дома » Библиотека учителя » Построение сечений многогранников

Построение сечений многогранников

Построение сечений многогранников
плоскостью

Г л а в а I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РАБОТЕ
С ИЗОБРАЖЕНИЯМИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР

А. Б. ВАСИЛЕВСКИЙ

Главная страница РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по СТЕРЕОМЕТРИИ

Научно-исследовательский институт
педагогики Министерства просвещения БССР

Скачать PDF файл metodika-obuchenia

СТЕРЕОМЕТРИЯ

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Ниже текст только для быстрого ознакомления с темой. В нём формулы отображаются некорректно. Качественный текст смотрите в оригинале (формат PDF) по ссылке выше.

5. Построение сечений многогранников
плоскостью

В литературе описаны различные конструктивные методы
построения сечений многогранников плоскостью. Коротко
опишем сущность этих методов.
Метод следов. Строится прямая I (след) пересечения секущей
плоскости с плоскостью основания пирамиды (призмы).
Находятся точки пересечения прямой I с плоскостями
боковых граней и диагональных сечений пирамиды (призмы).
Эти точки вместе с данными точками секущей плоскости
определяют прямые, которым принадлежат стороны
(диагонали) искомого сечения.
Пр и м е р . Дано изображение четырехугольной пирамиды
МАВС (рис. 42). Точка Բ £ fAM], Е 6 ШЬ],
К 6 \МВ]. Постройте сечение пирамиды плоскостью РКЕ.
Для построения следа I секущей плоскости РКЕ с плоскостью
основания ABCD пирамиды необходимо найти две
точки, принадлежащие плоскостям РКЕ и ABC.
Строим точки Y = (РЕ) Ո (AD) и X = (РК) Ո (АВ).
Прямая XY является следом I, так как точки X и Y
принадлежат плоскостям ABC и РКЕ.
Для построения точки пересечения секущей плоскости
с ребром СМ (или его продолжением) найдем точку Н пересечения
следа I с плоскостью А СМ (этой плоскости принадлежит
прямая CM).t
Очевидно, точка Н = /(«|(ЛС).

29

Строим точку F = (PH) Ո (МС).
Четырехугольник PEFK — искомое сечение.
Метод деления ո-угольной пирамиды (призмы) на треугольные
пирамиды (призмы). Кз данной п-угольной
призмы (пирамиды) выделяется та треугольная призма
(пирамида) п, на бокевых ребрах которой лежат точки, определяющие
искомое сечение.
Строится сечение этой треугольной
призмы (пирамиды). Строятся
сечения тех треугольных
призм (пирамид), которые имеют
общие части с фигурой я.
Пр и м е р . Дано изображение
пятиугольной призмы
ABCDEA1B1C1D1E 1 (рис. 43).
Точка Р 6 Ш Д Н е
Т £ [B B J. Постройте сечение
призмы плоскостью РНТ. ՜
Замечаем, что треугольник
РНТ является сечением треугольной
призмы АВЕА1В1Е 1.
С этой призмой имеют общие
части призмы Л вС Л ^С х и
ADEA D Е
Обозначим М — (АС) Ո (BE), К — (AD) Ո (BE), Мх = = М А ) ո ( а д ) , к, = ( л а ) ո ( а д ) . Очевидно, отрезок ММг является пересечением боковых
граней ЛССгЛ! и В Е Е ^ х призм АВСА1В1С1 и
А В Е А ^ Е -լ. Поэтому существует точка Q = (ТН)-{\ (ММ-լ).
Теперь понятно, что треугольник PTY (Y = (PQ) f|
Ո (CCj)) является сечением призмы АВСА1В1С1 плоскостью
РНТ.
На основании аналогичных рассуждений получаем
F = (ТН) Ո (ККг) и X = (PF) Ո (DDX).
Треугольник РНХ — сечение призмы ADEA1D1El
плоскостью РТН.
Пятиугольник PTYXH — искомое сечение.
Метод дополнения ո-угольной пирамиды (призмы) до
треугольной пирамиды (призмы). Данная призма (пирамида)
достраивается до треугольной призмы (пирамиды).
Строится сечение полученной треугольной призмы (пирамиды).
Искомое сечение получается как часть сечения треугольной
призмы (пирамиды).
30

Пр и м е р . Дано изображение пятиугольной пирамиды
MABCDE (рис. 44). Точка F £ \АМ], точка Т £ [MCI.
Постройте сечение пирамиды плоскостью FBT.
Строим Р = (ВС) Ո (DE), К = (/4В) Ո (£>£)•
Соединяем отрезками точки М и К, Р и и получаем
треугольную пирамиду МКВР, частью которой является
данная пятиугольная пирамида.
Строим сечение пирамиды МКВР плоскостью FBT.
X = (FB) Ո (КМ), Y = (ВТ) Ո (МР).
Треугольник XYB — сечение пирамиды МКВР плоскостью
FBT. Получаем Q = (ЕМ) Ո (^Ю> Н — (MD) Ո
Ո (XY).
Пятиугольник QHTBF — искомое сечение данной пятиугольной
пирамиды.
Метод параллельных прямых. В основу метода положено
свойство параллельных плоскостей «Прямые, по которым
плоскость пересекает данные параллельные плоскости, параллельны
между собой».
Поясним сущность этого метода примером.
П р и м е р. Дано изображение пятиугольной призмы
ABCDEA1B.1C1D1E1 (рис. 45). Точка К € lAAJ, точка
М £ [ССХ]. Постройте сечение призмы плоскостью КВМ.
Через ребро АА1 проводим плоскость а , параллельную
грани BCCjBx. Получаем
Р = (ED) Ո « , Pi = (BjDj) Ո а.
F = (CD) Ո « , F , = (CjA) Ո
31

Очевидно, (AiFj) || ( В ^ ) и (AF) || (ВС).
Так как а параллельна грани ВССгВг, то секущая плоскость
КВМ пересечет плоскость а по прямой (КХ) || (ВМ)
(X 6 l/Э Д . Получаем О = (P P J Ո (КХ), Т — (MX) f|
Ո ( В Д . У = (ЕЕ!) ո (ТО).
Пятиугольник КВМ TY — искомое сечение данной
призмы.
Метод переноса секущей
плоскости. Сначала строится
такое вспомогательное сечение
данного многогранника, которое
удовлетворяет следующим
требованиям:
а) оно параллельно секущей
плоскости;
б) в пересечении о поверхностью
данного многогранника
образует треугольник.
Рис. 46. После этого искомое сечение
строится на основании
свойств прямых, по которым две параллельные плоскости
пересекаются третьей плоскостью.
Пр и м е р . Дано изображение пятиугольной усеченной
пирамиды ABCDEA1B 1C1D1E 1 (рис. 46). Точка
К в [AAj], М 6 [BB J, Р 6 [ЕЕ-ձ- Постройте сечение
пирамиды плоскостью КРМ.
Строим
№ i ) II (КМ), (КгРг) II (КР).
Получаем треугольник /С ^ В , который является сечением
данной усеченной пирамиды. Причем плоскости KiPiB и
КРМ параллельны. Имеем О — (AD) Ո (PiB), Н — (РХВ) Ո
Ո (АС).
Через точку К проводим прямые I и /, соответственно
параллельные (КхО) и (К^Н). Получаем
0 Х = I Ո (AD), Ht = f Ո (AC), X = (О Д Ո (ЛСД,
Y = (CD) Ո (ОгН,), Т = (ED) Ո (01Я1).
Пятиугольник KMXYTP — искомое сечение.
Можно выделить несколько этапов ознакомления учащихся
IX—X классов с рассмотренными выше конструктивными
задачами.
32

1. При изучении аксиом стереометрии построение сечений
выполняется исключительно на основе этих аксиом.
Главное назначение этих построений — развитие пространственного
воображения и отработка техники отыскания точки
пересечения прямой и плоскости. Система таких упражнений
описана в п. 1, гл. II.
2. При повторении темы «Параллельность прямых и
плоскостей» сечения строятся на основании свойств параллельных
плоскостей. Особенно часто используется теорема
о прямых, по которым пересекаются две параллельные плоскости
третьей плоскостью. Построения выполняются в основном
на изображениях куба и параллелепипеда (у этих
многогранников противоположные грани расположены в
параллельных плоскостях).
3. Построение сечений при повторении темы «Перпендикулярность
прямых и плоскостей» дает возможность учащимся
не только глубоко усвоить основные вопросы этой
темы, но и ознакомиться со многими важными свойствами
призм и пирамид.
При повторении раздела «Параллельные и ортогональные
прямые и плоскости» можно использовать упражнения
16—20 (п. 2, гл. II).
4. В теме «Многогранники, их поверхности и объемы»
построение сечений выполняется на основании свойств
конкретных пирамид и призм. Изображения пространственных
и плоских фигур, выполненные по всем правилам
параллельной проекции, предостерегают учащихся от серьезных
ошибок при решении самых различных задач на вычисление.

33

СТЕРЕОМЕТРИЯ

СТЕРЕОМЕТРИЯ 9 класс, СТЕРЕОМЕТРИЯ 10 класс, Пространственные фигуры

#СТЕРЕОМЕТРИЯ #Математика

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.
Интернет бизнес с нуля

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии