Проективные и инъективные модули.

185 Проективные и инъективные модули. 

N-инъективный модуль, то естественное вложение f (M) ^ N продолжается до гомоморфизма g: N ^ f (M). Тогда g —
проекция модуля N на f(M). Поэтому f(M) — прямое слагаемое в N.
17.22. 1) (^). Для каждого 0 = m 6 M существует изоморфная копия Tm модуля T и гомоморфизм fm: M ^ Tm такие, что
fm(m) = 0. Прямое произведение всех гомоморфизмов fm является мономорфизмом из M в Пт ieM Tm.
(^). Пусть g: M ^ П jej Tj — такой мономорфизм, что для любого j 6 J существует изоморфизм fj: Tj ^ T. Пусть
hj: ГТ j e j Tj ^ Tj — естественные проекции. Тогда (hjg) (M) = 0 для некоторого j 6 J. Следовательно, fj hjg: M ^ T —
ненулевой гомоморфизм.
2) а) ^ б). Заметим, что любой ненулевой гомоморфизм из простого модуля является мономорфизмом.
б) ^ а). Пусть M — модуль, N — его ненулевой циклический подмодуль. Модуль N обладает простым фактормодулем.
Поэтому существует ненулевой гомоморфизм f: N ^ T. Так как T — инъективный модуль, то f продолжается до некоторого
гомоморфизма M ^ T.
б) в). Заметим, что сумма попарно неизоморфных простых подмодулей модуля T является прямой суммой.
17.24. 1) проверяется непосредственно. 2) Пусть Г — множество всех существенных расширений модуля N в M. Очевидно,
что Г = 0, удовлетворяет лемме Цорна и поэтому содержит максимальный элемент H. Ясно, что H — замыкание N в M.
3) Существует H L(M) такой, что N С H, G П H = 0, M — существенное расширение модуля G ф H и G П K = 0 для
любого подмодуля K модуля M, строго содержащего H. Допустим, что K L(M) и K — существенное расширение модуля
H, строго содержащее H. Тогда G П K = 0. Так как K — существенное расширение H, то (G П K) П H = G П H = 0.
Полученное противоречие показывает, что H — замкнутый подмодуль в M.
4) есть следствие 3).
5) По 3) существует такой замкнутый подмодуль M2 модуля M, что N2 С M2, N1 П M2 = 0, M — существенное расширение
модуля N1 ф M2 и N1 П K = 0 для любого подмодуля K модуля M, строго содержащего M2. По 2) N1 обладает замыканием
M1 в M. Так как M1 — существенное расширение модуля N1 и N1 П M2 = 0, то M1 П M2 = 0. Существенность N1 ф M2 в
M влечет существенность M1 ф M2.
6) Так как N П H = 0, то по 3) существует замкнутое дополнение H1 к N, содержащее дополнение H к N. Поэтому
H = H1 — замкнутый подмодуль в M. Так как G — существенное расширение N и N П H = 0, то H П G = 0. Кроме
того, M — существенное расширение H ф G. Непосредственно проверяется, что H П T = 0 для любого T L(M), строго
содержащего G. Поэтому G — дополнение к H.
7) следует из 6) и из того, что каждый замкнутый подмодуль совпадает со своим замыканием.
17.25. а) ^ в). Существуют такие замкнутые подмодули M1 и M2 модуля M, что N1 С M1, N2 С M2, M1 П M2 = 0, M —
существенное расширение модуля M1 фM2 и M1ПK = 0 для любого K 6 L(M), строго содержащего M2. Пусть M = M1 фM2,
