Проективные и инъективные модули

100 Проективные и инъективные модули. 

то говорят, что f поднимается до эндоморфизма f G Endл М.
Модуль М называется п-проективным, если каждый идемпотентный эндоморфизм любого фактормодуля модуля
М поднимается до эндоморфизма модуля М.
Модуль М называется малопроективным, если для любого эпиморфизма h: М — N и каждого эндоморфизма g
модуля N существует такой эндоморфизм f модуля М, что gh = hf.
Проективным накрытием модуля М называется любой такой эпиморфизм f: P — М, что P — проективный
модуль и Ker f — малый подмодуль в P. Модуль P называется проективной оболочкой модуля М. Иногда М и
P/ Ker f отождествляют. Проективная оболочка определена не для всякого модуля (см. упр. 17.2 и теорему 18.2).
Любой инъективный модуль, являющийся существенным расширением модуля М, называется его инъективной
оболочкой.
Задачи
17.1. Пусть Мл — R-модуль. Модуль Мn содержит свободный циклический подмодуль (т.е. М является конечно
точным) в точности тогда, когда существуют такие элементы mi,… ,mn G М, что r ({mi,… ,mn}) = 0.
17.2. Несвободный Z-модуль не имеет проективной оболочки.
17.3. Проективной резольвентой модуля М называется точная последовательность
… —— Pn —— … —— Pi —— Po —— М —— 0,
где все Pi — проективные модули.
Каждый модуль обладает проективной резольвентой.
17.4. 1) Пусть N — модуль, E — класс всех N-проективных модулей. Тогда все прямые слагаемые и все прямые
суммы модулей из E принадлежат E.
2) Пусть М — модуль, E — класс всех таких модулей N, что М — N-проективный модуль. Тогда все гомоморфные
образы, подмодули и конечные прямые суммы модулей из E принадлежат E.
3) Пусть N — модуль, М — N-проективный модуль, причем существует эпиморфизм h: N — М. Тогда h расщепляется,
М — квазипроективный модуль, изоморфный прямому слагаемому модуля N. В частности, если N —
неразложимый модуль, то h — изоморфизм.
4) Все прямые суммы и прямые слагаемые проективных модулей проективны.
17.5. Циклическая группа простого порядка является квазипроективным простым непроективным модулем над
кольцом Z.
17.6. Для кольца R равносильны следующие условия:
а) R — классически полупростое кольцо;
б) каждый правый R-модуль является проективным;
в) каждый простой правый R-модуль проективен относительно модуля Rл.
17.7 (Лемма о дуальном базисе). Для модуля Мл равносильны следующие условия:
а) М — проективный модуль;
б) существуют система образующих {mi}iei модуля М и множество {fi}iei гомоморфизмов fi: Мл — Rл такие,
что для любого m G М имеет место равенство m = ^ mifi(m) (fi (m) = 0 для почти всех индексов i);
iei
в) для любой системы образующих {mi}iei модуля М существует множество {fi}iei гомоморфизмов fi: Мл — Rл
таких, что для любого m G М имеет место равенство m = ^ mifi(m) (fi (m) = 0 для почти всех индексов i).
iei
17.8. Пусть hi: Pi — Mi и h2: P2 — М2 — модульные эпиморфизмы с ядрами Qi и Q2 соответственно. Тогда если
Pi и P2 — проективные модули, а Mi = М2, то Pi 0 Q2 = P2 0 Qi.
17.9. 1) Пусть f: P — M — проективное накрытие модуля М, g: Q — М — эпиморфизм, где Q — проективный
модуль. Тогда существует такой расщепляющийся эпиморфизм h: Q — P, что g = fh, Q = Ker h 0 P, причем
ограничение гомоморфизма h на P является изоморфизмом P на P.
2) Пусть fi: Pi — M и f2: P2 — M — два проективных накрытия модуля М. Тогда существует такой изоморфизм
h: P2 — Pi, что f2 = fih и fi = f2h-i. В частности, любые две проективные оболочки модуля М изоморфны.

101 Проективные и инъективные модули. 

17.10. 1) Пусть модуль Mr проективен относительно конечно точного модуля N. Тогда M проективен относительно
любого конечно порожденного правого R-модуля. Кроме того, если M конечно порожден, то M — проективный
модуль.
2) Каждый конечно порожденный конечно точный квазипроективный модуль является проективным.
17.11. Пусть R = M(2, P), где P — поле. Матрицы вида ^ a Q , где a,b € P, образуют правый идеал M кольца
R. Покажите, что Mr — проективный, но не свободный модуль.
17.12. 1) Пусть Mr = 0 Mi, причем для каждого i € I модуль Mi и все его подмодули проективны. Тогда любой
ieI
подмодуль N модуля M изоморфен прямой сумме 0 Ni, где Ni С Mi для всех i € I.
ieI
2) Если R — коммутативная область главных идеалов, то каждый подмодуль свободного модуля является свободным.
В частности, каждый проективный Z-модуль свободен.
17.13. Каждый подмодуль свободного правого модуля над наследственным справа кольцом изоморфен прямой
сумме правых идеалов кольца R.
17.14. Кольцо R С M(2, Q) всех матриц вида ^ , где c € Z, а a,b € Q, наследственно слева, но не справа.
17.15. 1) Если N — модуль, то прямые слагаемые и прямые произведения N-инъективных модулей являются
N-инъективными модулями.
2) Прямые слагаемые и прямые произведения инъективных модулей являются инъективными модулями.
17.16. Пусть M — модуль, E — класс всех таких модулей N, что M — N-инъективный модуль. Тогда все гомоморфные
образы, подмодули и прямые суммы модулей из E принадлежат E.
17.17. Пусть M = 0 Mi. Модуль M квазиинъективен в точности тогда, когда Mi — Mj-инъективный модуль для
всех i и j.
17.18. Конечная прямая сумма изоморфных квазиинъективных модулей является квазиинъективным модулем.
17.19. Пусть N — модуль, M — ненулевой N-инъективный модуль, f: M — N — мономорфизм. Тогда f (M) —
прямое слагаемое модуля N, M — квазиинъективный модуль и M изоморфен прямому слагаемому модуля N. В
частности, если N — неразложимый модуль, то f — изоморфизм.
17.20. Пусть Mr — модуль над кольцом R.
1) Любой инъективный модуль является квазиинъективным и конечно инъективным модулем. Каждый конечно
инъективный модуль является р-инъективным.
2) Если R — кольцо главных правых идеалов, то M — р-инъективный модуль тогда и только тогда, когда M —
инъективный модуль.
3) M — р-инъективный модуль тогда и только тогда, когда для любых таких x € M и a € R, что r(a) С r (x),
существует m € M со свойством x = ma.
4) Если M — р-инъективный модуль и a — регулярный справа (т.е r(a) = 0) элемент кольца R, то M = Ma.
5) Если R — коммутативная область, то M — р-инъективный модуль тогда и только тогда, когда M = Ma для
всех ненулевых a € R.
6) Если R — область главных правых идеалов, то M — инъективный модуль тогда и только тогда, когда M = Ma
для всех ненулевых a € R.
7) Если M = Zp — циклическая группа простого порядка р, то M — квазиинъективный простой Z-модуль, не
являющийся р-инъективным.
17.21. Пусть R — коммутативная область. Тогда для R следующие два условия эквивалентны:
а) каждый идеал проективен;
б) каждый делимый R-модуль инъективен (если R — область, то R-модуль M называется делимым, если rM = M
для каждого ненулевого элемента r € R; в случае произвольного кольца R условие rM = M должно выполняться
для каждого r, не являющегося делителем нуля в R).
Коммутативная область со свойствами а), б) называется дедекиндовой. В частности, коммутативная область главных
идеалов является дедекиндовым кольцом.
17.22. 1) Tr — кообразующий модуль в точности тогда, когда каждый R-модуль M изоморфен подмодулю прямого
произведения изоморфных копий модуля T.
2) Если Tr — инъективный модуль, то равносильны следующие условия:
а) T — кообразующий;
б) каждый простой правый R-модуль изоморфен подмодулю модуля T;

102 Проективные и инъективные модули.

