Глава 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
На главную страницу АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ.
Сборники Математики Скачать бесплатно
Скачать или посмотреть оригинал
«АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ» в формате PDF.
Ниже можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска ниже помогут Вам быстрее найти нужную информацию.
§1. Источнике приближенных чисел.
В практической деятельности людей, в науке и технике
постоянно встречаются как точцые, так v приближенные
числа.
Таку например, если по сообщениям газет мы узнаем,
что такое-то Строительное управление города Москвы едало
Моссовету 9 новых домов, у которых имеется 458 квартир,
с общей жилплощадью; около 12 500-л*. то первые два числа,
9 и 458, являются точными; произвести подсчет числа вновь
выстроенных домов и имеющихся в них квартир’*- дело простое,
но определить жилую площадь каждой квартиры, а
потом и всех квартир, по сути дела можно только приближенно.
Дело в том. что когда определяется площадь пола
одной комнаты, то обычно измеряют его длину и ширину
с точностью до t см, доли сантиметра при атом не учитываются;
полученные два числа перемножают и произведение
округляют с точностью до сотых долей квадратного метра.-
Если еще учесть то обстоятельство, что пол комнаты редко
напоминает прямоугольник (обычно в нем имеются выступы,
площадь; которых оценивается часто на; глаз), то каждому
ясен приближенный, характер того числа, которое принимается
за площадь комнаты. Из таких приближенных чисел сложением
образуется жилая площадь каждой квартиры, а потом и общая
жилплощадь всех сданных в эксплуатацию новых домов. Вот
почему приведенное в газетном сообщении число — 12 500 м2
является приближенным.
Отметим, что численные данные; которыми располагают
такие науки, как физика, механика, астрономия, география
г.и др. всегда приближенны; таковы, например, массы и
13 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
размеры шанет солнечной системы, расстояния между ними,
масса электрона, площадь поверхности морей и океанов и т. д.
Таким образом, числа, появляющиеся в результате изме-
рения, взвешивания, а иногда и при подсчете, являются не
точными, а приближенными. Возникает вопрос: как оценить
точность приближенных чисел и как производить арифметические
действия над ними? Ответы на эти вопросы даются
в следующих параграфах.
§ 2. Абсолютная погрешность и ее граница.
Пусть число а — приближенное значение некоторой величины,
число А истинное, или точное, значение той же
Величины. Как известно, абсолютная величина неотрицательного
числа а есть само число а; абсолютная величина отрицательного
числа а есть противоположное ему число (— а).
бнак абсолютной величины: | :f.—две вертикальные черт
точки, между которыми пишется число или буквенное выражение.
О п р е д е л е н и е . Абсолютная величина разности между
точным и приближенным значениями величины называется
абсолютной погрешностью приближенного числа а:,
а = | А — а | , ‘
где буквой « («альфа») обозначена абсолютная погрешность.
Пр име ры. 1. В техникум принято 514 человек; если
точное число 514 округлить до сотен, получим приближенное
число а = 500; его абсолютная погрешность а==*.
= [514 — 5001 = 14 (человек).
2. При покупке часов клиент получает гарантийное свидетельство,
в котором часовой завод ручается за точность
суточного хода часов в Пределах + 4 5 сек, что означает:
часы не должны уходить вперед или отставать в сутки более
чем на 45 сек. Допустим, что при проверке часов с сигналами
точного/времени, даваемыми по радио, обнаружилось,
что часы уходят вперед в сутки на 20 сек; тогда а = 20 сек
и есть абсолютная погрешность суточного хода часов. Число
45 (сек) есть то, что принято называть границей абсолютной
погрешности приближенного числа; в данном случае
приближенным числом является то время, которое показывают
часы. В большинстве случаев точные значения величин
нам не известны, а потому нельзя определить и абсолютную
погрешность, т. е. число а; однако в каждом конкретном
14 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
случае мойно установить границу абсолютной погрешности,
подразумевая под этим такое положительное число, что
абсолютная погрешность а всегда остается меньше этого
числа; Границу абсолютной погрешности приближенного
числа а будем обозначать через Да («дельта а»).
