Поля

Глава VI. Поля.
28. Простейшие свойства полей.

Скачать полностью бесплатно ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие. П.А. Крылов А.А. Туганбаев А.Р. Чехлов в формате PDF.

Ниже можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска справа в колонке помогут Вам быстрее найти нужную информацию на этом сайте.

Поле называется простым, если оно не содержит собственных подполей. Каждое поле P содержит единственное
простое подполе, изоморфное полю рациональных чисел Q (в этом случае говорят, что поле P имеет нулевую
характеристику) или полю Fp для некоторого простого числа p (поле P имеет характеристику p). Характеристика
поля P обозначается через char P.
Если некоторое поле K содержится в поле P, то поле P называется расширением поля K, а поле K — подполем
поля P. Минимальное поле, содержащее поле K и элемент 9 € P, называется простым расширением поля K,
полученным путем присоединения к полю K элемента 9, и обозначается через K (9). Элемент а € P называется
алгебраическим над K, если а является корнем некоторого многочлена f (х) € K [х], в противном случае а называется
трансцендентным над K. Расширение P поля K называется алгебраическим, если всякий элемент из P
алгебраичен над K.
В случае расширения K С P размерность dim#- P векторного пространства P над K называется степенью расширения
P над K и обозначается через [P : K]. Для трансцендентного элемента 9 € P семейство элементов 1, 9, 92,.. .
линейно независимо над K и [K(9) : K] = то. Если 9 — алгебраический элемент над K, то [K(9) : K] = п € N
и каждый элемент а € K(9) допускает однозначное представление в виде а = ао + aj9 + … + an-j9n-1, где
ао,… , an-j € K; в данном случае поле K(9) совпадает с кольцом K [9], где под K [9] понимается кольцо, получающееся
из кольца многочленов K [х] формальной заменой переменной х на 9. Унитарный многочлен fa(x) € K [х]
наименьшей степени со свойством f (а) = 0 называется минимальным многочленом алгебраического элемента а € P;
обозначают его fa^) или fa^, K), чтобы подчеркнуть роль поля K.
Пусть Е, F — расширения поля K. Если Е и F содержатся в некотором поле L, то через EF обозначают наименьшее
подполе в L, содержащее Е и F, оно называется композитом Е и F в L.
Поле P называется алгебраически замкнутым, если каждый многочлен из кольца P [х] разложим на линейные множители.
Теорема Штейница утверждает, что для всякого поля существует алгебраически замкнутое расширение.
Алгебраически замкнутое и алгебраическое расширение поля P определено однозначно с точностью до изоморфизма.
Всякое такое расширение поля P называется его алгебраическим замыканием.
Расширение P С F называется конечным, если оно получается из P присоединением конечного числа элементов
al,… , ат, т.е. F = P (а^… , ат). Конечное расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда
оно имеет конечную степень.
Теорема 28.1. Если L С P С F и поле F конечно над L, то и P конечно над L, а F конечно над P. Обратно,
если P конечно над L, а F конечно над P, то F конечно над L и [F : L] = [F : P] [P : L].
Теорема 28.2. Пусть K — поле, Е = К(а), где а алгебраичен над K. Тогда если а: K — L — вложение K в
алгебраически замкнутое поле L, то число возможных продолжений а до вложения Е в L равно числу различных
корней многочлена fa^) € K [х].
Теорема 28.3. Пусть K — поле, P — его алгебраическое расширение и а: K — F — вложение K в алгебраически
замкнутое поле F. Тогда существует продолжение а до вложения P в F. Если P алгебраически замкнуто и F
алгебраично над aK, то любое такое продолжение а будет изоморфизмом поля P на F.
Задачи
28.1. Пусть п — фиксированное целое число. Образует ли поле относительно обычных матричных операций множество
матриц вида К п a ) \ a,b€ k],где:
а) K = Q; б) K = R; в) K = Z; г) K = Zp, а p = 2, 3, 5, 7?
28.2. Опишите поля, имеющие единственное собственное подполе.
28.3. Расширение P С F поля P простой степени не имеет собственных (= P, F) подполей.
28.4. Простое тело (не имеющее собственных подтел) является полем.
28.5. Если A — коммутативная область, то A [х] также коммутативная область. Если K — поле частных кольца
A, то поле частных К(х) кольца A [х] называется его полем рациональных дробей. В случае нескольких переменных
поле частных К ^j,… ,хп) кольца A [х^… ,хп] называется полем рациональных дробей или полем рациональных
функций от неизвестных Xl,… , хп.
28.6. 1) Элемент 9 трансцендентен над полем P в точности тогда, когда существует изоморфизм расширения P (9)
на поле рациональных дробей, сохраняющий неподвижными элементы из P.

150 Простейшие свойства полей.

2) Поле рациональных дробей над конечным полем является бесконечным полем конечной характеристики.
28.7. Пусть F = С(х) — поле рациональных дробей. Тогда:
а) если у = хп + —п и K = C (у), то [F : K] = 2n;
б) если P = C (х2) и E = C (х2 + х), то [F : P] = [F : E] = 2, но [F : P П E] = то.
28.8. Поле рациональных дробей P(х) — бесконечное расширение поля P, но конечное расширение поля P (хп),
n Е N.
28.9. Множество всех элементов K-алгебры A с 1, алгебраических над K, является подалгеброй в A, а если A —
поле, то подполем.
28.10. Покажите, что элемент а алгебраичен над полем P тогда и только тогда, когда степень расширения
[P (а) : P] конечна. В случае алгебраичности а поле P (а) совпадает с алгеброй P [а] (под P[а] понимается алгебра,
получающаяся из алгебры многочленов P[х] формальной заменой х на а), а степень [P (а) : P] равна степени
минимального многочлена fа(х) элемента а над P. Покажите также, что алгебраичность а над P эквивалентна
тому, что гомоморфизм P [х] — P (а), тождественный на P и переводящий х в а, имеет ненулевое ядро, равное
идеалу (^(х)). Кроме того, P [х]/ (fa (х)) = P (а) и многочлен fa^) неприводим.
28.11. Если каждый многочлен из P [х] имеет в поле P хотя бы один корень, то P алгебраически замкнуто.
28.12. Пусть K — поле и F — поле дробей алгебры формальных степенных рядов K [[х]]. Покажите, что каждый
элемент из F представим в виде x-sh, где s ^ 0 и h Е K [[х]], т.е. F состоит из степенных рядов, допускающих
наряду с положительными степенями элемента х также и конечное число отрицательных степеней этого элемента
(ряды Лорана, см. перед 11.25).
28.13. Для любого автоморфизма ф поля P множество элементов, неподвижных относительно ф, является подполем.
28.14. Пусть P С F — расширение поля P. Покажите, что:
а) множество всех автоморфизмов поля F, оставляющих неподвижными элементы поля P, образует группу Aut F/P;
б) если H — подгруппа в Aut F/P, то FH = {а Е F| ф (а) = а, ф Е H} образует подполе в F, содержащее P.
28.15. Проверьте, что размерность расширения F = Q (\/2, \/3) над Q равна четырем, т.е. каждый элемент а Е F
однозначно записывается в виде линейной комбинации а = a+b\/2+с\/3+ d\/6 с рациональными a, b, с, d. Покажите,
что F = Q [9,92, 93), где 9 = \/2 + \/3, т.е. в качестве базиса над Q можно выбрать элементы 1, 9,92, 93. Элемент 9
имеет минимальный многочлен ^(х) = х4 — 10х2 + 1 с корнями 91 = 9 = \/2 + \/3, 92 = \/2 — \/3, 93 = — \/2 + \/3,
94 = — V2 — \/3 (в частности, 9i — целые алгебраические числа).
28.16. Какова степень Q (V—) и Q (г, \/2) над полем Q?
28.17. 1) Для всякого алгебраического числа а совокупность всех аннулирующих многочленов для а является
идеалом в кольце Q^].
2) Множество всех алгебраических чисел образует поле, являющееся бесконечным расширением поля Q.
28.18. 1) Рациональное число является целым алгебраическим тогда и только тогда, когда оно является целым
числом.
2) Для того, чтобы алгебраическое число было целым алгебраическим, необходимо, чтобы его минимальный многочлен
имел целые коэффициенты.
3) Множество всех целых алгебраических чисел образует кольцо — кольцо целых алгебраических чисел.
4) Всякое алгебраическое число представимо в виде /3/д, где в — целое алгебраическое, д — целое число. В частности,
поле алгебраических чисел является полем частных кольца целых алгебраических чисел.
28.19. Пусть f (х) = аохп + а1хп-1 + … + ап и F(х) = апхп + ап-1хп-1 + … + ао. Покажите, что для а = 0 верна
импликация f (а) = 0 => F (1/а) = 0. Воспользовавшись этим, покажите, что целое алгебраическое число будет
обратимым в кольце целых алгебраических чисел тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен имеет
свободный член, равный ±1.
28.20. Пусть d — целое число, свободное от квадратов. Элемент а Е Q(Vd) является целым алгебраическим числом,
а + bVd
если а =———-2——, где а и b — целые числа такие, что
а = b (mod2) при d = 1 (mod4) и а = b = 0 (mod2) при d = 2, 3 (mod4).
28.21. Целые алгебраические числа полей:
а) Q (\/—2) — это все числа вида а + b\/—2, где a,b Е Z;
б) Q (V—3) — это все числа вида а + bV—3, где a,b Е Z, и все числа вида — + ^ V— 3, где a,b — нечетные целые
в + —1 + V—3 числа. Все их можно также представить в виде m + n 2———————— ——, где m, n Е Zz

151 Простейшие свойства полей.

28.22. Целое алгебраическое число а = r + sy/d € Q(y/d) обратимо в кольце целых алгебраических чисел поля
Q(\/d) в точности тогда, когда норма п (а) = r2 — ds2 = ±1.
28.23. Пусть d — отрицательное целое число, свободное от квадратов. Покажите, что целое алгебраическое число
^ а + b^d а2 — b2d
а € Q(Vd) обратимо в кольце целых алгебраических чисел, если а =————————2——, где a,b € Z и 4—————- = 1. Выведите
отсюда, что единственные мнимые квадратичные поля, содержащие обратимые целые алгебраические элементы,
отличные от ±1, — это поле Q(i) (поле гауссовых чисел) и поле Q(V — 3).
28.24. 1) Всякое алгебраически замкнутое поле бесконечно.
2) Если P — бесконечное поле, то его алгебраическое замыкание P имеет ту же мощность, что и P.
3) Если P — конечное поле, то поле P — счетное.
28.25. 1) Всякая конечная подгруппа мультипликативной группы поля — циклическая.
2) Если P* — циклическая группа, то поле P конечно.
3) В поле из п элементов выполняется тождество хп = х.
4) Если хп = х для всех элементов поля К, то К конечно и его характеристика делит п.
28.26. Найдите какие-нибудь конкретные конечные нетривиальные подгруппы в R* ив C* и непосредственно
покажите, что они циклические.
28.27. Опишите поля, аддитивная группа которых — циклическая.
28.28. В поле Zp решите уравнение хр = а.
28.29. Пусть K — поле характеристики p. Тогда:
а) для всех элементов a,b € К и для каждого натурального m справедлива формула (а + b)p = ap + b ;
б) множество Kp = {х^ х € К} является подполем в К;
в) если K конечно, то отображение a — ap является автоморфизмом поля K.
28.30. 1) Конечное поле характеристики p содержит pm элементов для некоторого натурального m.
2) Аддитивная группа поля Fq из q = pm элементов является прямой суммой m циклических групп порядка p, а
его мультипликативная группа — циклической порядка q — 1.
3) Для всякого натурального делителя d \ m поле Fpm содержит в точности одно подполе, изоморфное полю Fpd, и
этим исчерпываются все подполя поля Fpm.
4) Если К — поле характеристики p, то совокупность корней многочлена хС1 — х, q = pm, принадлежащих полю К,
образует подполе поля K.
28.31. Пусть а — элемент конечного поля Fq, m = o(a) — его порядок. Тогда:
а) m|q — 1;
б) если п — натуральный делитель числа q — 1, то число элементов поля Fq порядка п равно ф(п).
28.32. Поля Q и R не имеют автоморфизмов, отличных от тождественного.
28.33. Найдите все автоморфизмы поля C, при которых каждое вещественное число переходит в себя.
28.34. Имеет ли поле Q(\/2) автоморфизмы, отличные от тождественного?
28.35. При каких v,,m € Z\{0} поля Q(\Zm) и Q^v^) изоморфны?
28.36. Решите в поле Q(\/2) уравнения:
а) х2 + (4 + 2^2) х + 3 +2^2=0; б) х2 — 2х — 5 = 0; в) х2 — 3х + ^2 = 0;
г) х2 + 2х — 2 — 2^2 =0; д) х2 + (—1 + Щ х — 6 + 2^2 = 0;
е) х2 — 2 (3 — V2) х — 6 + 6^2 = 0.
28.37. Решите систему уравнений:
Г х + 2z =1 Г 3х + y + 2z = 1
а) < y + 2z = 2 б) < х + 2y + 3z = 1
[ 2х + z = 1; [ 4х + 3y + 2z = 1
в поле вычетов по модулю 3, по модулю 5 и по модулю 7.
28.38. Найдите такой многочлен f (х) степени не выше 3 с коэффициентами из Z5, что
f (0) = 3, f (1) = 3, f (2) = 0, f (4) =4.
28.39. Найдите все многочлены f (х) с коэффициентами из Z5 такие, что
f (0) = f (1) = f (4) = 1, f (2)= f (3) = 3.
28.40. Какие из уравнений:
а) х2 = 3, б) х5 = 6, в) х8 = 7, г) х3 = а