f: M ^ M1 — проекция с ядром M2. По условию существует f 6 End M, совпадающий с f на M. Поэтому M1 С f (M), M2 С
Ker f. Кроме того, M2 С f-1 (M2). Поэтому M2 = f-1 (M2), поскольку в противном случае M1 П f-1 (M2) = 0. Допустим,
что f (M) строго содержит M1. Тогда существует ненулевой элемент f(m) 6 M2 П f(M). Поэтому m 6 f-1 (M2) = M2 и
f (m) = 0, противоречие. Следовательно, f (M) = M и M2 = Ker f, f = f2. Поэтому M = M1 ф M2.
в) ^ г). Существуют такие замкнутые подмодули M1 и M2 модуля M, что Q1 С M1, Q2 С M2, M1 П M2 = 0, M —
существенное расширение модуля M1 ф M2 и M1 П K = 0 для любого K 6 L(M), строго содержащего M2. По б) существует
такое прямое разложение M = M1 ф M2, что M1 С M1 и M2 С M2. Допустим, что M2 строго содержит M2. Тогда
0 = M1 П M2 С M1 П M2, противоречие. Следовательно, M2 = M2. Докажем, что M1 = M1. Достаточно показать, что M1 —
существенное расширение модуля M1. Допустим противное. Тогда существует такой 0 = T 6 L (M1), что T П M1 =0. Так
как M — существенное расширение модуля M1 ф M2, то существует такой ненулевой элемент t = m1 + m2, что Ш1 6 M1,
m2 6 M2. Откуда m2 = t — Ш1 6 M1 П M2 = 0 и, значит, t = m1 6 T П M1 = 0, противоречие.
г) ^ б). Пусть f — идемпотентный эндоморфизм модуля N 6 L(M), N1 = f (N), N2 = (1w — f) (N). Тогда N1 П N2 = 0.
Существуют такие замкнутые подмодули Q1 и Q2 модуля M, что N1 С Q1, N2 С Q2, Q1 П Q2 = 0, и M — существенное
расширение модуля Q1 ф Q2. По условию M = Q1 ф Q2. Пусть g: M ^ Q1 — проекция с ядром Q2, g — требуемое
продолжение f.
17.35. Импликации б) ^ в) и в) ^ г) очевидны.
г) ^ в). Пусть Mr — счетная прямая сумма инъективных модулей, Q — инъективная оболочка Rr. Тогда по условию
Q ф M — п-инъективный модуль и, значит, M — Q-инъективный модуль (убедитесь в этом). Поэтому, если I — правый
идеал в R, то всякий гомоморфизм I ^ M продолжается до гомоморфизма Q ^ M, в частности, до Rr ^ Mr. По критерию
Бэра M — инъективный модуль.
в) ^ а). Пусть B1 С B2 С … — цепь правых идеалов кольца R, Ei — инъективная оболочка для R#/Bi, B = [J?= Bi,
M = ф|_1 Ei, fi: B ^ Ei — такие гомоморфизмы, что fi(x) = x + Bi, i = 1, 2,… . Пусть f — прямая сумма гомоморфизмов
fi, f: B ^ M. Так как по условию M — инъективный модуль, то по критерию Бэра существует такое m 6 M, что f (b) = mb
для всех b B. Поэтому существует такое n, что mR С i
n
=1 Ei, откуда Bi = Bn для всех i > n.
а) ^ б). Пусть M — прямая сумма инъективных правых R-модулей Mj (j 6 J), B — правый идеал кольца R, f 6
Hom(BR,M). Так как f (B) — конечно порожденный модуль, то f(B) содержится в N = ФkeK Mk для некоторого конечного
подмножества K С J. Тогда N — инъективный модуль, поэтому f продолжается до гомоморфизма g: Rr ^ M. По
критерию Бэра M — инъективный модуль.
17.39. Пусть h: M ^ M — эпиморфизм, B — конечно порожденный правый идеал кольца R, f: Br ^ M — гомоморфизм.
По условию Br — проективный модуль. Поэтому существует такой гомоморфизм f: Br ^ M, что f = hf. Так как M —

