Производная произведения

10 СЕЛФИ, ЗА СЕКУНДУ ДО СМЕРТИ.

§ 235. Производная произведения.

Пpи переходе к пределу, когда Ал: —> 0, учтем, что к правой
части последнего- равенства надо применить сначала теорему
о пределе суммы. » так как каждое слагаемое одновременно
является и произведением, то и теорему о пределе произведения:

поскольку а и v от Ах не зависят и потому считаются постоянными
по отношению к Ал:, а предел постоянной равен
самой постоянной. Предел приращения Ло равен нулю в силу
предполагаемой непрерывности функции ч). Итак,
(V) (и • v ) ‘— а’ ■ 0 + и • о’.
Производная произведения двух дифференцируемых
функций равна производной от первой функции, умноженной
на вторую, плюс первая функция, умноженная
на производную от второй.
Приме чание . Словесная формулировка правила дана
в полном согласии с тем, как должна действовать рука учащегося,
применяющего это правило.

407 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Производная произведения.

§ 236. Производная частного.

3) При делении обеих частей этого равенства на Ах
учтем, что в правой части достаточно числитель разделить
на Ах, а поскольку он представляет алгебраическую сумму,
то каждое слагаемое будет разделено на Ах

408  АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Производная произведения.

Производная дроби равна производной числителя,
умноженной на знаменатель, минус числитель, умноженный
на производную знаменателя, — и все разделенное
на квадрат знаменателя.

409  АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Производная произведения.

§ 237. Производные тригонометрических функций.

4) При переходе к пределу применяем к правой части
теорему о пределе произведенйя

410

(первый замечательный предел). Итак,
(sin х )’ sse cos Ж* ‘
2. Подобным образом можно получить производную функции
cos X I
(cos хУ = — sin лг.
3. Чтобы найти проиаводную от ig x , нет необходимости
идти методом приращений, как во всех предыдущих выводах
формул; лучше рассматривать tg x как дробь и применить
правило дифференцирования дроби:

§ 238. Сложная функция.

Такие известные нам функции, как например:
1) у — х 3; 2) у — sin*; 3) у — 2х; 4) y = Ig x
и т . д. являются простыми функциями на том основании,
что над данным значением аргумента * нужно выполнить
лишь одну операцию, чтобы получить соответствующее зна-
чение функции у. Если, например, х — -’3^, то в первом при-
мере у = I/-3g\-I* * во втором — у — si. n 3 , где число 3 надо
считать радианной мерой угла и найти по таблицам синус
этого числа. В примере 4) операция состоит в нахождении
логарифма числа 3 (тоже по таблицам).
Сравним названные выше функции с такими:
1) у = (Зх-{-5)3; 2) y = sin-|-; 3) у= 2*2; 4 ).y= lg (x s-f-l>,
которые называются сложными функциями.Спожтстъ их
.состоит в tomi что в примере 1) в куб возводится не аргумент
х, а выражение З х -^ 5 , что само по себе уже есть
функция от х. В примере 2) синус берется не от х , а от
~ , но аргумент -j- также есть функция от * и т. д.
Характерный признак сложной функции состоит в том,
что такую функцию можно нредставить в виде цепочки простых
функций- Например:
1) если y = (3*-f-5)3; то у = «3, и = 3x-f-5;
2) у = sin -i-, y=s=sin«, И = — •
Оп р е д е л ен и е . Если у = /(« ), где й==ф(х), то у
есть сложная функция от. х , заданная посредством промежуточного
аргумента и. Сложную функцию можно записать
также и одной формулой вида
У *=/№■(*)]•

§ 239. Производная сложной функции.

Пусть дана сложная функция
У = /(« ) . а = ф(*).
Обе функции /(и ) и <р(х) будем считать дифференцируемыми.

411

Если независимая переменная х получает приращение Ах,
то промежуточный аргумент и получает приращение Ли,
функция у получает приращение Ду, Будем считать, что
Ли Ф 0 при Ах ф 0. Тогда можно написать тождество
Лу Ду Аи
Дх Д и Дл ’
справедливое при всяком Дх ф 0.
В таком случае равенство сохраняется и при переходе
к пределу, когда Лх ->0:
urn Ду — lim -Д—у •am-;Л—и , Ах->о Ах Ди Ах
или
*уХ’ = Ху’и • ах’.- ‘ г ………….
По яс нение . Ли~»0 при Ах ~>0 в силу непрерывности
функции и ~ ср(х), а потому
Alxim-+.q Ax = , Ьи • и*’ — уSu’ ■ иX’
Мы получили самую важную формулу для техники диффе-’
ренцирования, которую словами можно выразить так:
Производная сложной функции равна производной
от этой функции по промежуточному аргументу (считая
его как бы независимой переменной), умноженной
на производную от промежуточного аргумента ад
независимой переменной.

При дифференцировании сложной функции обычно в уме
представляют ее разложение на .простые функции, не выписывая,
чему равно и, что быстрее ведет к цели:

412

Полученные ранее формулы производных теперь могут
. быть обобщены:

§ 240. Производная логарифмической функции

Применим общую схему отыскания производной к функции
У = 1п х,
где значок «1п> означает натуральные логарифмы (по основанию
е):

По общей схеме «может быть получена производная также
от показательной функции. Но можно поступить проще:
сначала прологарифмировать равенство у — е* по основанию
е: In у = х , и теперь дифференцировать с учетом того,
что у есть функция х:

413

Результат примечателен в том отношении, что нашлась такая
функция, производная которой равна самой функции

414

Упражнения

1. Известно, что путь, пройденный свободно падающйм телом,
V — вычисляется по формуле S где S — путь в метрах, g —
ускорение силы тяжести, равное 9,8 м/сек3, <— время в секундах.
Найти: I) среднюю скорость тела за промежуток времена
— от <1 = 2 до <2 = 5; 2) скорость v тела в момент < = 2,’ вычисляя
lira ; 3) показать, что скорость v свободно падающего тела
.• д/-*о Д<
в любой момент времени < равна v — gt.
■ 2. Вычислением lira —Ду■ найти производные от функций:

4. Вычислить / ‘ (0), если / <*) = У»х» Ял х.
5. Найти наклон касательной к параболе у = 0,5л:а + 1 в точках
дс«= ± 1.
6. Найти наклон касательной к синусоиде у = sin .* в точке.
ЛГ = JI.
7. Применяя правило дифференцирования сложной функции!
« ; найти производные от следующих функций

Скачать или посмотреть оригинал
«АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 18. ПРОИЗВОДНАЯ» в формате PDF (396-415).

415 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Производная произведения.