3. Слесарь не может точно изготовить на токарном станке
деталь длиной, скажем, в 80 мм. Но с помощью калибромера
он может установить, что отклонился от заданного
размера не более чем на 0,02 мм в ту или другую сторону.
В данном случае Да = 0,02 мм, если за а принять приближенную
длину 80 мм.
Из сказанного выше следует, что гораздо практичнее
пользоваться понятием границы абсолютной погрешности, чем
абсолютной погрешностью, когда речь идет об оценке точности
приближенного числа. В дальнейшем границу абсолютной погрешности
будем называть просто абсолютной погрешностью,
сохраняя обозначение Да.
§ 3. Относительная погрешность.
Для сравнения точности двух или нескольких приближенных
чисел недостаточно знать их абсолютные погрешности,
что видно из следующего примера.
Произведены два измерения:
1) Длины классной доски: rfj = 2,4 м с абсолютной погрешностью
Д^! = 0,05 м;
2) расстояния d2 между двумя станциями железной дороги:
ifyaac 3,48 км с абсолютной Погрешностью Д4г = 10 м.
Требуется узнать, какое из этих двух измерений произведено
более точно. На первый взгляд может показаться, что более
точным является первое измерение, ведь здесь абсолютная
погрешность равна только б см, тогда как при измерении
расстояния между станциями допущена погрешности в 10 м.
Такой взгляд ошибочен: надо учесть, что в первом случае
абсолютная погрешность в 5 см падает на сравнительно малую
длину и составляет ■ = ж ~ 0,02 измеряемой длины;
во втором случае ото отношение -. \
10 м _ 1
3480 м ~ 348 : 0,0029.
Таким образом, оказалось, что второе измерение примерно
в 7 раз точнее первого.
15 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
Оп р е д е л е н и е . (Отношение абсолютной погрешности
приближенного числа к самому числу называется его относительной
погрешностью:
где 6а («дельта малая» с индексом’ а) означает относительную
погрешность числа а.
Относительную погрешность часто выражают в процентах.
В примере, рассмотренном в данном параграфе, относительная
погрешность будет 2% и 0,29% соответственно.
Пример. Найти относительную погрешность приближенного
значения числа я, если считать я » 3,14. Так как
более точное значение числа я есть ‘ 3,141592 . . . . то а =
= 3,141592 — 3.14 = 0,001592 < 0 ,0 0 2 ,
АЗ. 14 = 0,002,
ш * °> 0 0 0 6 3 7 * ° * 0 6 4 ^ •
§ 4. Точные значащие цифры :
О п р е д е л е н и е 1. Если абсолютная погрешность приближенного
числа не превышает половины единицы последнего
разряд#, то „все значащие цифры данного числа называются
точными. Например, ;
1) число А = 58,3 имеет три точные значащие цифры,
если Д Л < половины десятой доли, т. е.
АЛ < 0 ,0 5 . :
>- 2) Число. В = 0.032 имеет две точные значащие цифры,
если АВ < 0 .0 0 0 5 , (половина тысячной равна пяти десятитысячным).
Нули, стоящие перед.пердой значащей цифрой (3><
в счет точных значащих цифр никогда не идут.
3) Число С = 2,007 имеет 4 точные значащие цифры,
если АС < 0 ,0 0 0 5 . Здесь нули, стоящие между значащими
цифрами 2 и 7,, также идут в счет точных значащих цифр.
Что касается цифры 0. стоящей в конце записи прибли-»
женного числа, то в некоторых случаях , нули идут в счет
точных цифр, в других — нет.
4) Число. 4123, округленное до сотец^ будет 4WQ (запись:
4 1 vlO?); здесь цули в с,чет точных значащих цифр не
идут, так как онн^земеняют точные цифры 2 и 3 .;
16 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
5) Точное ■ число 15,003,- округленное . до Сотых дрлей,
дает ‘ 15,00; здесь оба нуля идут в счет точных цифр, поскольку
в точном числе ни десятых* ни сотых.долей не имеется.
Оп р е д е л е н и е 2. Бели абсолютная погрешность приближенного
числа больше единицы последнего разряда этого
числа, то цифр’Ы; приближ^иргр числа,, начиная с этого р а зряда,
мзыв&кпсясомнительныминпн ненадежныjitft.
