Предварительные сведения

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ

G понимается «нетривиальная» (= в’ G) подгруппа.
В книге используются элементарные свойства перестановок, матриц, определителей. Термины «отображение» и
«функция» являются синонимами. Встречающиеся термины «инъективное (сюръективное, биективное) отображение
» имеют обычный смысл. Вместо «биективное отображение» говорим также «биекция» или «взаимно однозначное
соответствие».
Отображение множества A в себя называется преобразованием множества A. Подразумеваются известными основные
свойства таких операций над множествами как пересечение, объединение, разность и декартово произведение.
А также стандартные факты о счетных и континуальных множествах.

Список обозначений и терминов.

Используются следующие общепринятые обозначения:
N — множество всех натуральных чисел, No = N U {0}, Z — группа или кольцо целых чисел, Q — группа или поле
рациональных чисел, R и C — группы или поля вещественных и комплексных чисел соответственно, R+ — множество
всех положительных вещественных чисел, R+ — мультипликативная группа положительных вещественных
чисел. Zn — группа или кольцо вычетов по модулю n, так же обозначается любая циклическая группа порядка n;
Zp (или Fp) — поле из p элементов; Zp — группа или кольцо целых p-адических чисел; Zp^ — квазициклическая
p-группа; Z[i] = {m + ni | m’ n E Z} — кольцо целых гауссовых чисел; P(M) или 2M — множество всех подмножеств
множества M.
Если п — подмножество множества всех простых натуральных чисел П, то через Q(x) (соответственно, через Qx)
обозначается группа или кольцо всех рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с каждым p E П\п
(соответственно, с каждым из p E п). В частности, пишут Q^p’) (соответственно, Qp), если п = {p}.
S(Q) — группа всех биекций множества П.
Sn и An — симметрическая и знакопеременная группы степени n, соответственно.
V4 — четверная группа.
Qs — группа кватернионов.
Dn — группа диэдра (группа симметрий правильного n-угольника).
GL (n’ K) и SL (n’ K) — соответственно, полная и специальная линейные группы степени n над полем K.
а9 — элемент группы, сопряженный с а при помощи g.
aG — класс сопряженных элементов группы G, содержащий а.
о (а) — порядок элемента а группы G.
Если порядки элементов группы G ограничены в совокупности, то exp(G) — наименьшее общее кратное порядков
ее элементов.
A х B — прямое произведение групп A и B.
A X B — полупрямое произведение групп A и B.
Gx0 — стабилизатор в G точки xo E П при действии группы G на множестве П.
G’ — коммутант группы G.
Z(G) — центр группы G.
t(G) — периодическая часть группы G.

10 Предварительные сведения. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ 

Nh(M), Ch(M) — нормализатор, соответственно, централизатор подмножества M в подгруппе H группы G (если
H = G, то индекс H обычно опускают).
Aut G, Inn G — группа автоморфизмов, соответственно, внутренних автоморфизмов группы G.
Hol G — голоморф группы G.
Единица моноида, а также единичная подгруппа (если специально не оговорено) обозначается через в.
Матрица нильтреугольная — треугольная матрица (верхняя или нижняя) с нулями на главной диагонали.
Матрица унитреугольная — треугольная матрица (верхняя или нижняя) с единицами на главной диагонали.
H — алгебра вещественных кватернионов.
Са — алгебра Кэли.
Если R — кольцо, то через M(nR), R [x], R [[x]], R (x) обозначены соответственно, кольцо квадратных матриц
порядка n, кольцо многочленов, кольцо формальных степенных рядов и кольцо рядов Лорана над кольцом R.
R+ — аддитивная группа, Z(R) — центр, а U(R) или R* — группа обратимых элементов (по-другому, мультипликативная
группа) кольца R.
Ri 0 … 0 Rm ( 0 Ri) или Ri х … х Rm (^ Ri) — прямая сумма или произведение колец Ri’… ’ Rm.
i=i i=i
П Ri — произведение колец Ri, i E I.
iel
R0 — прямое произведение m изоморфных копий кольца R, где m — некоторое кардинальное число.
Ai 0 … 0 Am — прямая сумма идеалов Ai’… ’ Am некоторого кольца.
End R — полугруппа эндоморфизмов, Aut R — группа автоморфизмов кольца R.
RG — групповое кольцо группы G над кольцом R.
(а) — главный идеал, порожденный элементом а коммутативного кольца.
(a’ b) и [а’ b] — наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное элементов a’ b коммутативной области.
Если d = 1 — целое число, свободное от квадратов, то Q(vd) = {а + b\/d | a’b E Q} — квадратичное расширение
поля Q, Z[Vd] = {m + n\/d | m’ n E Z}.
L(M) — решетка подмодулей модуля M.
J(M) — радикал, Soc M — цоколь, Ann M — аннулятор модуля M.
Ker ф — ядро группового, кольцевого или модульного гомоморфизма <р.
Ai + … + An (^ Ai) — сумма подмодулей Ai некоторого модуля.
iei
Ai 0 … 0 An — (конечная) прямая сумма модулей Ai’… ’ An.
0 Ai (П Ai) — прямая сумма (прямое произведение) модулей Ai, i E I.
ie i€i
0 A (П A или A0) — прямая сумма (прямое произведение) m изоморфных копий абелевой группы или модуля A,
где m0— некоторое кардинальное число.
Hom(A’ B) — группа гомоморфизмов группы A в абелеву группу B.
Horn# (M’ N) — группа гомоморфизмов из R-модуля M в R-модуль N.
End A — кольцо эндоморфизмов абелевой группы A.
End# M, Aut# M — кольцо эндоморфизмов, соответственно, группа автоморфизмов R-модуля M.
A 0 B, A <3# B — тензорное произведение абелевых групп A и B, соответственно, R-модулей A и B.
я=! — квазиравенство.
~ — квазиизоморфизм.
m | а — целое число m делит элемент а абелевой группы.
Если A — абелева группа и a E A, то:
r(A), ro(A) — ее ранг, соответственно, ранг без кручения;
h£(a) или hp(a) — p-высота элемента а;
hp(a) — обобщенная p-высота элемента а;
если не оговорено, то Ap — p-компонента;
nA (соответственно, A[n]) — подгруппа {na | a E A} (соответственно, {a E A | na = 0});
A1 = P|П-i nA — первая ульмовская подгруппа группы A;

11 Список обозначений и терминов. 

A• — ее копериодическая оболочка.
H(а) — индикатор элемента а p-группы.
H(a) — высотная матрица элемента а.
Хл(а) или х(а) — характеристика элемента а в абелевой группе без кручения A.
Q End A — кольцо (или алгебра) квазиэндоморфизмов группы без кручения A.
Ext (С’ A), Pext (С’ A) — группа расширений, соответственно, группа чистых расширений абелевой группы A при
помощи абелевой группы С.
Tor (A’ С) — периодическое произведение абелевых групп A и С.
Mult A — группа кольцевых умножений на абелевой группе A.
Если f: A B — функция множества A в множество B и a E A, то f (а) или af обозначает образ элемента а при
действии функции f, скобки иногда опускаются; Im f — образ функции f; если С С A, то fC = Сf = {fc | c E С},
f | С — ограничение f на С. RA — кольцо всех функций из множества A в кольцо R. Если g: B С — еще одна
функция, то композиция функций f и g обозначается g о f, где (g о f )(a) = g(f (a)).
AAB = (A \ B) U (B \ A) — симметрическая разность множеств A и B.
Обозначения и термины, не столь часто используемые, даются по ходу изложения.
ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ
A а B в Г Y Д S E £ Z Z H п © 9
Альфа Бета Гамма Дельта Эпсилон Дзета Эта Тэта
11 K к ЛЛ M р N v S £ O о П п
Йота Каппа Ламбда Мю Ню Кси Омикрон Пи
р р £ а T т Y и Ф ф (или ф) X X Ф ф О, и
Ро Сигма Тау Ипсилон Фи Хи Пси Омега

12 Список обозначений и терминов.