в) T содержит прямую сумму представителей всех классов изоморфных простых правых R-модулей.
17.23. 1) M — инъективный модуль тогда и только тогда, когда для любого модуля N и любого мономорфизма
f: M —— N модуль f (M) является прямым слагаемым модуля N.
2) Если модуль Mr проективен относительно всех инъективных R-модулей, то M — проективный модуль.
17.24. 1) Каждое прямое слагаемое модуля M является замкнутым подмодулем в M.
2) Каждый подмодуль N модуля M обладает замыканием в M.
3) Если G,N € L(M) и G П N = 0, то G обладает в M хотя бы одним замкнутым дополнением, содержащим N.
4) Каждый подмодуль G модуля M обладает в M хотя бы одним замкнутым дополнением.
5) Если Ni, N2 € L(M) и Ni ПN2 = 0, то существуют такие замкнутые подмодули Mi, M2 модуля M, что Ni С Mi,
N2 С M2, Mi П M2 = 0, Mi 0 M2 — существенный подмодуль в M и Mi П K = 0 для любого подмодуля K модуля
M, строго содержащего M2.
6) Если G — замыкание подмодуля N € L (M), H — дополнение к N в модуле M, то G — дополнение H в M и
H — замкнутый подмодуль модуля M.
7) Множество замкнутых подмодулей модуля M совпадает с множеством всех дополнительных подмодулей модуля
M.
17.25. Для модуля M равносильны следующие условия:
а) M — п-инъективный модуль;
б) каждый идемпотентный эндоморфизм любого подмодуля модуля M продолжается до идемпотентного эндоморфизма
модуля M;
в) для любых подмодулей N1, N2 € L (M) со свойством N1 П N2 = 0 существует такое прямое разложение M =
Mi 0 M2, что Ni С Mi, N2 С M2;
г) M = Q1 0 Q2 для любых таких замкнутых подмодулей Q1 и Q2 модуля M, что Q1 П Q2 = 0 и M — существенное
расширение модуля Qi 0 Q2.
17.26. 1) Все малоинъективные модули являются п-инъективными.
2) M — равномерный модуль в точности тогда, когда M — неразложимый п-инъективный модуль.
3) Все прямые слагаемые и вполне инвариантные подмодули квазиинъективных (малоинъективных, п-инъективных)
модулей являются квазиинъективными (малоинъективными, п-инъективными).
4) Все квазиинъективные модули малоинъективны.
5) Кольцо целых чисел Z является малоинъективным Z-модулем, который не является р-инъективным.
6) Каждый подмодуль п-инъективного модуля M является существенным подмодулем некоторого прямого слагаемого
модуля M. В частности, каждый замкнутый подмодуль п-инъективного модуля M является его прямым
слагаемым.
17.27. 1) Каждый модуль обладает хотя бы одной инъективной оболочкой.
2) Каждый инъективный модуль, содержащий модуль M, содержит хотя бы одну инъективную оболочку модуля
M.
3) Если Ei и E2 — две инъективные оболочки модуля M, то существует изоморфизм f: Ei — E2, действующий
тождественно на M.
17.28. Пусть M = (0 Mi. Тогда:
i=1
а) M — квазиинъективный модуль, если и только если M — п-инъективный модуль и Mi — квазиинъективные
модули для всех i = 1, . . . ,n;
б) M — квазипроективный модуль, если и только если Mi — Mj-проективный модуль для всех i и j;
в) если все Mi — изоморфные квазипроективные модули, то M — квазипроективный модуль.
17.29. Пусть M = Z2, N = Z4. Тогда M и N — квазиинъективные модули над Z. Однако M 0 N не является ни
п-инъективным, ни малоинъективным, ни квазиинъективным Z-модулем.
17.30. 1) Все прямые слагаемые квазипроективных (малопроективных, п-проективных) модулей являются квази-
проективными (малопроективными, п-проективными) модулями.
2) M — малопроективный модуль в точности тогда, когда каждый эндоморфизм любого фактормодуля модуля M
поднимается до эндоморфизма модуля M. В частности, все малопроективные модули являются п-проективными.
3) Каждый строго неразложимый модуль является п-проективным.
4) M — строго неразложимый модуль в точности тогда, когда все собственные подмодули модуля M являются его
малыми подмодулями.

103 Проективные и инъективные модули.

5) Каждый квазипроективный модуль является малопроективным.
17.31. Если 0 = e = 1 — некоторый центральный идемпотент кольца R, то eR — проективный, но не свободный
правый R-модуль.
17.32. Пусть М = (0 Mi. Тогда М — квазипроективный модуль, если и только если Mi — квазипроективные
i=i
модули для всех i = 1,… ,n.
17.33. Пусть М = Z2, N = Z4. Тогда М и N являются неразложимыми квазипроективными модулями над кольцом
Z. Покажите, что М 0 N не является ни п-проективным, ни малопроективным, ни квазипроективным Z-модулем.
17.34. Для кольца R равносильны следующие условия:
а) R — наследственное справа кольцо;
6) все подмодули проективных правых R-модулей являются проективными;
в) все подмодули проективных правых R-модулей являются п-проективными;
г) все фактормодули инъективных правых R-модулей являются инъективными модулями;
д) все фактормодули инъективных правых R-модулей являются п-инъективными модулями.
17.35. Для кольца R равносильны следующие условия:
а) R — нетерово справа кольцо;
б) все прямые суммы инъективных правых R-модулей являются инъективными модулями;
в) все счетные прямые суммы инъективных правых R-модулей являются инъективными модулями;
г) все счетные прямые суммы инъективных правых R-модулей являются п-инъективными модулями.
17.36. 1) Все гомоморфные образы прямых сумм инъективных правых модулей над наследственным справа нете-
ровым справа кольцом являются инъективными модулями.
2) Все гомоморфные образы прямых сумм инъективных правых модулей над областью главных правых идеалов
являются инъективными модулями.
3) Все гомоморфные образы прямых сумм инъективных абелевых групп являются инъективными модулями над
кольцом Z.
17.37. Для кольца R равносильны следующие условия:
а) R — классически полупростое кольцо;
б) все правые R-модули являются п-инъективными;
в) все правые R-модули являются инъективными.
17.38. Пусть М — неразложимый квазипроективный R-модуль.
1) Если N — малый подмодуль в М и Endл М — локальное кольцо, то M/N — неразложимый модуль.
2) Если М конечно порожден и Endл М — локальное кольцо, то М/J(М) — неразложимый модуль.
3) Если М/J(М) — полупростой модуль и J(М) — малый подмодуль в М, то равносильны следующие условия:
а) М — локальный модуль;
б) Endл М — локальное кольцо.
17.39. Если Мл — конечно инъективный модуль над полунаследственным справа кольцом R, то каждый гомоморфный
образ модуля М является конечно инъективным.
17.40. Если М — правый модуль над кольцом R и B — такой правый идеал кольца R, что B = гл (X) для
некоторого подмножества X модуля М, то B называется правым M-аннулятором.
Для инъективного модуля Мл равносильны следующие условия:
а) 0 М — инъективный модуль для любого кардинала m;
б) 0 М — инъективный модуль;
^0
в) R — кольцо с условием максимальности для правых М-аннуляторов.
17.41. Пусть {Bi}iei — множество всех правых идеалов кольца R, Ni = Rл/Bi, Nл = 0 Ni, М — инъективная
iei
оболочка модуля N, t — мощность модуля М.
1) Каждый правый идеал кольца R является правым М-аннулятором.
2) Если R — кольцо с условием максимальности (минимальности) для правых М-аннуляторов, то R — нетерово
справа (артиново справа) кольцо.
3) R — нетерово справа кольцо в точности тогда, когда 0 М — инъективный модуль.

104 Проективные и инъективные модули. 

