Наибольшее известное простое число. Ответственный расчет

Наибольшее известное простое число.

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман  ИЗДАНИЕ ДВЕНАДЦАТОЕ СТЕРЕОТИПНОЕ. Под редакцией и с дополнениями В. Г. Болтянского Сборник Математики На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. Скачать 11-ое издание ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман в формате PDF в хорошем качестве, но без возможности каптирования на Главной странице ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман.

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):

Одно дело быть уверенным в том, что сущест-
вуют как угодно большие простые числа, а другое
дело — знать, какие числа являются простыми.
Чем больше натуральное число, тем больше вычисле-
ний надо провести, чтобы узнать, является оно про-
стым или нет. Вот наибольшее число, о котором в на-
стоящее время известно, что оно просто:

2²²8¹-1

Это число имеет около семисот десятичных знаков.
Вычисления, с помощью которых было установлено,
что это число является простым, проводились на со-
временных вычислительных машинах (см. гл. I, II).

Ответственный расчет

В вычислительной практике встречаются такие чи-
сто арифметические выкладки, выполнение которых
без помощи облегчающих методов алгебры чрезвы-
чайно затруднительно. Пусть требуется, например,
найти результат таких действий:

(Вычисление это необходимо для того, чтобы
установить, вправе ли техника, имеющая дело со

стр. 95 Наибольшее известное простое число.

скоростями движения тел, малыми по сравнению со
скоростью распространения электромагнитных волн,
пользоваться прежним законом сложения скоростей,
не считаясь с теми изменениями, которые внесены в
механику теорией относительности. Согласно старой
механике тело, участвующее в двух одинаково на-
правленных движениях со скоростями Vi и v2 кило-
метров в секунду, имеет скорость (vi + v2) километров
в секунду. Новое же учение дает для скорости тела
выражение

равная приблизительно 300 000 километров «в секунду.
В частности, скорость тела, участвующего в двух оди-
наково направленных движениях, каждое со скоро-
стью 1 километр в секунду, по старой механике рав-
но 2 километрам в секунду, а по новой как раз

Насколько же разнятся эти результаты? Уловима
ли разница для тончайших измерительных приборов?
Для выяснения этого важного вопроса и приходится
выполнить указанное выше вычисление.)
Сделаем это вычисление двояко: сначала обыч-
ным арифметическим путем, а затем покажем, как по-
лучить результат приемами алгебры. Достаточно од-
ного взгляда на приведенные далее длинные ряды
цифр, чтобы убедиться в неоспоримых преимуществах
алгебраического способа.
Прежде всего преобразуем нашу «многоэтажную»
дробь:

стр. 96 Наибольшее известное простое число.

Произведем теперь деление числителя на знаменатель:

Вычисление, как видите, утомительное, кропотли-
вое; в нем легко запутаться и ошибиться. Между тем,
для решения задачи важно в точности знать, на кото-
ром именно месте обрывается ряд девяток и начи-
нается серия других цифр.
Сравните теперь, как коротко справляется с тем
же расчетом алгебра. Она пользуется следующим
приближенным равенством: если а — весьма малая
дробь, то

стр. 97 Наибольшее известное простое число.

но гораздо более коротким путем.
(Читателю, вероятно, интересно знать, каково зна-
чение полученного результата в поставленной нами
задаче из области механики. Этот результат показы-
вает, что ввиду малости рассмотренных скоростей по
сравнению со скоростью света уклонение от старого
закона сложения скоростей практически не обнару*
живается: даже при таких огромных скоростях., как
1 км/сек, оно сказывается на одиннадцатой цифре
определяемого числа, а в обычной технике ограничи-
ваются 4—6 цифрами. Мы вправе поэтому утвер-
ждать, что новая, эйнштейнова, механика практически
ничего не меняет в технических расчетах, отно-
сящихся к «медленно» (по сравнению с распростра-
нением света) движущимся телам. Есть, однако, одна
область современной жизни, где этот безоговорочный
вывод следует принимать с осторожностью. Речь идет
о космонавтике. Ведь уже сегодня мы достигли ско-
ростей порядка 10 км/сек (при движении спутников
Я ракет). В этом случае расхождение классической и
эйнштейновой механики скажется уже на девятом
знаке. А ведь не за горами еще большие скорости…)

стр. 98 Наибольшее известное простое число.

На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. 
Школьная математика.  Математика в школе.

Наибольшее известное простое число, Ответственный расчет