ГЛАВА III ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЦЕЛЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ЕГЭ 2015 Математика. Библиотека учителя. Школьная математика.

Купить книги по математике за низкие цены:

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

§ 1. Цель алгебраических преобразований

При решений задач с помощью злгебры обычно приходится производить
арифметические действия над алгебраическими выражениями.
Причем непосредственно записанный результат получается в виде
нового и часто более сложного выражения.
Пусть, например, требуется к сумме двух чисел а и Ь прибавить
их разность. Записывая. указанные действия, мы получим результат
в таком виде:
(а + Ь) + (а-Ь).
Однако это выражение можно упростить, если воспользоваться свойствами
сложения. Именно, в силу сочетательного и переместительного
законов сложения, результах ореобр^зуехс^ так:
+ + = а-^а-\-Ь — # =
= (я + я)Н-(£ — Ь) = 2а.
Выражения (а-[-£)-)-(а— Ь) и 2а равны тождественно, т. е.
равенство между ними справедливо при всех значениях букв а и Ь.
Переход от одного алгебраического выражения к другому, тождественно
равному ему, называется тождественным преобразованием,
Такого рода преобразования,, которые большею частью ведут
к упрощению записи результата, .почти всегда возможны при действиях
над алгебраическими выражениями. Настоящая глава содержит
описание приемов, применяемых при*таких преобразованиях. Этому же
вопросу посвящены и две следующие главы.

§ 2. Типы алгебраических выражений.

Определение. Алгебраические выражения, представляющие
собой запись арифметических действий (сложения, вычитания, умножения,
деления и возведения в степень), производных над числами
и буквами, называются рациональными алгебраическими выражениями*

79 Цель алгебраических преобразований. Типы алгебраических выражений 

Рациональное выражение называется целым> если среди указанных
в нем действий нет действия деления на выражение, содержащее
буквы. Если же такое действие имеется, то выражение называется
дробным. Так, выражения
(За-f- bf— labc, ~ ху— (o,3Zc — j dj,
{а b) (a — 2bf+ (-1 а -1 b ) (?л + 9*)
‘ ‘ . 43 — 35 : ‘ : •
являются целыми. В последнем примере указано действие деления,
но выражение 43 — 35, на которое нужно делить, не содержит
букв.
В то же время выражения
а с
—а +-п b;. (, a■lb .) v- —’ с, ————Ъ— ——dа 3: а8 о к
о — b 9 4 7 ’ JLjlJL
Ъ + d
являются выражениями дробными.
Заметим, что дробное алгебраическое выражение может равняться
целому. Так, а%:а*=а. Поэтому рациональные выражения разделяют
на целые и дробные в том виде, в котором они заданы непосредственно,
до всяких преобразований.
В этой главе мы будем заниматься преобразованием только целых*
выражений. Среди целых выражений особенно простыми являются так
называемые одночлены.
Одночленами называются произведения, составленные из числового
множителя (коэффициента) и одной или нескольких букв, каждая
из которых взята в некоторой степени.
Числа, выраженные цифрами (т. е. не обозначенные буквами),
также причисляются к одночленам. Коэффициенты в одночленах могут
быть целыми и дробными, положительными и отрицательными.
При записи одночлена принято писать коэффициент впереди множителей,
выраженных буквами. Например,
5 аЧс, *—3ab2x, а, 7,3
представляют собой одночлены.
Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется многочленом.
Например, 1
а2 — 2 ab -(- Ьс — Ъс -f- 5
есть многочлен.
Одночлены, входящие в многочлен, называются его членами. Говорят,
что многочлен составлен из своих члеров. Так, многочлен
я2 — 2ab~\-bc — дс -J- 5 составлен из одночленов а2, —2ab, Ьс, —Ъс
и 5.

80 Типы алгебраических выражений 

Одночлены целесообразно рассматривать как частный случай многочленов,
именно как многочлены, составленные только из одного
члена. Многочлены, составленные из двух членов, называются двучленами,
из трех членов — трехчленами.
Отметим следующие свойства одночленов и многочленов.
Одночлен не изменяется, если переставить местами множи-
тели, из которых он составлен. Например,
Ь^Ьс — ЪЬсс? = Ьса^Ь и т. д.
Это свойство одночлена непосредственно следует из переместительного
закона умножения.
Многочлен не изменяется, если как угодно изменить порядок
его слагаемых. Например,
a*—2ab + bc — дс + 5 = — 2аЬ + 5 — Зс + а*-\-Ьс =
= Ьс-\-а*-\-Ь— 2ab — Зс ит. д.
Справедливость этого свойства следует из переместительного закона
сложения.

Упражнения
Указать, какие из следующих алгебраических выражений являются целыми
и какие дробными:
1. Зах* — 6Ьху. 2. ^ху* — 7ху. 3. -*+У
у 4. у.
2 + 3
5. (х+у):(х—у). 6. * ~у. 7. а’: в*.

81 Типы алгебраических выражений

Околоadmin