дома » Алгебра в школе » Понятие о степени с иррациональным показателем

Понятие о степени с иррациональным показателем

§ 7. Понятие о степени с иррациональным показателем

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 6
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

Понятие о степени с иррациональным показателем

Пусть а— какое-нибудь положительное число и а — иррациональное.
Какой смысл следует придать выражению а*?
Чтобы сделать изложение более наглядным, проведем его на частном
примере. Именно, положим а — 2 и а = 1 , 624121121112 . . . .
Здесь, а — бесконечная десятичная дробь, составленная по такому
закону: начиная с четвертого десятичного знака, для изображения а
употребляются только цифры 1 и 2, и при этом количество’ цифр 1,
записываемых подряд перед цифрой 2, все время увеличивается на
одну. Дробь а непериодическая, так как иначе количество цифр 1,
записываемых подряд в его изображении, было бы ограниченным.
Следовательно, а — иррациональное число.
Итак, какой же смысл следует придать выражению
21,в2Ш1Ш1Ш11Ш11Ш. . . р
Чтобы ответить на этот вопрос, составим последовательности значений
а с недостатком и избытком с точностью до (0,1)*. Получим
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Составим соответствующие последовательности степеней числа 2:
2М. 2М*; 21*624; 21’62*1; …, (3)
21Д. 21»63; 2*»62Ву 21,6Ш; . (4)
Последовательность (3) возрастает, так как возрастает последовательность
(1) (теорема 2 § 6).
Последовательность (4) убывает, так как убывает последовательность
(2).
Каждый член последовательности (3) меньше каждого члена последовательности
(4), и, таким образом, последовательность (3) ограничена
сверху, а последовательность (4) ограничена снизу.
На основании теоремы о монотонной ограниченной последовательности
каждая из последовательностей (3) и (4) имеет предел. Если

384 Понятие о степени с иррациональным показателемКабинет Математики.

теперь , окажется, что разность последовательностей (4) и (3) сходится
к нулю, то из этого будет вытекать, что обе эти последовательности,
имеют общий предел.
Разность первых членов последовательностей (3) и (4)
21-7 — 21’* = 2|,в (20*1 — 1) < 4 ( У 2 — 1).
Разность вторых членов
21’63 — 21,62 = 21,62 (2°’01 — 1) < 4 (l0 j/2f — 1) и т. д.
Разность п-х членов
0,0000. ..0 1
2>.««…(2 » — 1 ) < 4 (l0“/ 2 — 1).
На основании теоремы 3 § 6
lim 10″ / 2 = 1.
Итак, последовательности (3) и (4) имеют общий предел. Этот
предел является единственным вещественным числом, которое больше
всех членов последовательности (3) и меньше всех членов последовательности
(4), его и целесообразно считать точным значением 2*.
Из сказанного вытекает, что и вообще целесообразно принять
следующее определение:
Опр е д е л ение . Если а^> 1, то степенью числа а с иррациональным
показателем а называется такое действительное число,
которое больше всех степеней этого числа, показатели которых есть
рациональные приближения а с недостатком, и меньше всех степеней
этого числа, показатели которых — рациональные приближения а с
избытком.
Если а<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
называется такое действительное число, которое больше всех степеней
этого числа, показатели которых — рациональные приближения а
с избытком, и меньше всех степеней этого числа, показатели которых
— рациональные приближения а с недостатком.
.Если а— 1, то степенью его с иррациональным показателем а
является 1.
Пользуясь понятием предела, это определение можно сформулировать
так:
Степенью положительного числа с иррациональным показателем
а называется предел, к которому стремится последовательность
рациональных степеней этого числа при условии, что последовательность
показателей этих степеней стремится к а, т. е.
аа = lim аЧ
Ъ — *
13 Д, К. Фатщеев, И. С. Со минский

385 Понятие о степени с иррациональным показателемКабинет Математики.

Пример. Вычислить с точностью до 8,1 число 2“, если
а = 1,624121121112 . . . (а то же, что и выше).
Решение . Для приближенного вычисления 2“ заметим, что
А 1*
21>6 < 2 * < 21’т или 2 3 < 2е < 2 «•
Далее,
2!8 = 8192; |/1 П 9 2 < 90,51;
/8 1 9 2 < /9 0Д Т < 9,52; У 8192 < /9 Д 2 < 3,09.
Таким образом, 2а < 3,09.
Испытанием находим, что (3,03)5 = 255,3954324543 < 2 5 6 . Поэтому
3,03 < */23< 2 а. Выходит, что
3,03 < 2е < 3 ,0 9 .
Число 2е вычислено с точностью до! 0,06.

386 Понятие о степени с иррациональным показателемКабинет Математики.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии