ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

§ 44. Основные понятия и определения.

Оп р е д е л е н и е 1. Величина называется постоянной,
если в условиях данного исследования (наблюдения, эксперимента)
она сохраняет одно и то же значение. Примеры постоянных
величин: 1) период обращения Земли вокруг Солнца
или вокруг своей оси, 2) ускорение силы тяжеети g в данной
точке земной поверхности, 3) сумма внутренних углов
треугольника и т. д.
Опр е д е л ение 2. Величина называется переменной,
если в данном исследовании или процессе она принимает
различные значения.
Примеры: 1) расстояние, отделяющее парашютиста от
поверхности Земли после того, как он выбросился из самолета;
2) угол зрения, под которым виден удаляющийся от
наблюдателя предмет (самолет, человеческая фигура, танк и
т. д.); 3) скорость истечения жидкости из сосуда через отверстие
под изменяющимся давлением (напором); 4) температура
воздуха в течение суток.
Одна и та же величина в одних условиях может оказаться
постоянной, в других — переменной. Например, ускорение
силы тяжести g будет переменной величиной, если ее

89 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

измерять на различных широтах земной поверхности: на полюсе
она больше, чем на экваторе (для Москвы £ = 9,81 м/сек2).
Постоянные величины принято обозначать начальными буквами
латинского, алфавита: а, Ь, с, . . . . переменные величины—
через х , у, г, . . .
В математике отвлекаются от физического смысла переменных
величин, участвующих в том или другом процессе,
а интересуются только их’ количественной стороной, т. е.
числовыми значениями изменяющихся переменных величин.
Это приводит к одному из важнейших понятий математики —
понятию функции.
Оп р е д е л е н ие 3. Переменная величина у называется
функцией другой переменной х , если каждому допустимому
значению х соответствует вполне определенное значение у.
При этом х называют аргументом или независимой переменной,
у —-зависимой переменной или функцией. Говорят,
что переменный величины х и у связаны между собой
функциональной зависимостью, и записывают: у = / ( х )
(«игрек равняется эф от икс»). Здесь под буквой / подразумевается
правило, по которому каждому рассматриваемому
значению х ставится в соответствие определенное значение
у; так, например, если у==ЗхК т при символической
записи этой функции в виде y = f ( x ) под буквой / надо
подразумевать две операции, производимые над аргументом х:
возведение аргумента в квадрат и умножение полученного
висла на 3.
Возвращаясь к рассмотренным примерам, теперь можно
сказать, что:
1) расстояние, отделяющее парашютиста от поверхности
Земли, есть функция времени падения;
2) угол, под которым видна цель из данной точки, есть
функция расстояния до цеди;
3) скорость истечения жидкости из сосуда есть функция
высоты уровня жидкости

§ 45. Допустимые значения аргумента

В определении функции были упомянуты допустимые значения
аргумента х . Что подразумевать иод допустимыми
значениями х , выяснится из рассмотрения следующих двух
примеров.
Пример 1. Выразить длину хорды АВ полукруга радиуса
R как функцию расстояния ее от центра круга

90 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

(рис. 17), Если х — расстояние от Центра круга О до’ хорды
АВ — у, то у = 2 — х2.. Ясно, что х может изменяться
-только в пределах от 0 до R, т. е. О х ■< R. Всё числа*
заключенные между нулем и длиной радиуса R, в данном
случае и будут допустимыми
значениями аргумента х.
… Приме р 2. Если рас*
сматривается площадь квадрата
как функция его стороны:
у = х 2, где у — площадь
квадрата, то здесь х
может быть любым положительным
действительным чи- Рис. 17.
слом: х > 0.
Приме р 3. Функция у = — i определена’для всех значений
х , кроме нуля.
Приме р 4. Функция у == у . * v определена для х > 2.
П р и м е р 5. Функция у ==* I х \ ■ о■пределена для всех значений
х , кроме нуля.

§ 46. Графическое изображение функции

Для наглядного представления функциональной зависимости
между двумя переменными величинами х и У поступают
следующим образом; А
1) составляют таблицу значений аргумента х и функции у;
2) каждую пару значений х н у принимают за координаты
точки и строят эти точки в выбранной системе координат;
3) полученный ряд отдельных изолированных точек составляет
как бы «скелет» некоторой кривой; это—опорные
точки, через которые, от руки или с помощью лекала проводят
плавную линию, тшваежую-^рафиком данной функции.
Чем больше построено опорных точек, тем точнее
может быть построен график.
1 Опр е д е л ение . Графиком функции y=z f ( x ) называется
множество всех точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют уравнению у= f (x ).
Приме р. Построить график функции у — 0,5х3 — i на
отрезке [—3; 3J.