152 Простейшие свойства полей.

имеют решения в поле Zjj?
28.41. В поле Zjj решите уравнения:
а) х2 + 3х + 8 = 0; б) х2 + 5х + 4 = 0; в) х2 + 2х + 3 = 0;
г) х2 + 7х + 4 = 0; д) х2 + 9х + 15 = 0; е) 2х2 — 8х + 7 = 0.
28.42. В поле Z37 решите уравнения:
а) х = 17+19; б) х = 17 ■ 19;
в) х = 17 : 19; г) х2 — 2 = 0 и х2 — 3 = 0.
28.43. Найдите все порождающие элементы в мультипликативной группе поля:
а) Z7; б) Zjj; в) Zj7.
28.44. Пусть a, b — элементы поля F порядка \F\ = 2n, где п нечетно. Тогда если а2 + ab + b2 = 0, то а = b = 0.
28.45. В поле Zp выполняются равенства:
p-j , (p-j)/2 п а) к j =0 (p > 2); б) ^ к = 0 (p > 3).
k=j k=j
28.46. 1) Докажите, что в поле 7-адических чисел содержатся квадратные корни из 2. Положив
у/2 = 3 + aj ■ 7 + а2 ■ 72 + аз ■ 73 + … или \/2 = 4 + bj ■ 7 + b2 ■ 72 + Ьз ■ 73 + …,
докажите по индукции, что aj, а2,… (bj, b2,…) последовательно однозначно определяются. Вычислите первые 10
цифр.
2) Покажите, что, напротив, многочлены х2 — 3 и х2 — 5 корней в поле 7-адических чисел не имеют.
28.47. Найдите наибольший общий делитель многочленов:
а) f (х) = х3 + х2 + 2х + 2, д (х) = х2 + х + 1;
б) f (х) = х4 + 1, д(х) = х3 + х + 1
над полем Z3 и Z5.
28.48. Докажите, что если многочлены f (х) и д(х) с целыми коэффициентами взаимно просты над полем Zp,
причем хотя бы один из старших коэффициентов не делится на p, то эти многочлены взаимно просты над полем
Q. Покажите, что для любого простого p обратное утверждение не верно.
28.49. Многочлены f (х) и д(х) с целыми коэффициентами тогда и только тогда взаимно просты над полем Q,
когда они взаимно просты над полем Zp для почти всех простых p.
28.50. Следующие многочлены разложите на неприводимые множители:
а) х5 + х3 + х2 + 1 над полем Z2;
б) х3 + 2х2 +4х + 1 над полем Z5;
в) х4 + 3х3 + 2х2 + х + 4 над полем Z5.
28.51. Разложите на неприводимые множители над полем Z2 все многочлены второй (третьей) степени.
28.52. Найдите все многочлены второй (третьей) степени со старшим коэффициентом 1, неприводимые над полем
Z3 .
28.53. Докажите, что если многочлен с целыми коэффициентами приводим над полем Q, то он приводим над полем
Zp по любому простому p, не делящему старший коэффициент. Приведите пример многочлена, приводимого над
полем Q, но не приводимого над полем Zp, где p делит старший коэффициент.
28.54. Существуют многочлены с целыми коэффициентами, неприводимые над полем Q, но приводимые над полем
Zp для любого простого p.
Таким будет, например, многочлен f (х) = х4 — 10х2 + 1. Он является многочленом наименьшей степени с целыми
коэффициентами, имеющим корень \/2 + \/3.
28.55. Пусть P — конечное расширение поля К, fa^) = хт + aj^in~1 + … + am — минимальный многочлен
элемента а € P. Тогда норма элемента а равна N (а) = (—1)mam, а след S (а) = —aj (определение нормы и следа
см. в § 12).
28.56. Пусть К С P — алгебраическое расширение. Тогда расширение К(х) С P(х) также алгебраическое и
[P(х): К(х)] = [P : К].
Пусть К С P — расширение полей. Элементы aj,… ,as € P называются алгебраически независимыми над К,
если f (aj,… ,as) =0 для всякого ненулевого многочлена f ^j,… ,х3) € К[х^ … , х5].
28.57. Элементы aj,… ,as € P алгебраически независимы над К тогда и только тогда, когда расширение
K(aj,… ,as) К-изоморфно полю рациональных функций К(х^… ^s).
28.58. Пусть К С P — расширение полей и aj,… , am; bj,… ,bn € P — две максимальные алгебраически независимые
над К системы элементов. Тогда m = п (степень трансцендентности P над К).

