Определение понятия функции | ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Определение понятия функции.
Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 1: ФУНКЦИЯ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

И не забывайте поделиться этой статьёй в соц. сетях, если она Вам помогла. Возможно она нужна кому то ещё!

Определение понятия функции

Пусть Е есть множество чисел и пусть в силу некоторого
вполне определенного закона каждому числу х из
Е приведено в соответствие одно число у; тогда говорят,
что на Е задана функция, которую записывают так:
y —f (*)•
Это определение функции предложено Н. И. Лобачевским
и Дирихле *). Множество Е называют областью задания
или областью определения функции f(x ). Говорят
также, что задана независимая переменная х, которая может
принимать частные значения х из множества Е.
Каждому такому значению х в силу упомянутого закона
приведено в соответствие определенное значение (число)
другой переменной у, называемой функцией аргумента х.
Для выражения понятия функции употребляют геометрический
язык. Говорят, что задано множество точек
х действительной прямой—область определения функции-—
и закон, в силу которого каждой точке множества Е приводится
в соответствие число y — f(x ). Если мы хотим
говорить о функции как о некотором законе, приводя

---

*) Н. И. Лобачевский (1792 — 1856) — русский математик, создатель
неевклидовой геометрии. П. Г. Дирихле (1805 — 1859) — немецкий
математик.

11

щем в соответствие каждому числу х из Е некоторое
число у, то достаточно ее обозначить одной буквой f.
Символ f(x ) обозначает число у, которое в силу закона
f соответствует числу х. Если, например, число 1 принадлежит
области Е определения функции f, то /(1 )е с т ь
значение функции / в точке х = 1 . Если 1 не принадлежит
Е, то говорят, что функция / не определена в точке
х = \ .

Для функций / и ф, имеющих одну и ту же область
определения Е, определяются сумма f + ф, разность
f — Ф. произведение /ф, частное //ф. Это новые функции,
значения которых выражаются соответственно формулами
/ (-0 + ф (х), f ( x )— ф (х), f{x ) ф(х),
Ш/ (*) ‘ где хегЕ и:
здесь в случае частного предполагается, что ф ( х ) ^ 0
на Е.
Для обозначения функции употребляются и любые
другие буквы: F, Ф, 4я, . так же как вместо х, у
можно писать г, и, v, w, . . .

§ 1.5. Задание функции формулой

Возможны различные способы задания функции. Среди
них особенно важное значение имеет задание функции
при помощи формулы.
Приведем несколько примеров функций, заданных
формулами.
Постоянная функция
У — С (— ОО < х < + оо).
Каждому действительному х соответствует одно и то же
значение у, равное числу с.
Степенная функция
у = хп (— о о < х < + оо, п — 1, 2, 3, . . . ) .
При различных значениях п получим у — х, y = xi , у = х9
и т. д.
Линейная функция
y = kx-\-b.

Линейные функции

встречаются в приложениях очень
часто Многие физические законы выражаются, и притом

12

достаточно точно, линейными функциями. Например,
длина / стержня с хорошим приближением рассматривается
как линейная функция его температуры ti
l = l0-\- a t,
где а — коэффициент линейного расширения, /0— длина
стержня при t = 0. Если х— время, а у— путь, пройденный
за это время точкой, то линейная функция у = kx-\- Ь
выражает тот факт, что точка движется равномерно со
скоростью k, число же b есть расстояние точки от начала
отсчета пути в момент времени х — 0. Возможность
приближенно считать равномерными различные изменения
хотя бы на малых участках и простота линейной функции
делают ее очень употребительной.
Частным случаем линейной функции (при Ь = 0) является
прямая пропорциональность
у = kx, k ^ O .

Функция второй степени

у = ах2 — f bx + с (— o o < x < — f o o )
тоже встречается в приложениях, например, при описании
равномерного ускоренного движения.
Можно рассматривать функции третьей, четвертой и
вообще п-й степени. Функция
у = Зх*— 2л:3 -Ь х2 + х + 1 (— оо < х < — f оо)
есть пример функции четвертой степени.
Функция п-й степени, или, как ее называют, многочлен
n-й степени, получается из заданных постоянных и
степенной функции у = х при помощи действий сложения,
вычитания и умножения, взятых в конечном числе. Если
прибавить к этим действиям еще деление, то будем получать
так называемые рациональные функции, Вот примеры
рациональных функций:
—6 _ 1 + X __ 1 + X2
У х ‘ У 1—х ’ У ~~ х2 — Ъх-\-6
Рациональную функцию всегда можно записать в виде
дроби, у которой числитель и знаменатель— многочлены.
Рациональная функция определена для всех действительных
х, которые не обращают знаменатель в нуль

13

Частным случаем рациональной функции

является
функция, выражающая обратную пропорциональность
y = j (х¥=0).
Функция на различных частях ее области определения
может быть задана различными формулами. Например,
пусть поезд, вышедший из пункта А в момент ^ = 0,
шел в течение двух часов со скоростью 100 км/ ч и,
прибыв в пункт В, стоял там один час, а затем шел
дальше в течение трех часов со скоростью 80 км/ч. Тогда
функция s — f(t), выражающая расстояние (в километрах)
поезда от Л в момент времени t, очевидно будет определяться
следующими тремя формулами:
fit)-
0 < I < 2,
2 < / < 3,
3 < t < 6 .
(3)
В дальнейшем мы остановимся достаточно подробно
на тригонометрических функциях и введем новые функции—
показательную и логарифмическую.

14

Школьная математика
Математика в школе

#функция #математика #анализ #математический_анализ

Определение понятия функции