91 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

Через полученные 11 точек проводим плавную кривую,
называемую кубической параболой (рис. 18).
По графику можно прочесть следующие свойства функции:
1) Функция у = 0.5л:3 — 1 возрастает на всем отрезке
[—3; 3), т. е. большему значению аргумента аз данного
промежутка соответствует
большее значение функции. Так,
например, двум значениям аргумента
х 1 — — 3 и дг2 — —-2 соответствуют
значения функции
= — 14,5 и у2 — — 5. Но
jr2 > &1 и :у2> У1> что означает
возрастание у.*
График возрастающей функции
есть в о с х о д яща я кривая,
если точка … движется по
кривой в положительном направлении
Оси Ох.
, 2) Наименьшее значение функция
принимает на левом конце
отрезка (—14,5), наибольшее значение
— на правом конце (12,5).
3> Функция обращается в нуль
при ж — ] / 2яз 1,3; число У 2
является корнем функции, и в этой
Рис. 18. точке график пересекает ось абсцисс.
4) При . функция у — — 1, т. е. график пересекает
ось ординат в точке (0; 1).

92 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

§ 47. Исследование функции

В предыдущем параграфе после построения .графика
функции у = 0 ,5 л;3— 1 были отмечены свойства этой функции.
Эти свойства как бы «снимались» с графика.
Нельзя ли поступить наоборот, т. е. сначала установить
свойства данной функции по ее аналитическому (т. е. заданному
формулой) выражению, а потом на основе этих свойств
построить график?
Оказывается, что в простейших случаях можно дать
утвердительный ответ на поставленный вопрос.
Покажем на примерах, как на основе формулы, определяющей
данную функцию, можно установить ее свойства.
При ме р 1. Исследовать функцию у = х 2 —-Дх -j- 4 и
построить ее график.
Трехчлен х 2— 2х + 4 можно представить в следующем
виде: л;2—■ 2х 1 -(- 3 = (л; — I)2 3, т. е.
У —(х — 1)2 + 3.
Жожем установить:
1) Функция у определена при любом -действительном
значении аргумента х , т. ё. область определения функции —
вся числовая ось*).
2) Все значения функции положительны, так как сумма
( х— I)2 —j— 3 > 0 при любом действительном х .
3) Наименьшее значение функции равно 3 и соответствует
точке х = И в которой (х — I)2 обращается в нуль;
при всяком х ф 1 .выражение ( х— 1)2 > 0, а потому сумма
( х— l)2- f — 3 > 3 или у > 3. ‘ •
4) Слева от точки х = 1 функция у убывает, т. е.
большему значению аргумента соответствует меньшее
значение функции; например, если х х = — 2, х 2 —
= — 1 (х2 > х,). то
y1 = ( _ 2 — l ) 2-j-3 = 12, у2 = ( — 1 — 1 )2 + 3 = 7.
т. е. у2 < У\. Это и понятно: пока аргумент остается меньше
единицы ( х < 1), выражение ( х— I)2 убывает с возрастанием
х, так как большему отрицательному числу соответствует
меньший квадрат, а потому убывает и функция
*) Областью определения функции называется совокупность
всех допустимых значений аргумента этой функции.

93 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

убедиться
и в jjp^i ч^о Яри х > 1 (х I)2 возрастает одновременно
с возрастанием х , следовательно, функция у =
■* (я — I)2 -f- 3 также^возрас^ает.
б) На основании всего скащрого о функции у—(я—l)2-j-3
во график можно подхроит^^^ующим^обр.азЬм:
построим точку jM(1; 3), в’ которой функция достигает
наименьшего значения, и от точки М вправо* и влево график
функции должен уходйть вверх, как
показано на рис. 19.
П р и м е ^ 2,: й « д рш а т ь функ-
цию у — 2х f и построить ев * Т*
график.
.1) Данная функция определена
при любом действительном значении
аргумента
2) Двум противоположным значениям
аргумента х , например,
лг = ± 2, соответствуют также два
противоположных значения функции:
в нашем ‘Случае у =
Две точки типа и —2; — -ij с противоположными
координатами симметричны относительно начала
координат, следовательно, график функции представляет
кривую, симметричную относительно начала координат.
3) При х = 0 функция у = 0, т. е. график проходит
через начало координат.

4) Функция у — достигает наибольшего значения
при х = 1 ; это наибольшее значение равно ~ 1-
Действительно, из очевидного неравенства (1 — х 2) ^ О
следует, что 1 -j- х 2 — 2л; 0, или 2х 1 -j- х 2; разделив
обе части этого неравенства на положительное число (1 -j- х 2),
получим
■ :■■■■ 2Х
т + я
причем равенство имеет место только при х ■
ветствует наибольшему значению функции,

94 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

б) Из симметрии графика функции относительно начала
координат следует, что в точке х = — 1 функция у =*
— = 2х ^ ■ при’н имает наименьшее зна. че„ ние, равное — 11 .
2Х 6) Если числитель и знаменатель дроби •pr~^g- разде-
2 2 * лить на х , т<^ получим -— или у = *у .
X 1 X 1
При неограниченном возрастании аргумента х значения
функции убывают и приближаются к нулю, так как дробь
с постоянным числителем и возрастающим знаменателем Может
сделаться сколь угодно
малой, что условно записывают
так;
у -> 0 при х -* о о .
7) Принимая во внимание
все сказанное
выше, график функции
у =* f q r p дбджен иметь
вид, показанный на рис_ 20,
рис 20.
Рассуждения, с помощью которых мы устанавливали
свойства данной функции по ее аналитическому выражению,
составляют то, что принято называть э л еме н т а рным
. ис с л е д о в а нием функции. В результате такого иссле-
доваиия дЬяяовд ,
1) область определения ладной функции;
2) корни данной функции, т. е. значения аргумента,
обращающие функцию в нуль (если такие имеются);
3) наименьшее и наибольшее значения функции, если
такие имеются;
4) Промежутки возрастания и убывания функции;
5) поведение функции при неограниченном возрастании
аргумента д г , ^ —
6) график функции.

§ 48. Линейная функция

Определение . Функция вида y = k x — \-b называется
линейной. Название «линейная» происходит от того, что переменные
дси у связаны между собой уравнением первой степени.

95 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

1. Путь S, пройденный телом при равномерном движении,
есть линейная функция времени t :
где v — скорость движущегося тела, S 0 — начальный путь,
пройденный к моменту начала движения: S==S0 при / = 0.
2. Длина пружины есть линейная функция растягивающей
нагрузки (в пределах упругой деформации)
, 1— кР + 1щ .
где /0 длина пружины без нагрузки, р — растягивающая
сила, k — постоянное число для дайной пружины, характеризующее
ее жесткость. ,
Теорема. График линейной функции у — k x — \-b
есть прямая~ линия, отсекающая на оси Оу отрезок
наклоненная к тложцметйрму, направлению
оси Ох под углом <р,
причем & = tg(p.
Д ок а з а т е л ь с т в о . Теорема
будет доказана, если мы
убедимся в том, что любые
три точки, координаты которых
удовлетворяют уравнению
Ь = ОМ0 и
у = k x -\-Ь,
лежат на одной прямой.
Пусть одна из точек будет уМ0(0, Ь)\ остальные две точки
обозначим М1(х 1; ух) и М2(х 2; у2) (рис. 21); тогда имеем
три тождества:
й х ^ у2 — й х 2 j b.
Из второго равенства вычитаем первое, потом из третьего —
первое, получим
у — b —- bx^, у2 b —— k x 2,
откуда .
У y?. ^ b .=k . (l)
Х \ xt
Через точки М0 и М2 проведем прямую и продолжим ее
до пересечения с осью Ох. Через точку М0 проведем параллельную
оси Ох прямую до пересечения с ординатами
точек и М2 в точках Cj и С2

