§ 1. Основные определения
ЧАСТЬ II. ГЛАВА V
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Основные определения
В этой главе мы познакомимся с одним из основных понятий
математики — с понятием последовательности. Простейшим приме- ;
ром последовательности служит последовательность всех натуральных
чисел
1, 2, 3, 4, . . . , (1)
расположенных в порядке возрастания. Другими примерами являются; i
а) последовательность всех чисел, обратных натуральным
I 2 J*_ з J>L 4 J*L •••» (2)
расположенных в порядке убывания;
б) последовательность всех нечетных чисел первого десятка i
1, 3, 5, 7, 9, (3)
расположенных в порядке возрастания.
Каждое число, входящее в последовательность, называется членом
последовательности.
Последовательности могут быть как бесконечными, число членов
которых бесконечно, так и конечными, число членов которых конечно.
Например, последовательность (1) бесконечная, последовательность
(3) конечная.
Член последовательности, находящийся на первом месте, называется
первым членом этой последовательности, член последовательности,
находящийся на втором месте, называется вторым членом
последовательности и т. д. Таким образом, каждый член последовательности
имеет свой номер, который указывает место этого члена
в последовательности.
Если последовательность задана и известен номер места, которое
занимает число в этой последовательности, то известно и само число.
Например, в последовательности (1) на тысячном месте находится 1000.
В последовательности (2) на двадцатом месте находится i
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ
341 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ. Паспорт кабинета математики 2016.
В последовательности (1) все члены различны между собой.
То же самое можно сказать о последовательностях (2) и (3). Примерами
последовательностей, среди членов которых имеются равные
друг другу числа, являются:
а) последовательность
1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . , (4)
в которой на месте с нечетным номером находится 1, а на месте
с четным номером находится 0;
б) последовательность
5, 5, 5, 5, …, , (5)
на каждом месте которой находится число 5.
Последовательности (1), (2), (3), (4), (5) были заданы посредством
описания их словами. Другой способ задания последовательности состой г
в том, что дают формулу ее общего члена. С этой целью члены
последовательности обозначаются буквами. Например, так: щ — первый
член, щ — второй член и т. д. Таким образом последовательность
имеет вид
1*1, иъ w3, …
Если теперь указать как ип выражается через свой номер л, последовательность
будет задана. Член ип называется общим членом последовательности.
Например, общий член последовательности (1) определяется формулой
ип = п\
общий член последовательности (2) определяется формулой
общий член последовательности (4) определяется формулой
_ i+(-iy»+i
и п 2
общий член последовательности (5) определяется формулой
м„ = 5.
Иногда последовательность обозначается знаком
{ и п }■
Например, {~~}— последовательность всех чисел, обратных нату-
ральным.
Если формула общего члена последовательности известна, можно
по этой формуле вычислить любой член последовательности, не вы
342 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ. Паспорт кабинета математики 2016.
числяя при этом предыдущих. Бывают случаи, когда формула общего
члена последовательности неизвестна, но известно правило, пользуясь
которым, можно вычислить любой ее член. В таких случаях последовательность
считается также заданной. Например, правило приближенного
извлечения квадратного корня из чисел известно, поэтому
можно считать заданной последовательность
1; 1,4; 1,41;…
десятичных приближенных значений с точностью до 1; 0,1; 0,01;…
с недостатком.
При любом способе задания последовательности каждый член ее
определяется номером занимаемого им места. Поэтому возможно
такое определение последовательности: последовательность — это
функция натурального аргумента. Каждый член последовательности
является соответствующим значением функции. Например, последовательность
j ~ J получится, если в выражении давать аргументу п
значения 1, 2, 3, . . .
Последовательность называется возрастающей, если каждый последующий
член ее не меньше предыдущего, т. е. если
и*+1^ Ил-
Последовательность называется строго возрастающей, если каждый
последующий член ее больше предыдущего, т. е. если
Например, последовательность всех простых чисел, расположенных
в порядке их возрастания:
2, 3, 5, 7, 1 1 ,…
есть возрастающая последовательность (строго возрастающая).
Последовательность называется убывающей, если каждый последующий
член ее не больше предыдущего, т. е. если
Ил-
Последовательность называется строго убывающей, если каждый
последующий член ее меньше предыдущего, т. е. если
Например, последовательность всех чисел, обратных простым, расположенная
в порядке их убывания, т. е.
1 1 1 1 J L
2 9 3 * 5 ‘ 7 ‘ II ’ •••
есть убывающая последовательность (строго убывающая).
343 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ. Паспорт кабинета математики 2016.
Последовательность называется ограниченной, если все члены ее
по абсолютной величине меньше некоторого числа. Например, последовательность
_ ± 1 _ JL 1
2 9 4 9 8 9 16* •••*
общий член которой ип — ^ j , — ограниченная. Все члены этой
последовательности по абсолютной величине меньше единицы.
Последовательность называется неограниченной, если для любого
числа М найдется такой член последовательности, который по абсолютной
величине больше М. Например, последовательность
— 1, 2, — 3, 4, — 5, 6, …,
общий член которой ип = {— 1 )»л ,— неограниченная.
Последовательность называется постоянной, если все члены ее
равны между собой. Например, последовательность
5, 5, 5, • • •)
общий член которой ип — 5, — постоянная.
Упражнения
Выписать несколько первых членов последовательности, общий член
которой
1. «„=1. 2. ип — 2п — 1. 3. «„ = ( — ! ) » . 4. «п = (-1)»«2»
5. Доказать, что общий член последовательности, первый член которой
единица, а каждый последующий, начиная со второго, на единицу больше
удвоенного предшествующего, определяется формулой
344 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ. Паспорт кабинета математики 2016.
Околоadmin
Comments