186 Проективные и инъективные модули.

конечно инъективный модуль, то f продолжается до гомоморфизма g: Rr ^ M. Пусть g = hg 6 Hom [Rr,M^j . Так как g —
продолжение f, то M — конечно инъективный модуль.
17.40. б) ^ в). Допустим, что R содержит бесконечную цепь B1 С B2 С … правых M-аннуляторов. Если Ni = {m 6
M \ mBi = 0}, то N1 Э N2 Э … — бесконечная цепь подмодулей модуля M. Пусть xi 6 Ni\Ni+1 , B = [J?= Bi. Для каждого
b 6 B существует такое n, что xn+jb = 0 для всех j ^ 1. Поэтому правилом f (b) = (x1b, x2b,…) задается гомоморфизм
f: Br ^ ф^о M в инъективный модуль ф^ M. По критерию Бэра существует y = (y1,… ,yn, 0,…) 6 ф^о M такой, что
(x1b, x2b,…) = f (b) = yb = (y1b,… , ynb, 0,…). Получено противоречие, поскольку xn+1 6 Nn+2.
в) ^ а). Пусть B — правый идеал кольца R, f 6 Hom (Br, ф\i\M). Так как ф\i\M — подмодуль инъективного модуля Mi, то
по критерию Бэра существует x = (xi)iei 6 M1 такой, что f (b) = xb для всех b 6 B. Для любого подмножества J С I через xj
обозначим такое (yi)iei 6 M1 , что yi = xi при i 6 J и yi = 0 при i 6 I\J. Рассмотрим множество E = {r (xi\f) \ F — конечное
подмножество в I}. Из условия следует, что E содержит максимальный элемент r {xi\G). Если F — конечное подмножество
в I, содержащее G, то r (xi\a) = r [xi\^. Пусть b 6 B, f (b) = (zi)iei 6 Mi. Так как f (b) 6 ф\I\M, то существует такое
конечное подмножество F (b) множества I, что G С F (b) и zi = 0 при i 6 I\F (b). Поэтому b 6 r (xi\p= r (xi\a).
Следовательно, f (b) = xb — xi\ab = xab. Так как b — произвольный элемент из B и xa 6 ф\I\M, то по критерию Бэра
ф\I\M — инъективный модуль.
17.43. а) ^ б). Пусть 0 = U С Q и Q (U) С Q — инъективная оболочка модуля U. Тогда Q(U) — прямое слагаемое в Q.
Откуда Q(U) = Q.
б) ^ в). Пусть M С Q и 0 = A, B С M. Так как Q — инъективная оболочка для A, то A — существенный подмодуль в Q.
Значит, A П B = 0.
в) ^ г). В качестве равномерного подмодуля можно взять сам Q.
г) ^ а). Пусть Q — инъективная оболочка своего равномерного подмодуля M. Допустим, что Q = AфB, где A, B = 0. Так как
M — существенный подмодуль в Q, то 0 = MПA,MПB. Из однородности M следует, что 0 = (M П A)^M П B) С AПB = 0,
противоречие.
17.46. а) ^ б). Артиновость справа кольца R влечет его нетеровость. Поэтому по 17.42 в) Qr является прямой суммой
неразложимых модулей, каждый из которых по 17.44 есть инъективная оболочка простого модуля.
б) ^ а). Достаточно показать, что каждый фактормодуль M = R/A модуля Rr удовлетворяет условию 17.45. Пусть
Q (R/A) — инъективная оболочка R/A, Q (R/A) = ФieI Qi, где Qi — инъективные оболочки простых модулей. Цикличность
модуля R/A влечет, что он содержится в некоторой конечной сумме ФieIo Qi, откуда I = Io.
17.47. 1) Из 15.80 вытекает, что малость подмодуля Sa в sS равносильна включению a 6 J(S). Здесь инъективность Q не
потребовалась.
Докажем, что Ker a — существенный подмодуль в Q для любого a 6 J(S). Пусть U С Qr и Ker a(^U = 0. Тогда ao = a \ U —
мономорфизм. Существует в 6 End Qr со свойством вao = р, где р: U ^ Q — вложение. Тогда U С Ker(1 — вa). Так как
вa 6 J(S), то 1 — вa обратим. Значит, Ker (1 — вa) = 0, поэтому U = 0.
Докажем, что Sa — малый подмодуль в sS, если Ker a — существенный подмодуль в Q. Пусть Sa + Г = S, где Г С sS.
Существуют такие и 6 S, y 6 Г, что aa + y =1. Тогда Ker a П Ker y = 0. Поэтому Ker y =0, откуда 1q = Sy для некоторого
S 6 End Qr и, значит, Г = S.
2) Опять первая эквивалентность следует из 15.80.
Допустим, что a 6 J(S). Пусть U С Pr, Im a + U = P и v: P ^ P/U — канонический эпиморфизм. Тогда va — эпиморфизм.
Поэтому v = vaв для некоторого в 6 End Pr. Тогда v(1 — aв) = 0, т.е. Im (1 — aв) С U. Так как a 6 J(S), то aв 6 J(S).
Следовательно, 1 — aв обратим. Откуда P = Im (1 — aв) С U, т.е. U = P. Поэтому Im a мал в P.
Допустим, что Im a мал. Пусть aS + Г = Ss. Тогда aa + y =1 для некоторых и 6 S, y 6 Г. Поэтому Im a + Im y = P и,
значит, Im y = P, т.е. y — эпиморфизм. Следовательно, 1p = yS для некоторого в 6 End Pr. Откуда Г = S. Поэтому aS
мал в Ss .
17.49. Согласно 17.7 для u 6 J(P) существуют такие yi 6 P и фi 6 HomR (P, R), что u = ^ y^^i (u). Так как фi (u) 6 J(R),
то u PJ(R).

187 Проективные и инъективные модули.