Примеры. 1. а ^=.42,3; ^ я = 0,2. Последняя-цифра (3)
ненадежна.
2. 5 = 18,318; Д5 = 0,03. Последние две цифры (1 и 8)
ненадежны; если Д5 = 0,015, то ненвдциша; только цифра 8.
В приближенном числе, как правило, сохраняют только
одну ненадежна-цифру, остальные-отбрасывают. , v
Пр име ч а н и е . Надо различать термины «значащие
цифры» и «десятичные знаки», что не одно и то же:
1) приближенное число 45,7 имеет три значащие цифры
и один десятичный знак;
2) приближенное число 0,0075 имеет две значащие цифры
и четыре десятичных знака.
§ 5. Действия над приблйженными числами.
В предыдущих параграфах бЫли показаны различные способы
оценки точности пряближеМных чисел: *
Теперь возникает такой вопрос: как производить арифметические
действия над приближенными числами так, чтобы
результаты этих действий не содержали лишних цифр, не
заслуживающих доверия. 1
Проще всего производить действия над приближенными
числами по п р а в и л а м п о д с ч е т а з н а ч а щ и х цифр.
Частично эти правила Даются при изучении арифметики в V
классе. Ниже приводятся формулировки этих правил; на примерах
поясняем их применение.
§ 6. Правила подсчета значащих цифр.
При сложении и вычитании приближенных чисел в результате
следует сохранять столько десятичных знаков,
сколько’ их в приближенном числе с наименьшим числом
десятичных знаков.
2. При умножении и делении в результате сохраняем
столько значащих цифр; сколько их ймееттшшенее точное
данное число. Из яееколькнх приближенныхчиСел наименее
17 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
точным’считается то, которой имеет наименьшее количество
точных значащих цифр.
3. При возведении в квадрат и куб в результате сохраняем
столько значащих цифр, сколько их имеет основание
степени.
4. При извлечении квадратного и кубического корня
в. результате надо сохранить столько же значащих цифр,
сколько их имеет подкоренное число. •
5. При вычислении промежуточных результатов сохраняется
одна лишняя запасная цифра, которая в окончательном
результате отбрасывается
§ 7. Применение правил подсчета цифр.
1. Сложение и вычитание. 1) Найти сумму приближенных
чисел:
1,7 + 4,35 + 5,124.
\
Наименьшее чисЛо десятичных знаков имеет первое слагаемое
(1,7); в остальных двух слагаемых сохраним один
лишний десятичный знак, который в окончательном результате
будет отброшен:
1,7 + 4,35 + 5,12 = 1 1 ,1 7 » 11,2.
2) Вычесть из 69,3 число 4,856. Здесь вычитаемое имеет
два лишних десятичных знака по сравнению с уменьшаемым;
надо сохранить- лишь один лишний знак:
69,30
> 4,86 .
64,44 « 64,4.
2. Умножение и деление. 3) Вычислить площадь з о л ь ного
участка, имеющего вид прямоугольника со сторонами
а = 31,5 м, Ъ — 28,4 м. Так как сомножители имеют по три
значащие цифры, то в произведении сохраняем также три
значащие цифры:
5 = 31,5 • 28,4 = 894,60 « 8 9 5 .
4) 5 2 ,8 -0 ,3 2 = 16,896 г» 17.
Наименее точный множитель (0,32) имеет две значащие
цифры; столько же цифр сохраняется в произведении.
18 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
5 ) С участка площадью, 2,46 га собрано 30,5 т. картот
феля. Определить средний урожай с одного гектара:
1 ‘ • 30,5 : 2-,45«* 12,4 (« ).
3. Возведение в степень и извлечение корня,
. 6) (3,18)2 « 10,1.
Основание имеет три значащие цифры; столько же цифр
надо удержать в результате возведения в квадрат.
7) (0,132)3 ^ 0 ,0 0 2 3 0 …..
8) у 12,5 « 3 ,5 4 .
9) ]//Т 7 5 « 1,55.
10) Вычислить вторую космическую скорость г г = j/2 # /? ,
т. е. скорость, при которой снаряд, выпущенный вверх по
вертикали, не вернется обратно на Землю.
