Глава II. Группы. Порождающие множества групп

27 Группы. Порождающие множества групп.

3.5. Если A — подгруппа группы G, то A С (G \ A)(G \ A) и G = (G \ A)(G \ A) U (G \ A) = (G \ A). А если B —
такая подгруппа группы G, что B ^ A, то B = (B \ A).
жите, что o(ab) = то. В частности, периодическая часть этой группы не является подгруппой.
3.7. Какие из указанных множеств с операциями являются группами:
а) (A, +) (соответственно, (A \ {0} , ■)), где A — одно из множеств N, Z, Q, R, C;
б) (nZ, +), где n — натуральное число; в) ({—1, 1}, ■);
г) множество степеней данного вещественного числа a = 0 с целыми показателями относительно умножения;
д) множество всех комплексных корней фиксированной степени n (соответственно, всех степеней) из 1 относительно
умножения;
е) множество комплексных чисел с фиксированным модулем r относительно умножения;
ж) множество ненулевых комплексных чисел с модулем, не превосходящим фиксированное число г, относительно
умножения;
з) множество ненулевых комплексных чисел, расположенных на лучах, выходящих из начала координат и образующих
с лучом Ox углы ф1,ф2,- ■ ■ f n, относительно умножения;
и) множество всех непрерывных отображений f: [0 ,1 ] [0 ,1 ], для которых f(0 ) = 0 , f(1 ) = 1 , и x < y влечет
f (x) < f (y), относительно композиции?
3.8. Какие из указанных ниже отображений множества M = {1, 2 , . . . ,n} в себя образуют группу относительно
умножения:
а) множество всех (соответственно, инъективных, сюръективных, биективных) отображений;
б) множество всех четных (соответственно, нечетных) перестановок;
в) множество всех транспозиций;
г) множество всех перестановок, оставляющих неподвижными элементы некоторого подмножества S С M;
д) множество всех перестановок, при которых образы всех элементов некоторого подмножества S С M принадлежат
этому подмножеству;
Группа V4 называется четверной группой (или группой Клейна). Группа D4 изоморфна группе симметрий квад-
3.9. Какие из указанных множеств квадратных вещественных матриц фиксированного порядка образуют группу
(относительно сложения или умножения, если операция не задана):
а) множество симметрических (кососимметрических) матриц;
б) множество матриц с фиксированным определителем d;
в) множество диагональных (соответственно, невырожденных диагональных) матриц;
г) множество верхних треугольных (нильтреугольных) матриц;
д) множество верхних нильтреугольных матриц относительно операции A о B = A + B — AB;
е) множество верхних унитреугольных матриц;
ж) множество матриц вида f (A), где A — фиксированная нильпотентная матрица (т.е. An = 0 для некоторого
натурального n), f (t) — произвольный многочлен с ненулевым свободным членом;
порядков 4 и 3 соответственно. Пока-
е) множество V4 = {E, (12)(34), (13)(24), (14)(23)};
ж) множество D4 = {E, (13), (24), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234), (1432)}?
рата.
a
b (a,b Е R), где А — фиксированное вещественное число?

28 Группы. Порождающие множества групп.

3.10. Следующие совокупности функций образуют группы относительно операции композиции:
а) {x, —x, x_1, — x_1 \ x Е R \ {0}};
б) {x, 1 — x, x_1, (x — 1)x_1, x(x — 1)_1, (1 — x)_1 \ x Е R \ {0,1}};
1 1 x — 1 1 — x x + 1 x + 1 I i
в) < x, —, —x, , ——————— , , ———, ———- I x Е R \ {0, ±1}
x x x+ 1 x+ 1 x— 1 1 — x
г) {£kx, £mx_1 \ £ — первообразный корень n-й степени из единицы, 0 ^ k,m < n, а x Е R \ {0}};
д) {kx + m \ k = 0, k,m Е Zp, и x Е Zp}.
3.11. Пусть n ^ 2, а Р1, ■ ■ ■ ,Pn — различные простые числа и p{ = р1 . . . p i _ 1 Pi+ 1 ■ ■ .pn. Тогда Z = (p1 , . . ., pn),
причем ни один из элементов этого порождающего множества нельзя удалить.
3.12. Множество функций вида f(z) = aZ+db, где a,b,c,d Е C и ad — bc =0 (соответственно, ad — bc = 1 или
ad — bc = ±1 ), образует группу относительно операции композиции функций.
3.13. Если G = R \ {— 1}, то G — группа относительно операции x о y = x + y + xy.
3.14. Пусть S С G. Подгруппа (S) совпадает с множеством T С G, состоящим из единичного элемента e и всевозможных
произведений t1 ■ ■ .tn, n =1, 2, …, где либо ti Е S, либо t^1 Е S, i = 1, … , n.
3.15. 1) Каждая группа имеет порождающее множество, порядки элементов которого либо все конечны, либо все
бесконечны.
2) Если группа конечно порожденная, то каждое ее порождающее множество содержит конечное порождающее
подмножество.
3.16. Группа G = (a, b) с условием: a3 = e, b7 = e, a_1ba = b3 является циклической группой третьего порядка.
3.17. Пусть G — группа, в которой среди любых трех элементов (четырех элементов) найдутся два перестановочных
между собой (найдутся два подмножества, состоящие из двух перестановочных элементов). Тогда G
коммутативна.
3.18. Найдите все образующие группы Z. Приведите примеры образующих группы Q, будет ли она конечно порожденной?
3.19. Если A и B — подгруппы и подгруппа C содержится в A U B, то C С A или C С B. В частности, A U B —
подгруппа тогда и только тогда, когда A С B или B С A.
3.20. Пусть A, B, C, D — подгруппы группы G такие, что A U B = C U D. Тогда либо {A, B} = {C, D}, либо
левая и правая части равенства — подгруппы в G (и тогда левая часть совпадает с A или B, а правая — с C или
D).
3.21. Если a и b — неединичные элементы конечного порядка группы такие, что a_1ba = b_1, то хотя бы один из
элементов a и b имеет четный порядок.
3.22. Во всякой группе четного порядка имеется элемент порядка 2 (инволюция), причем число инволюций нечетно.
В группе нечетного порядка нет инволюций.
3.23. Найдите группу обратимых элементов кольца вычетов Zm. Будут ли эти группы циклическими при m =
5, 15, 16, 17, 18?
3.24. В группе G нечетного порядка разрешимо уравнение x2 = g для каждого g Е G.
3.25. Если порядки подгрупп A, B группы G взаимно просты, то A П B = e.
3.26. Если a2 = e для любого элемента a группы, то эта группа коммутативна.
3.27. Пусть G — группа порядка 8 и a2 = e для любого ее элемента. Тогда G имеет 16 различных подгрупп.
3.28. Все группы порядка ^ 5 коммутативны. Напишите таблицы умножения этих групп и представьте эти группы
в виде групп подстановок.
3.29. Найдите порядок элемента группы:
,/ 1 2 3 4 5 \ _ 1 2 3 4 5 6 \ _ , V3 1 .
а ) ( 2 3 1 5 4 ) Е S 5 , б ) ( 2 3 4 1 5 6 ) Е S 6 , в ) — ^ + 2 i Е C ;
г) —;1fi Е C‘;
д)
/ 0 1 0 0 \
0 0 1 0
0 0 0 1
V 1 0 0 0 J
Е GL(4,

29 Группы. Порождающие множества групп.

3.30. Если группа G обладает конечным или счетным множеством порождающих элементов, то \G\ ^ №о.
3.31. Пусть n — количество элементов порядка 6 в группе G. Тогда:
а) n = 2, если G = C*;
б) n = 20, если G = S5 ;
в) n = 0, если G = A5 .
3.32. Пусть x — элемент группы G. Тогда:
а) если o(x) = то, то xn = xm в том и только в том случае, когда n = m;
б) если o(x) = n, то xk = e в том и только в том случае, когда k делится на n; xm = xs в том и только в том
случае, когда m — s делится на n;
в) если группа G конечна, то G = (x) в том и только в том случае, когда o(x) = \G\.
Найдите порядок элемента xn. Когда элементы xn и xm имеют одинаковые порядки?
3.33. Пусть в группе все неединичные элементы имеют одинаковый порядок p. Тогда p — простое число.
3.34. Существуют ли бесконечные периодические группы?
3.35. Пусть G = (a) — циклическая группа порядка n. Тогда:
а) элемент ak является порождающим для группы G тогда и только тогда, когда (k, n) = 1, значит, число таких
элементов равно значению f (n), где f — функция Эйлера;
б) всякая подгруппа группы G порождается элементом вида ad, где d — некоторый делитель числа n;
в) для всякого делителя d числа n существует единственная подгруппа группы G порядка d;
г) если (n, k) = 1, то в G разрешимо уравнение xk = a.
3.36. Группа простого порядка является циклической и любой ее неединичный элемент будет образующим группы.
3.37. Найдите число элементов порядка pm в циклической группе порядка pn, где p — простое число, m =
1 , 2,… , n.
Группа называется локально циклической, если каждое ее конечное подмножество порождает циклическую подгруппу.
Ясно, что такая группа коммутативна.
Пара (A,B) подгрупп A и B группы G называется дистрибутивной, если для всякой подгруппы C группы G
выполняется дистрибутивный закон C П (A, B) = (C П A, C П B).
Порядком элемента c относительно подгруппы A называется такое наименьшее n Е N, что cn Е A.
3.38. 1) Подгруппы A и B тогда и только тогда образуют дистрибутивную пару, когда порядки относительно A
и B любого элемента c Е (A, B)\ (A U B) конечны и взаимно просты.
2) В группе G решетка ее подгрупп дистрибутивна тогда и только тогда, когда G — локально циклическая группа
(решетка подгрупп определяется в начале § 1 ).
3) Если подгруппы A и B таковы, что AB = BA, то выполняется модулярное тождество: C П (A, B) = (A, C П B)
для всякой подгруппы C со свойством A С C.
3.39. Найдите все подгруппы групп: Z6 , Z2 4 , V4 и S3 .
3.40. Перестановочные элементы a, b взаимно простых порядков n и m порождают в группе циклическую подгруппу
порядка nm.
3.41. Для любых элементов a, b, c группы G:
а) o(a) = o(a-1); б) o(a) = o(bab-1);
в) o(ab) = o(ba); г) o(abc) = o(bca) = o(cab).
3.42. Пусть G — конечная группа, и m — наименьшее среди натуральных чисел s таких, что gs = e для всякого
элемента g Е G. Докажите, что:

30 Группы. Порождающие множества групп.

а) m делит \G\ и равно наименьшему общему кратному порядков элементов группы G, т.е. m = exp(G);
б) если группа G коммутативна, то существует элемент g Е G порядка exp(G);
в) конечная коммутативная группа G является циклической тогда и только тогда, когда exp(G) = \G\;
г) конечная p-группа G является циклической тогда и только тогда, когда exp(G) = \ G \ .
3.43. 1) Решетка подгрупп циклической группы порядка pn, где p — простое число, образует цепь.
2) Найдите все конечные группы, в которых подгруппы образуют цепь.
3) Представьте группу Q в виде объединения возрастающей цепочки циклических подгрупп.
Движением евклидовой плоскости называется любое отображение этой плоскости на себя, сохраняющее расстояние
между точками. Если F — произвольная фигура на евклидовой плоскости, то множество всех движений плоскости,
переводящих F на себя, с операцией композиции (последовательного выполнения) двух движений, является группой;
она называется группой симметрий фигуры F.
3.44. Опишите группы симметрий:
а) правильного треугольника; б) квадрата;
в) ромба; г) правильного n-угольника.
3.45. Всякая бесконечная группа имеет бесконечное число подгрупп.
3.46. Группа Q локально циклическая и каждая ее подгруппа является либо бесконечной циклической группой,
либо объединением возрастающей последовательности бесконечных циклических групп.
3.47. Группы заданы порождающими множествами элементов и определяющими соотношениями. Выясните, какие
из них коммутативны:
а) G1 = (x1 , x2 , ■ ■ ■ ) и x‘n = xn_ 1 при n = 2, 3, … ;
б) G = (x, y) и xy2 = y2 x;
в) G1 = (x1 , x2 , ■ ■ ■ ) и x‘n = x1 при n = 2, 3, … .
3.48. Пусть G — коммутативная группа восьмого порядка. Если G — нециклическая группа, то или G обладает
порождающим множеством из двух элементов a и b, относительно которых выполняются соотношения a4 = b2 =
e, или G обладает порождающим множеством из трех элементов a, b, c, относительно которых выполняются
соотношения a2 = b2 = c2 = e.
3.49. 1) Множество всех элементов группы C*, порядки которых есть степени данного простого числа p, является
в ней подгруппой (эта подгруппа обозначается через Zp^ и называется квазициклической p-группой).
2) Zp« = LJ Zpn, где через Zp» обозначено множество всех комплексных корней степени pn из единицы.
3) Zp~ есть бесконечная группа, каждая собственная подгруппа которой совпадает с некоторой Zp».
4) Группа Zp~ не имеет максимальных подгрупп.
3.50. В нижеприведенной диаграмме изображены все подгруппы знакопеременной группы A4 . Символом V4 обозначена
четверная группа, а возле других вершин диаграммы поставлены образующие циклических подгрупп.
Элемент группы G называется непорождающим, если его можно удалить из любого множества порождающих
элементов группы G, в которое он входит.
3.51. 1) Множество S всех непорождающих элементов группы G совпадает с подгруппой Фраттини $(G).
2) Ф^) = 0. 3) Ф^) = $(An) = e.
4) Ф^) = G, если G = Q или G = Zp«.

31  Группы. Порождающие множества групп.

Говорят, что в группе G выполняется условие максимальности (для подгрупп), если всякая возрастающая цепочка
ее подгрупп H1 С H2 С … обрывается, т.е. Hn = Hn+ 1 = ■ ■ ■ при некотором n.
3.52. В группе G выполняется условие максимальности для подгрупп тогда и только тогда, когда все ее подгруппы
конечно порождены.
3.53. Пусть в конечной группе G любые два элемента порождают циклическую подгруппу. Какова G?
3.54. Пусть в функциональном уравнении
a1f(g1 ) + ■ ■ ■ + anf(gn) = b
функции g1 (x) = x, g2 (x), .. ■, gn(x) образуют группу (относительно композиции), где a1 , ■ ■ ■ , an, b — некоторые
функции от x. Замена x gi (i = 2, ■ ■ ■ , n) дает (вместе с исходным уравнением) систему n уравнений, которую
используют для нахождения решения.
Решите уравнения:
а) 2 f ( 1 — x) + 1 = x f (x); б) x f (x) + 2 f (f+1 ) = 1 ;
в) 2 x f (x) + f (=2 x; г) xf ( x ) + 2 f ( — f) = 3 ;
д) f (гл) + xf (i) =2; е) f (x) + f (ff1 ) = 1 — x.
3.55. Пусть Fq — поле из q = 9 элементов и a — образующий циклической группы Fq. Докажите, что SL(2, Fq)
порождается двумя матрицами

32 Группы. Порождающие множества групп.