4) Если Pr — любой модуль, являющийся расширением прямой суммы Q некоторых неизоморфных циклических
модулей, то существует мономорфизм f: P — M. Следовательно, мощность модуля P не превосходит t.
5) Мощность каждого неразложимого п-инъективного правого R-модуля P не превосходит t.
6) Мощность каждого дистрибутивного правого R-модуля P не превосходит t.
17.42. Для кольца R равносильны следующие условия:
а) R — нетерово справа кольцо;
б) 0 M является инъективным модулем для любого инъективного правого R-модуля M;
^0
в) каждый инъективный правый R-модуль M является прямой суммой неразложимых модулей;
г) существует такое кардинальное число t, что каждый инъективный правый R-модуль является прямой суммой
модулей, мощность которых не превосходит t.
17.43. Пусть Qr — инъективный ненулевой модуль. Следующие условия эквивалентны:
а) Q неразложим;
б) Q является инъективной оболочкой любого своего ненулевого подмодуля;
в) каждый подмодуль в Q равномерен;
г) Q является инъективной оболочкой некоторого своего ненулевого равномерного подмодуля.
17.44. 1) Инъективная оболочка простого модуля неразложима.
2) Неразложимый инъективный модуль содержит не более одного простого подмодуля.
3) Если кольцо R артиново справа, то каждый ненулевой неразложимый инъективный правый R-модуль есть
инъективная оболочка некоторого простого модуля.
17.45. Модуль M = 0 конечно копорожден тогда и только тогда, когда его инъективная оболочка Q(M) представима
в виде Q (M) = Qi 0 … 0 Qn, где каждое Qi есть инъективная оболочка простого модуля.
17.46. Следующие условия эквивалентны:
а) модуль Rr артинов;
б) каждый инъективный модуль Qr является прямой суммой инъективных оболочек простых R-модулей.
17.47. 1) Пусть модуль Qr инъективен, S = EndR Q и а € S. Тогда малость подмодуля Sa в sS равносильна как
тому, что а € J (S), так и тому, что Ker а — существенный подмодуль в Qr.
2) Пусть модуль Pr проективен, S = EndR P и а € S. Тогда малость подмодуля a S в Ss равносильна как тому,
что а € J (S), так и тому, что Im а — малый подмодуль в Pr.
17.48. Пусть 0 = P — проективный модуль. Тогда J (P) = P. В частности, P содержит хотя бы один максимальный
подмодуль.
17.49. Для всякого проективного модуля P имеет место равенство J (P) = PJ(R).
17.50. Для модуля M равносильны следующие условия:
а) M — непрерывный модуль;
б) M — п-инъективный модуль и для любого его эндоморфизма f такого, что Ker f — замкнутый подмодуль в M,
Ker f и f (M) являются прямыми слагаемыми модуля M;
в) M — п-инъективный модуль и для любого его эндоморфизма f такого, что Ker f — прямое слагаемое модуля
M, модуль f(M) является прямым слагаемым модуля M.
17.51. Пусть E — инъективная оболочка модуля M. Равносильны следующие условия:
а) M — п-инъективный модуль;
б) для любого такого подмодуля N модуля M, что N = 0k=iNi, существует такое прямое разложение M = 0k=1
lMi,
что Mi — существенное расширение модуля Ni для любых i = 1,… ,k;
в) для любых таких замкнутых подмодулей Ni,… , Nk модуля M, что сумма модулей Ni является прямой суммой,
0k=iNi является прямым слагаемым модуля M;
г) для любых таких замкнутых подмодулей N1, N2 модуля M, что N1 П N2 = 0, N1 0 N2 — прямое слагаемое модуля
M;
д) f (M) С M для любой проекции f модуля E;
е) M = 0iei (M П Ei) для любого прямого разложения модуля E = 0ieiEi.
17.52. Пусть E — инъективная оболочка модуля M. Равносильны следующие условия:
а) M — квазиинъективный модуль;
б) M непрерывный модуль и f (M) С M для любого гомоморфизма f: M — E;

105 Проективные и инъективные модули. 

в) М — вполне инвариантный подмодуль в E.

106 Проективные и инъективные модули.