Предел последовательности

| ПРЕДЕЛ

Предел последовательности.

Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Арксинус: Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 3: ПРЕДЕЛ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛ

§ 3.1. Список основных формул тригонометрии

Метод пределов—это основной метод, с которым оперирует
математический анализ.
Чтобы уяснить, что такое предел, начнем с классической
задачи. В прямоугольной системе координат задана
фигура, ограниченная
параболой (рис. 65) у =
= х 2, осью х и прямой
х — \. Требуется найти
ее площадь. Вот как можно
поступить.
Разделим отрезок
[О, 1] оси х на п равных
частей точками
2_ п — 1 .
О,’ -п п ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ п ’
и построим на каждон
из этих частей прямоугольник,
левый верхний
угол которого достигает
параболы. Тогда
получим заштрихованные на рис
сумма площадей которых S n, очевидно, равна
S„ = ° — 7 + ( t ) ТГ+( 4 ) ¥ + ••• + Т =
Р + 22+ — — . + ( « — 1)а (я— 1) п (2п— 1$ *
п3 6 п3
11 прямоугольники,
)•
*) Мы воспользовались формулой
12 + 22+ . . . + (>г— 1)2 = (п— 1) п (2п- 1)
которая может быть введена следующим образом. Сложив левые
и правые части равенств (k-\-\)3— А® = 3&2-J-З А 1, соответствующих
значениям k = \ , 2, п— 1, получим уравнение
я, _ 1 = З а ._ 1 + £ Й ^ + » — 1 . где а „ _ 1 = 1? + 22 + … + (и ^ 1 )2.
Решив его, получим оп_± —(п- ■ 1) п (2п — 1)

63

Представим S n в виде
Sn = J + ( ‘бп^~~2п) ==Т + а о-
Величина а„ хотя и имеет сложный вид, но обладает
замечательным свойством: она стремится к нулю при неограниченном
возрастании п. Такие величины называют
бесконечно малыми.
Бесконечно малой называется переменная величина
а„, зависящая от натурального п, стремящаяся к нулю
при неограниченном возрастании п.
Дадим формальное определение бесконечно малой величины.
Величина а п, зависящая от натурального значения п,
называется бесконечно малой, если, как бы ни было малое
заданное положительное число е, найдется число N > О
настолько большое, что выполняется неравенство
K I < е
для всех п > N.
Сумма S n площадей заштрихованных на рис. 65 прямоугольников
есть тоже переменная величина,зависящая от
натурального п. Мы показали, что она может быть записана
следующим образом:
3 = ‘з» + а „>
где а п есть бесконечно малая величина. Но тогда естественно
считать, что S n стремится при неограниченном воз-
растании п к числу 1 , и естественно считать, что 5о = —i
есть площадь рассматриваемой фигуры. Поставленная задача
решена.
В ходе рассуждений мы, во-первых, дали определенные
площади рассматриваемой фигуры как числа S, к которому
стремится сумма S n площадей заштрихованных на
рис. 65 прямоугольников при неограниченном возрастании
п, а во-вторых, нашли это число. Оказалось, что
S — —3 ‘
Дадим определение предела. Пусть задана переменная
х п, зависящая от натурального п = 1, 2, . . . Если
х п можно записать в виде суммы
*,г = а + а„ (п = 1, 2, 3, . . . ) ,

64

где а—некоторое постоянное число, а п—бесконечно малая,
то говорят, что х п имеет своим пределом число а или хп
стремится к а , и пишут
lim х п — а
Я со
ИЛИ
х п —*■ а (п —>■ оо).
Приведем примеры переменных величин, зависящих от
натурального т
1 1 (—1)»
х п — п . Уп— п . Zn — п *
0 < ( ? < 1 , un = i z i = l — I ,
Wn = (— 1)», р„ = а.
Переменные у п, гп и и„—бесконечно малые; хп
и ип стремятся к нулю, принимая положительные значения,
убывая; у п стремится к нулю, принимая отрицательные
значения, возрастая; a z n стремится к нулю, колеблясь.
Величина vn стремится к 1 / lim y„ = lV
\ П -> 00 )
Переменная (3„ есть на самом деле постоянная, равная
для любого п одному и тому же числу a (limP„ = a). Что
же касается величины wa, то она ни к какому пределу
не стремится, принимая последовательно значения + 1
и —1.
Очевидно, если а„ есть бесконечно малая, то ее предел
равен нулю’
lim a„ = 0.
П -+ 00
Пр и ме р .
lim п I -1 п — lim. VГ 1 + ~«т2 1У = 1*

УПРЖНЕНИЯ

1. Найдите пределы переменных, представляя их как
сумму постоянной и бесконечно малой!
а) lim ; б) lim ;
М 00 п -*■ 00
в)ч lim —пя —— 3 ; г) , .l.i m л + 2

65

#ПРЕДЕЛ #математика #анализ #математический_анализ

Тригонометрические функции

Школьная математика
Математика в школе

Околоadmin