153 Простейшие свойства полей.

28.59. 1) В конечномерной коммутативной K-алгебре A с 1 имеется лишь конечное число максимальных идеалов,
и их пересечение совпадает с множеством N (A) всех нильпотентных элементов алгебры A (нильрадикал алгебры
A).
2) Ared = A/N (A) — редуцированная алгебра (не содержит ненулевых нильпотентных элементов).
3) Алгебра A/N (A) изоморфна прямому произведению полей K1,… , Ks, являющихся расширениями поля K.
4) s ^ [A : K].
5) Набор расширений Ki определен для алгебры A однозначно с точностью до изоморфизма (расширения K1,… , Ks
вместе с каноническими гомоморфизмами A Ki называются компонентами алгебры A).
28.60. Пусть A — конечномерная K-алгебра с 1, L — расширение поля K и Al = L 0к A. Тогда:
а) если в1,… ,вп — базис A над K, то 1 0 в1,… , 1 0 вп — базис Al над L;
6) при естественном вложении A в Al образ A является K-подалгеброй в Al.
28.61. Пусть A — K-алгебра с 1 и L — расширение поля K, L С A и A — L-алгебра. Тогда:
а) если f1,… , fn — различные K-гомоморфизмы A L, то f1,… , fn линейно независимы как элементы векторного
пространства над L всех K-линейных отображений A L;
б) число различных K-гомоморфизмов A L не превосходит [A : L].
Найдите все автоморфизмы полей Q(\/2 + \/3), Q(^2).
28.62. Пусть A — конечномерная K-алгебра с 1, L — расширение поля K. Тогда:
а) если B — подалгебра в A, то Bl — подалгебра в Al;
б) если I — идеал алгебры A и Il — соответствующий идеал в Al, то (A/I)l = Al/Il;
в) если A = Ai, то Al = П (Ai)l’;
i=1 i=1
г) если K1,… , Ks — множество компонент алгебры A, то множество компонент алгебры Al совпадает с объединением
множеств компонент алгебр (K\)l, … , (Ks)l;
д) если F — расширение поля L, то (Al)f = Af.
28.63. Пусть A — конечномерная K-алгебра с 1, L — расширение поля K, B — некоторая L-алгебра. Тогда:
а) каждый K-гомоморфизм A B однозначно продолжается до L-гомоморфизма Al Bl;
б) множество K-гомоморфизмов A L находится в биективном соответствии с множеством компонент алгебры
Al, изоморфных L;
в) число различных K-гомоморфизмов A L не превосходит [A : K].

154 Простейшие свойства полей.

Околоadmin