Примеры решений тригонометрических уравнений

| ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Арксинус: Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 2: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

§ 2.12. Примеры решений тригонометрических уравнений

При ме р 1. Решить уравнение
sin тх—sin /л: = 0 (т—/=5^=0 , т + 1 Ф 0 ).
Решение .
Подобным образом решаются уравнения
sin т х -\- sin 1х = 0, cos т х— cos 1х = 0,
cosmx-j- coslx==0
с помощью формул для суммы синусов и косинусов углов
и разности косинусов.
В некоторых частных случаях уравнения рассмотренного
вида можно решить другими способами. Вот пример.
П р и м е р 2. s in2x—sin;c = 0.
Р еш е н и е .
2 sin х cos х —sin x = 0 , sin x ( 2 cos x— 1) = 0 ,
где а и b—данные числа.
Р еш е н и е . Если а*-\-Ь2ф 1 , то система не имеет решения,
потому что cos2 , v+s in2x = 1 для любого а . Пусть
теперь a2Jr b 2= 1. Тогда точка (а, Ь) находится на числоп

вой окружности. Она определяет некоторый угол а 0, который
и является решением задачи.
На оси х отмечаем точку, имеющую координату, равную
а, и восстанавливаем из нее перпендикуляр до пересечения
с окружностью в положительном направлении,
если b > 0, или отрицательном, если b < 0. Точка пересечения
и будет иметь координаты
(а, Ъ).
Общее решение задачи записывается
в виде
a = a 0-\-2kn,
где k — произвольное целое число.
П р и м е р 4. Решить систему уравнений
co s a = Y1 . s i n a — — V 3
Р еш е н и е . Сумма квадратов правых частей системы
V «3
равна 1. Поэтому точка 2 ’ 2 находится на числовой
окружности (рис. 64). Ей соответствует угол (рис. 64)
а = —у -f 2kn, где k— произвольное целое число.
П р и м е р 5. Решить уравнение
A cosx-{- В s inx = C. (17)
Р еше н и е . Делим обе части уравнения на V А 2-{-В2.
Получаем
acosx + &sinx = c,
где
а = — …А — , о. = В— — , с = С 7^ = = = — . Y л2+53 Y л2+в2 Y л2+в2
Так как а 2 + 6 2 = 1, то можно подобрать такой угол а ,
что a — cos а , 6 = sin а . Заданное уравнение тогда можно
записать в виде
cos a cos х + sin a sin x = с
или
co s(x—a) = c. (18)
Если [ c | > 1, то уравнение (18), а следовательно и
(17), не имеет решений. Если же |c j < l , то все решения

записываются формулой
*— а = ± arccos с + 2 kn,
или
* = а ± arccos с + 2kn,
где k—любое целое число.
П р и м е р 6 . Решить уравнение
c o s*—s’mx — V 2 .
Р еш е н и е .
cos х sin_x j
V 2 v 2
cos (— у ) cos* + sin ( — y ) sin * = 1 ,
c o s ( x + y ) = l, * + y = 2 /m.
Ответ: x = — ——\-2kn, где k —любое целое число.
П р и м е р 7. Решить уравнение 7 sin2 *—s in * — 8 = 0.
Р еше н и е . Выполним подстановку s in х = а\ g решим
уравнение 7а2—а— 8 = 0 ; получим а1 = —1 , а2 = у .
Следовательно,
sin* = —1 ,
* = — у + 2kn,
где k—любое целое число;
8 sin * = у ,
нет решений, так как sin*
не может быть больше 1 .
Ответ: * = — ~ + 2kn, где k—любое целое число.
П р и м е р е . Решить уравнение 2 sin ( y + 2 * ) + c o s * = 3 .
Р еш е н и е .
2 sin (.■ 2^—{-2х’] + cos* = 3, 2 cos 2 * -f cos* = 3,
2 (2 cos2 *— 1) — f cos * = 3, 4 cos2 * + cos *—5 = 0,
5
co s* = a, 4a2 — f a—5 = 0, ax = — — j , a2— 1;
5 i C0 S * = T ИЛИ c o s * = l 4
В первом случае нет решений — не может быть
| c o s * | > l ; во втором случае x = 2kn, k — 0, ± 1 , ± 2 , . . .

Ответ.: 2kn, где k = 0, ± 1 , ± 2 , . . .
Д р у г о е р еше н и е . Заметим, что в уравнении
2 cos 2x + cosx = 3
2 cos 2х sC_ 2 , cos x ^ 1 , следовательно, равенство возможно
лишь при одновременном выполнении условий
2 co s2 x = 2 и c o s x = l ;
60 г л . 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
х = 2 kn,
где k = 0, ± 1 ; ± 2 , . . .
cos 2х = 1 ,
2х = 2 дат,
X = пп,
еде п = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .
Оба условия выполняются в точках
x — 2kn, где k = 0, ± 1 , ± 2 , . . .
П р и м е р 9. Решить уравнение
sin2 x-|- 4 s i n xco s x—5cos2x = 0. (19)
Р еше н и е . Каждое слагаемое в левой части имеет
степень 2. Очевидно, что c o s x ^O, так как в противном
случае s i n x = l или sinx = —1 , но в том и в другом
случае равенство (19) неверно. Разделим правую и левую
части на cos2 x:
► .. — „ 9 ..
cos2* cos2 л: cos2 л: = 0 ,
tg 2X + 4 t g x— 5 = 0.
Обозначим tg x = a:
a2-j-4a—5 = 0 ; aj = l; a2 = —5.
Отсюда
tg x = 1 или tg x = —5,
x = arctg (—5 )-f kn,
где k = 0, ± 1 , ± 2 .
x = J + kn,
где k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ;
n
Ответ: ^1—\-kn , arctg (—5 ) — f£ n , где k = 0, ± 1 , + 2 , . . .