£ = 981 с м/сек2 — ускорение силы тяжести,
Р = 63 • 107 см — радиус Земли,
v = / 2 • 981 • 63 • 107 = У’г • 9,81 — 6,3 • 10*° =
== 105 . у 2 . 9,81 -6 ,3 = 11,2 • 10s (.см/сек),
или ; — ,
v =1 1 , 2 км/сек. ,
Пр име ч а н и е . При решении примеров 6, 7, 8, 9 и 10
были использованы «Четырехзначные математические таблицы
» Брадиса.
§ 8. Примеры более сложных вычислений поправилу
подсчета значащих цифр.
Пр и ме р 1. Теплоемкость твердого тела х определяется
по формуле
(/я2 —«i — f mi/i)(/2 —/,)
P ( T — t 2) ’
где т , — вес внутреннего сосуда без воды, т г = вес внутреннего
сосуда с водой, t x — первоначальная температура
воды, t2 — температура воды после погружения тела, Т —
температура кипения воды, я — теплоемкость калориметра
и мешалки, Р — вес тела, теплоемкость которого надо найти.
Из опыта получены следующие данные:
Р = 403,7; mj = 119; щ = 673; « = 0,094;
■ , / j = 9,5; t2 = 12,8, Г = 1 0 0 ,1 1 .
19 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
В этом примере величины п и / , имеют всего две точные
значащие цифры, поэтому более точные Данные Предварительно
округляем, сохраняя в них три значащие цифры:
р = 404; Т « 100; промежуточные вычисления производим
с тремя значащими цифрами, в окончательном результате
сохраняем две значащие цифры.
Подставляем числовые данные в формулу:
— (673— 1 1 9 + И9 0.094)(12.8 — 9.5) _
‘ 404(100 — 12,8) ~
<S54 -4-119- 0,094) —
404 • 87.2 •
Производим вычисления:
119 0,094 = 11,186 « 1 1 ,2 ,
554 — И 1,2 = 565,2 » 565,
565 • 3.3 = 1864,5 « 186 • 10.
404 87,2 = 35 228,8 « 35 200 = 352 . 10*.
186-Ю 186 18.6 _ .n nco s п п м
352 • i F “ T O o W ° ‘ 53,
СГтвет: х = 0,053* .
Пр име р 2. В цепь переменного тока включены кон-‘
денсатор и катушка. Полное сойролиление переменному току
определяется по формуле ~ ‘
где R — сопротивление Внешней цепи, — реактивное
сопротивление.
Вычислить Z , если R ==» 41,4,‘ <Вя*0;75; £.=* 18; С = 0,52,
Наименее точные данные имеют две значащие цифры,
поэтому в окончательном результате сохраним только две
цифры; промежуточные вычисления будем производить с тремя
значащими цифрами:
t , 1) <»L 0.75 •, 18— o T g = 1 3 ,5 -2 .5 6 » ? 10,9
20 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
§ 9. Вычислении с наперед заданной точностью.
В практических вычислениях часто приходится решать
следующую задачу: с какой точностью надо взять исходные
данные, чтобы погрешность окончательного результата не
превысила заданной наперед границы?
Решение поясним’ на примерах.
П р и ме р 1. Период полного колебания Т маятника определяется
по формуле: Т — 2л j / » — , где I — длина маятника
(см), g — ускорение силы тяжести (см/сек2)-
С какой точностью надо измерить длину I и со сколькими
значащими цифрами взять числа л и g , чтобы относительная
— погрешность при вычислении периода Т не превышала полпроцента
(0,5%)?
Длина маятника / я» 80 см- Определяем порядок величины Т,
т. е. десятичный разряд первой цифры слева (десятки или
единицы), для чего принимаем во внимание только первую
цифру каждого из округленных чисел я и g (я я* 3; g « 1000):
. Т » 2 . 3 • — 6 ‘ » 1,7;
тогда 0,5% от 1,7 = 0,005 • 1,7 = 0,0085.
— По ртносительндй погрешности мы нашли границу абсолютной
погрешности: ДГ = 0,0085. По величине допускаемой
абсолютной погрешности можно судить о том, что период
должен иметь три точные значащие цифры, а поэтому длина I
должна выражаться приближенным числом с тремя значащими
цифрами, т. е. должна быть измерена с точностью до десятых
долей сантиметра. Число л лучше взять с четырьмя значащими
цифрамй, т. е. с одной запасной цифрой, число g — с тремя
(981), промежуточные вычисления вести с четырьмя цифрамй,
в окончательном результате сохранить три значащие цифры.
Прим е р 2. С какой точностью надо измерить катеты а
и Ъ прямоугольного треугольника, чтобы можно было вы —
числить гипотенузу c — y W-^-b2 с относительной погрешностью
бс, не превышающей 2%?
Известно, что а як 50 см, b да 80 см. Каждое йз приближенных
чисел 50 и 80 имеет одну точную значащую цифру.
Находим приближенное значение гипотенузы:
с = У 502 -f- 802 = у 100 $ 5 Н-6 4 ) = 1 0 /8 9 я» 10 • 9.4 94;
2% от 94 = 94 • 0,02 = 1,88 « 2.
21 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
Таким образом, абсолютная ь,логрещнрсть. Дс = 2 (см).
Это значит, что цифра, указывающая число единиц в окон*-
чательном результате, хомштеяьна, а потому следует катеты
о и Ь взять с двуМя точными значащими цифрами, т. е.
измерить е точностью до 0,5 см. Промежуточные вычисления
надо веста с тремя значащими цифрами, а полученное значение
гипотенузы с должно быть округлено до двух значащих
цифр.
Упражнения.
1. Число 2,7182818 округлить до 5, 4, 3 значащи* цифр.
2. Расстояние от центра Земли до полюСа в километрах равно
6356,909. Округлить это число до 2, 3, 4 значащих цифр.
3. Какая разница между записью температуры 18° и 18,0°?
4. Начертить аккуратно прямоугольник и измерить его стороны
с точностью до 1 мм. Записать, пользуясь знаками неравенства,
между какими числами заключается длина его сторон.
5. Приближенное значение величины х заключено между 6,85 ж
и 6,89 м. С какой точностью произведено измерение?
6. Дробь 5 у2 обратить в десятичную с точностью до 0,001.1
7. При взвешивании тела получился вес 18,7 кг с точностью
до 0,1 кг. Указать границы точного значения веса.
8. Найти в процентах границу относительной погрешности
числа 3,14.
9. Какое из двух измерений точнее:
1) 895 м (± 0,5 м); 2) 24,08 л (± 0,01)?
10. Какое из двух приближенных значений числа я точнее,
3,14 или Д-у-?
И. Написать число 18,754 без лишних цифр, зная, что. относительная
погрешность его равна у %.
12. Найти сумму 2 3у — f y1g + 4 -g1- с тремя точными десятичными
знаками.
13. Расстояние между двумя городами по карте равно 24,6 см
(±0,2 см). Найти действительное расстояние между городами,
если масштаб карты 1:2 500 000; определить погрешность.
14. Кубатура комнаты 127,4 м3. Сколько весит воздух, содержащийся
в этой комнате, если вес 1 м3 равен 1,29 кг (± 0,01 кг)?
15. Сколько точных значащих цифр можно определить в произведении
приближенных чисел 2,18 -0,65 -0,175? Вычислить эти
цифры.
16. Найти объем комнаты, если размеры ее 15,4 X 12,6 X 4,5.
Какова относительная погрешность произведения?
22 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
17. Для определения удельного веса тела было установлено,
что вес его 117,8 г; при погружении в воду тело вытеснило 54,7 см3.
С какой точностью можно определить удельный вес тела?
18. С какой относительной погрешностью можно вычислить
объем цилиндра, если радиус основания г = 15,4 см, высота Й =
= 28,2 см? • ■
19. С площади 32,4 га собрано 4580 ц ржи. По скольку центнеров
в среднем собрано с 1 га?
20. Грубо приближенное значение радиуса цилиндра — 20 см,
высоты 30 см. С какой точностью надо выполнить измерение,
чтобы относительная погрешность при вычислении объема не превышала
1%?
23ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.
ЕГЭ 2015 Математика.
Библиотека учителя.
Околоadmin
Comments