96 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

Тогда из пропорции у, —— Ь — ■ ■Ч■■ 2 •—■?<Ь. • следует» что прямо- Х \
угольные треугольники и М0С2М2 подобны,; так
как их сходственные катеты пропорциональны, а потому
соответственные острыеуглы равны: / тМ 1М0С1 — £_
а это значит, что точка лежит на прямой М0М2, т. е.
все три точки Мй, Мх и М2 лежат на одной прямой.
Но •у’ ~ — — *g ср(из прямоугольного треугольника /И0С,Ж,);
с другой стороны, —-——-Ъ- = k, как это следует из равенств ( 1),
а потому k = tg <р — тангенсу угла наклона прямой к положительному
направлению оси Ох. Теорема доказана.
Опр е д е л ение . Тангенс угла наклона прямой к положительному
направлению оси Ох называется угловым коэффициентом.
прямой. Таким образом, в формуле линейной
функции y==kx~]~b число k есть угловой коэффициент
прямой, число Ь — начальная ордината или отрезок,
отсекаемый на оси Оу.
Справедлива и о б р з т н а я т е о р е м а : всякая прямая,
отсекающая на оси О у отрезок, равный Ь, и накло- ‘
ненная к оси Ох под углом tр, есть график линейной
функции
. y = k x -{-b .
Д ок а з а т е л ь с т в о . Пусть прямая М0М отсекает на
оси Оу отрезок Ь и наклонена к оси Ох под углом <р. Если
М (х, у )— произвольная точка прямой, то ее крррдинаты
удовлетворяют соотношению
L = ± = igq> = k,
откуда
y = k x -\-b ,
т. е. ордината прямой есть линейная функция абсциссы.
График линейной функции удобно строить по начальной
ординате (Ь) и угловому коэффициенту- (&).
Пример 1. Построить график функции у — 2х + 3.
Откладываем по оси Оу вверх от начала О отрезок
ОВ = 3. Через точку В проводим параллель оси Ох,
при точке В строим вспомогательный треугольник BNC,
вертикальный катет которого (NC) в два раза больше

97 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

проводим прямую, которая И есть график линейной функции
узг2а*|»3* >
Приме р 2. Величина 5 есть линейная функция аргумента
t. Известно, что
при
при
* ! = 1
/„ = 3 5 ,:
-5.
:8.
Найти зависимость между S a t .
По условию задачи , ,
т
уравнению (1) должны удовлетворять пары чисел (1; 5)
и (3; 8):
. —J— Ь,
3 ■ Ъ•
Вычитая из второго равенства первое,
находим последовательно
3 = 2А, k== 3
Следовательно,
2 ’ а — 7 ~ 2 *
Рис. 22, П р и м е ч а н и е. В частном случае,
при 6 = 0, линейная функция изобразится
формулой у — k x . Этот частный случай называется
прямой пропорциональностью. График прямой пропорциональности
есть, прямая, проходящая через начало координат.

§ 49. Обратная пропорциональность

Определение . Функциональная зависимость, заданная
формулой
x y = k ,
или
7 у (* *< )),
называется обратной пропорциональностью, Число к
называется коэффициентом обратной пропорциональности

98 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

упругость
Р газа (давление)- при постоянной температуре — обратно
пропорциональные величины: ,
‘ ‘ VP = C,
где С — газовая постоянная.
2) Диаметр обтачиваемого на станке вала и число оборотов
станка в минуту — обратно пропорциональные величины
при постоянной скорости
резания, так как
n -D — v.
график обратной пропорциональности
есть ^кривая* носящая
название равнобочной гиперболы.
На рис. 23 изображены
графики обратной пропорциональности
при k — S и k — — 1..
» -. з
График функции у = ^
может бьпъ получен из графика
функции У —•§ параллельным
переносом его в направлении оси Ох на две единицы масштаба
вправо, как это показано на рис. 24; следовательно, он
также есть равнобочная гипербола.
Покажем, что график функции
■ ■ ‘ ‘2x — f 3

99 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

(дробно-линейная функция) есть также, равнобочная
гипербола. Заметим, что
2х + 3
т. е.
У —2
2 х ~ 4 + 7
х— 2
г х — 2 ’
7
:2 +
Строим сначала график функции
У
У = _ . Теперь все ординаты
графика увеличиваем на две единицы
каждую; это равносильно
тому, что график функции у —
~ ~х’—~2 перемещается, параллельно самому себе вверх в направлении
оси Оу на две единицы масштаба (рис. 25).

§ 50 Четная и нечетная функции

Оп р е д е л ен и е 1. Функция / (х) называется четной,
если перемена знака у аргумента, х не меняет значения функции,
т. е. если / (— x ) — f (х). График четной функции
симметричен Относительно оси Оу (сравните § 47; см. рис. 26).
Рис. 26.
Оп р е д е л е н ие 2. Функция называется нечтной, если
йеремена знака у аргумента изменяет только Зйак функцки,
не меняя ее абсолютной величины, т. е. если f (— x) =
= — / ( х ) .
График нечетной функции симметричен относительно
начала координат (см. рис-‘ 27). —

100 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

П р и ме р ы: л:3 х — нечетная функция, так как
(— хЗ) Н-.(— X) = — (л:3 + *);
х 2 — четная функция, так как (— х)2 = х 2.

§ 51. Степенная функция с натуральным показателем

Оп р е д е л е н и е 1. Функция вида у = а х п называется
степенной. Показатель степени п будем считать рациональным
числом, коэффициент а — любым
действительным числом.
Частные случаи степенной функции
нам уже встречались в предыдущих
параграфах:
1) при* и = 1 у = а х (прямая пропорциональность);
2) при п = — 1 у — ~ (обратная
пропорциональность);
3) при п — 2 у = а х2 (квадратическая
функция).
График функции у = ад:2 есть парабола
(рис. 28)1 По этому графику можно
прочесть следующие .свойства Параболы:
1) допустимыми значениями аргумента
х являются все действительные числа; говорят
еще, что функция определена на всей. числовой оси;
2) функция — четная, т. е. обладает тем свойством,
что замена аргумента х на (— х ) не меняет значения функции,
вследствие чего график функции симметричен остноси-
тельно оси Оу.
3) при а > 0 функция а х2 убывает на отрицательной
полуоси Од: и возрастает на положительной полуоси; при
а < 0 функция а х 2 возрастает на отрицательной полуоси
и убывает на положительной полуоси;
4) при х = 0 функция обращается в нуль.
Отметим, что график квадратической функции общего
вида . у = ад:2 -f- £дг -j- с может быть получен из графика
у — ад:2 двумя параллельными переносами, что поясним на
следующем примере.
. Пример. Построить график функции •
у == 2х2 — 4х —4- 7 .:

101 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

Правую часть равенства можно представить в следующей
форме:
y= = 2 (je — 1)2-Ь5.
Если график функции у = 2х2 перенесем параллельно самому
себе в направлении оси Ох на 1 вправо, то ему будет
соответствовать уравнение у =
= 2 (х — I)2; после того как
вторично перенесем параболу
у == 2 (х — 1 )2 параллельно
самой себе в направлении
оси Оу на 5 единиц вверх,
получим у — 2 {х — 1)2-4- 5
(рис. 29).

52. Степеннйя функция
сположитедьиым дробным
показателем

На рис. 30 изображены графики
функций вида у — а х п-
при 1) »==:-§-; 2 ) « = — i ;
3 ^ п = ^ -(е = 1 ), или 1) у^У~лг;
2) y==^jc и И> у *=s У х г.
Из графиков можно выявить следующие их свойства.
1) Функция у = У х
а) определена для вс.ех положительных значений л; и
нуля (х > 0);
б) возрастает на всей нолуоси;
в) обращается в нуль при j с = 0.
2) Функция у г = У ^ ‘
а) определена на всей числовой оси;
б) возрастает на всей оси; ,
в) нечетная, т. е. при замене аргумента х на (—X)
меняется только знак: (У —х = — V~x)> вследствие чего
график ее симметричен относительно начала координат; ‘
г) обращается в нуль при х ~ 0 .
3) Функция у = У л 2
а) определена на всей числовой оси;
б) четная;

102 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

‘ в) убывает на отрицательной иолу оси и возрастает на
положительной полуоси;
г) обращается в нуйь при х =±= 0»

§ 53. Степенная функция с отрицательным
дробным показателем

представляющие обратные величины функций, рассмотренных
в предыдущем параграфе.;
Графики их изображены на рис. 31

103 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

Для всех трех функций характерно то, что ни одна из них
не определена в точке д: = 0; в этой точке функции претерпевают
разрыв, график каждой из двух последних состоит
из двух ветвей.
Упражнения

Скачать или посмотреть оригинал
«АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ» в формате PDF (63-88).

104 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 6. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

ЕГЭ 2015 Математика.
Библиотека учителя.
Школьная математика.