§ 13. Применение формул сокращенного умножения к устным вычислениям.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ЕГЭ 2015 Математика. Библиотека учителя. Школьная математика.

Купить книги по математике за низкие цены:

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Формулы сокращенного умножения применяются не только к умно-
жению многочлена на многочлен. Они с успехом могут быть применены
к многим вычислениям над, числами. Рассмотрим несколько таких
примеров.
Пример. Вычислить 19 • 21;-
Решение. Достаточна заметить, что 19 = 20 — 1 и 21 = 20 + 1,
чтобы, воспользовавшись формул^ 3, сразу сказать результат.
Именно, 19 • 21 « = 5 0 ® — t
Пример. 41*= 1681.;Л£а& получен этот результат?
Решение. При помощи формулы 1
412 = (40 + I)2 = 40* + 2 • 40 + 1 = 1681.
Пример. 182 = (20 —2)2 = 400 —80 + 4 = 324.
Пример. 97*=(100 3)* = 10 000 — 600 + 9 = 9409.
Таким образом, форму лысокращенного умножения удобно применять:
% *. , . и- ^ . ‘.Г
1. При умножений чисел, представляющих: собой сумму и разность
двух чисел, каждое из которых легко возвести в квадрат.
2. При возведении в квадрат двузначных чисел, близких к «круг-*
лым» числам.
Покажем некоторые другие применения. Часто приходится
возводить в квадрат числа, очень близкие к единице, причем резуль-,
тат нужно знать приближенно с тем же числом знаков после запятой,
с которым дано число, возводимое в квадрат. Например,
1,0022 = (1 + 0,002)®= 1 +0,004 + 0,000004= 1,004004 я** 1,004.
Знак применен здесь в качестве знака приближенного равенства.
Мы отбросили четыре единицы последнего знака, так как ошибка,
возникающая „при таком отбрасывании меньше, чём требуемая точность.
Таким же образом
0,997* = (1 — 0,003)’2 = 1 — 0,006 + 0,000009 ^ 0,994.

94 Сокращенное умножение по формулам.

Обобщая эти два примера, приходим к следующему выводу.
Если а есть очень маленькое по абсолютной величине число, положительное
или отрицательное, то
(1+а)*я*1 + 2а. .
Точное равенство имеет вид (1 + а)2 = 1 + 2а-f-а3. Но число а2
меньше абсолютной величины а во столько же раз, во сколько
абсолютная величина а меньше 1. Поэтому, если а очень шло по
абсолютной величине, то а® будет исчезающе малым по сравнению
с остальными слагаемыми.
Таким же образом из формулы для куба суммы мы получим приближенную
формулу для куба числа, близкого к единице. Именно,
(1 —j— я)3 1 *+ 3&.
Посмотри» на примере, насколько эта формула точна.
Пример.
(1,003)3 = (1 + 0,003)* = 1 + 0,009 + 0,000027 + 0,000000027.
Последние два слагаемых исчезающе малы по сравнению с первыми,
так что действительно 1,0033я^ 1,009, что соответствует’указанной
приближенной формуле.
Наконец, формула 3 дает при малых а следующий результат:
(1 +а)(1 — а)= 1 —а2 я^1,
откуда
1 * 1 , . 1—g И. ^ 1+ОС *
1. 141 НЕКОТОРЫЕ выводы 95
Например, щуя^0,99бг
Упражнения
= 5•
Выполнить устно следующие действия:
1. 43*37. 2. 423. 3. 9б2. 4. 84- 96.
5. Доказать, что для того чтобы возвысить «целое число с половиной»
в квадрат, нужно умножить это целое число на соседнее большее и к резуль-
1 {. 1 \2 — >1
хату приписать -у- • Например, 17 -^rj =
Вычислить приближенно: ^ .
6. (1,0035)*. 7. (0,997)*. 8. -Щд • .

§ 14. Некоторые выводы.

В § 2 этой главы мы условились рассматривать одночлены как
частный случай многочленов, именно как многочлены, составленные
из одного члена. Воспользуемся этим соглашением и сделаем следующие
выводы:
1. Сумма и разность двух многочленов есть многочлен.
2. Произведение двух многочленов есть многочлен.

95 Сокращенное умножение по формулам.

А из этих выводов непосредственно следует такая общая теорема:
Всякое целое алгебраическое выражение равно некоторому многочлену.
Или, что то же самое:
Всякое целое алгебраическое выражение может быть преобразовано
к виду многочлена.
Действительно, целое алгебраическое выражение есть запись
действий сложения, вычитания и умножения (в том числе и умножения
равных множителей, т. е. возведения в степень) над числами, часть
которых обозначена буквами. Как заданные числа, так и отдельные
буквы представляют собой одночлены.
Произведя над ними одно за другим указанные действия, мы будем
получать результаты в виде многочленов в силу сформулированных
выше выводов. И, наконец, окончательный результат тоже будет
иметь вид многочлена, что и требовалось доказать. Например,
[(а + ь у — А а Ь ) . [ ( а — Ь ? + (а + 2Ь)(а + Ь)\-\-
+ [2а2 — (а + 2Ь) (2а — Ь)] • [(2* -f а) (а + ЪЬ) — (а — Ь ) ( а ~ Щ ] =
‘ = (а* + 2аЬ + Ь*— Aab) (а* — 2аЬ -f b* + а2 + 2ab + аЬ + 2V) +
4“ (2я2 — 2а2 — АаЬ -\-ab~{- 2Ь*) • (2ab -|- а2 -f- 6Ь* -f*
+ 3 ab — a* + ab + Qab — 6b*)*=z
*=(а* — 2ab -f b*) (2а*+ а6 — 3Ь*) + (— ЗаЬ + 2Ь‘2) (12аЬ)*=*
^2а1 + аЧ + ЗаЧ* — Аа*Ь — 2а*Ь* — 6аЬ* + 2а*Ь*-{-аЬ*-{-
-j-3£4 — 36аЧ*+2АаЬд=;
= 2а4 — ЗаЧ — ЗЗаЧ* -f 19а&3 + ЗЯ
Заметим еще, что всякий многочлен равен некоторому приведенному
многочлену, т. е. многочлену, не содержащему подобных членов.
Действительно, если многочлен содержит подобные члены, то их можно
привести. В силу этого всякое целое алгебраическое выражение
можно преобразовать к виду приведенного многочлена.
Цепочка тождественных преобразований называется алгебраической
выкладкой. Таким образом, в настоящей главе даны правила
проведения выкладки, посредством которой всякое целое алгебраическое
выражение ножет быть преобразовано к виду приведенного
многочлена.
Очевидно, что если два приведенных многочлена составлены
из одинаковых одночленов, то они равны тождественно, т. е. их значения
равны при всех численных значениях входящих в лих букв.
Верна также и обратная теорема:
Теорема о тождестве. Если два приведенных многочлена
равны тождественно, що они составлены иЬ одинаковых одно-
членов.

96 Сокращенное умножение по формулам.

Доказательство теоремы о тождестве довольно сложно и выходит
8а рамки курса элементарной алгебры.
Эти две теоремы дают возможность ответить на такой вопрос. Пусть даны
два целых алгебраических выражения. Равны они тождественно или нет?
Для решения этого вопроса достаточно привести каждое из выражений к виду
приведенного многочлена. Если при этом окажется, что полученные многочлены
составлены из одинаковых одночленов, то данные выражения тождественно
равны. Если же полученные многочлены’окажутся различными, т. е. составленными
из неодинаковых одночленов, то данные выражения^ равны тождественно.
П р и м е р . Доказать тождество
(а + bf + (а — bf= -§ [(а + Ь) (а + 2Ь) + (а — Ъ) (2а — Ь)}.
Р е ш е н и е .
(а -|- bf + (с — bf = аг + 2аЬ + 62 + а2 — 2ab + 63 = 2а2 + 26s.
§ [(« + *)(<* + 26) + (а — Ь) (2а — &)] = •
2
^ з» [а2 + Ьа + 2ab + 2£2 + 2а2 — 2аЬ — аЬ + Ъ2\ =
= у [За3 + 362] = 2а2 + 2Ь\
После преобразований выражение, находящееся в левой части равенства,
оказалось равным 2а2-)- 2Ь2 и выражение, находящееся в правой части равенства,
тоже равно 2а2 -f- 2Ь2
Ш Тождество^ доказано.
П р и м е р . Рассмотрим два выражения ‘
(ха + 3х)(3д8 —ЗХ + 2) и 4х2(х2+1).
Они имеют ряд одинаковых значений. Действительно, при х = 0 они оба
равны нулю; при х = 1 каждое из них равно 4*2 = 8; при х = 2 первое
равно 10 • 8 = 80, второе равно 16 • 5 = 80; при х = 3 первое равно 18 • 20 = 360,
второе 36 • 10 = 360. Может быть они равны тождественно? Для выяснения (
этого вопроса раскроем скобки: *
(х2 + Зх) (Зх2 — Зх + 2) = Зх4 — Зх3 + 2л:2 + 9х3 — 9х2 + бх =
= Зх4 + бх8 — 7х2 4-бх,
4х*(х*+1) = Ьс* + 4х\
Таким образом, данные выражения преобразуются в различные приведенные
многочлены, и следовательно, они не могут равняться тождественно. И действи-
1
тельно, они принимают различные значения, например при х = — у : первое
7 5 35 5 5
выражение равно -j- • = -jg-, второе — равно 1 • .

Упражнения
Доказать следующие тождества:
1. х(х+1)Глг + 2)(х + 3 ) + 1 = (ха + Зх+1)2.
2. (а2 + b2)(c2 + d2) = (ас — bd)2 + (ad -\-Ъс)2.
§ 14] НЕКОТОРЫЕ выводы — 97
4 Д. К» Фаддеев, И. С. Соминский

97 Применение формул сокращенного умножения.

Околоadmin