгебраическое расширение поля K. Элемент а Е F не является сепарабельным тогда и
только тогда, когда K имеет простую характеристику р и минимальный многочлен fa(x) = g (xp) для некоторого
многочлена g(x) Е K[x].
29.22. Пусть K С F — алгебраическое расширение поля K, порожденное семейством {ai ai Е F}. Если каждый
элемент ai сепарабелен над K, то F сепарабельно над K.
29.23. Пусть K = Ko С K1 С … С Ks = L — башня конечных расширений полей. Расширение K С L сепарабельно
тогда и только тогда, когда каждое расширение Ki- 1 С Ki (i = 1,… , s) сепарабельно.
29.24. Пусть K С L С F — башня конечных расширений полей. Тогда:
а) если элемент а Е F сепарабелен над K, то а сепарабелен над L;
б) утверждение, обратное к а), верно, если расширение K С L сепарабельно.
29.25. Пусть K — поле и F = K(a) — алгебраическое расширение поля K. Тогда следующие условия эквивалентны:
а) F — сепарабельное расширение поля K;
б) элемент а сепарабелен над K;
в) для любого расширения L поля K алгебра F 0к L не имеет ненулевых нильпотентных элементов;
г) для любого поля L D K алгебра F 0к L является (кольцевым) прямым произведением конечного числа экземпляров
поля L.
Пусть L — алгебраическое расширение поля K характеристики р; оно называется чисто несепарабельным расширением,
если в L\K нет сепарабельных элементов над K.
29.26. Для алгебраического расширения L поля K характеристики р следующие условия эквивалентны:
а) L — чисто несепарабельное расширение поля K;
б) минимальный многочлен для всякого а Е L над K имеет вид хр — а для некоторого n ^ 0 и а Е K;
в) для всякого элемента а Е L\K существует целое число n ^ 0 такое, что ар Е K;
г) существует такое множество образующих {а^ i Е I} поля L над K, что а % Е K для некоторого целого ni ^ 0.
29.27. Пусть K = Ko С K1 С … С Ks = L — башня конечных расширений полей. Расширение K С L чисто
несепарабельно тогда и только тогда, когда каждое расширение Ki-1 С Ki (i = 1,… , s) чисто несепарабельно.
29.28. Пусть E — алгебраическое расширение поля K, и пусть Ео — композит всех подполей F поля E таких, что

156 Поля разложения

K С F и F сепарабельно над K. Тогда Ео сепарабельно над K, E чисто несепарабельно над Ео.
29.29. Пусть расширение Е нормально над K, и пусть Ео — его максимальное сепарабельное подрасширение.
Тогда Ео также нормально над K.
29.30. Пусть E,F — конечные расширения поля K, причем K С Е — сепарабельно, K С F — чисто несепарабельно.
Предположим, что Е,F — подполя некоторого общего поля. Тогда [EF : F] = [Е : K], [EF : Е] = [F : K]
и F С EF — сепарабельное, Е С EF — чисто несепарабельное расширения. Иллюстрацией служит следующая
диаграмма
EF ^ EF
Т ч.нес. Т сеп.
Е F
Т сеп. Т ч.нес.
K ^ K.
29.31. Пусть Е — поле характеристики р, являющееся конечным расширением поля K. Тогда если EPK = Е, то
Е сепарабельно над K. Если Е сепарабельно над K, то Ер K = Е для всех n ^ 1.
29.32. Пусть F — нормальное расширение поля K, G = Aut F/K и FG — неподвижное поле группы G. Тогда
FG чисто несепарабельно над K и F сепарабельно над FG. Если Fo — максимальное сепарабельное подрасширение
F, то F = FgFq и Fo П FG = K. Таким образом, нормальное расширение распадается в композит чисто
несепарабельного и сепарабельного расширений. Иллюстрацией служит следующая диаграмма
FqFg = F
Т ч.нес.
Fo
Т сеп.
Fq П FG = K
FqF g = F
Т сеп.
FG
Fo П FG = K.
29.33. Каждое конечное поле совершенно.
29.34. Каждое алгебраическое расширение совершенного поля совершенно.
Пусть A — конечномерная K-алгебра. Говорят, что A сепарабельна над K, если справедливы следующие условия:
а) L ®к A — полупростая алгебра для всех расширений L поля K;
б) L-алгебра L®k A для некоторого алгебраически замкнутого поля L D K является прямым произведением полных
матричных алгебр над L;
в) алгебра A полупроста, а ее центр Z (A) есть прямое произведение конечного числа сепарабельных расширений
поля K.
29.35. Поле A является конечным сепарабельным расширением поля K в точности тогда, когда алгебра A сепарабельна
над K.
29.36. Следующие свойства конечного расширения K С L равносильны:
а) все компоненты алгебры Ll = L ®к L изоморфны L;
б) L имеет [L : K] K-автоморфизмов;
в) для любых K-вложений ф i : L L’ (i = 1, 2) поля L в любое расширение K С L’ имеем <р\ (L) = ф2 (L);
г) всякий неприводимый многочлен из K[x], имеющий корень в L, разложим над L в произведение линейных
множителей;
д) L — поле разложения некоторого многочлена из K [х] (т.е. L — конечное нормальное расширение поля K).
29.37. Пусть A — конечномерная коммутативная K-алгебра. Элемент a Е A сепарабелен тогда и только тогда,
когда сепарабелен его минимальный многочлен.
29.38. Если A — сепарабельная коммутативная K-алгебра и f (х) Е K[x] — сепарабельный многочлен, то алгебра
B = A[x]/ (f (х)) сепарабельна.
29.39. Пусть A — коммутативная K-алгебра, B = K[ai,… , an] — подалгебра в A, порожденная ai,… ,an Е A.
Следующие утверждения равносильны:
а) B — сепарабельная K-алгебра;
б) всякий элемент b Е B сепарабелен;
в) элементы ai,… ,an сепарабельны.

157 Поля разложения

 

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика