Требования к изображениям
пространственных фигур

Г л а в а I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РАБОТЕ
С ИЗОБРАЖЕНИЯМИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР

А. Б. ВАСИЛЕВСКИЙ

Главная страница РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по СТЕРЕОМЕТРИИ

Научно-исследовательский институт
педагогики Министерства просвещения БССР

Скачать PDF файл Бесплатно ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по СТЕРЕОМЕТРИИ

Ниже текст только для быстрого ознакомления с темой. В нём формулы отображаются некорректно. Качественный текст смотрите в оригинале (формат PDF) по ссылке выше.

Общие требования к чертежам в педагогической практике
сводятся к следующему.
Изображение пространственной фигуры будет верным,
если оно получено с соблюдением всех свойств параллельной
проекции. Однако не всякий верный чертеж дает нам
представление о фигуре, о взаимном расположении ее элементов.
Так, например, рисунки 15—18 являются верными
изображениями правильной четырехугольной пирамиды
MABCD. Но только два последних рисунка дают возможность
без затруднений судить о взаимном расположении
ребер пирамиды, высоты, ее диагональных сечений и т. п.
Поэтому наглядность верного изображения простран

15

ственной фигуры в значительной степени содействует усвоению
содержания той задачи, которая решается при помощи
этого изображения.
По изображению можно судить не о всех свойствах фигуры.
Так, например, рисунок 18 можно принять и за изображение
куба, и за изображение любого параллелепипеда.

Рисунок 19 можно считать изображением не только правильной
четырехугольной пирамиды. Глядя на него, можно
только утверждать, что основанием этой пирамиды является
параллелограмм. С одной стороны, это плохо, с другой
— упрощается техника работы над чертежом, экономится
время.
Изображение пространственной фигуры должно быть
верным, наглядным и простым в исполнении.
Из этих трех требований для решающего стереометрическую
задачу наиболее важным является второе.

16

Посмотрите еще раз на рисунки 17 и 19. Оба дают достаточно
верное представление о форме правильной четырехугольной
пирамиды, они остаются равноценными только
до тех пор, пока мы не имеем дело с конкретной задачей,
связанной с конкретной правильной четырехугольной пирамидой.
Принципиальное отличие неплоской задачи от планиметрической
в том, что не все данные и искомые элементы
принадлежат одной плоскости. Изображение неплоской фигуры
является всего лишь ее плоским образом, поэтому из всех
наглядных чертежей данной неплоской фигуры наилучшим
будет тот, на котором изображено без искажения формы
(величины) наибольшее число данных и искомых ее элементов.
Обратимся к примерам. Сторона основания ABCD правильной
четырехугольной пирамиды MABCD равна 40 мм.
Определить:
а) радиус шара, вписанного в эту пирамиду, если двугранный
угол при ее основании равен 30°;
б) радиус шара, описанного около пирамиды MABCD,
если угол наклона бокового ребра к плоскости основания
равен 30°;
в) угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости
ABC, если двугранный угол при этом ребре равен 120°;
г) площадь сечения пирамиды плоскостью а , проходящей
через ребро ВС и перпендикулярной плоскости ADM,
если двугранный угол при ее основании равен 30°.
Вычисления при решении таких задач могут быть сведены
к минимуму, если сразу определить, в каких плоскостях
расположены данные и искомые элементы пирамиды и какими
геометрическими преобразованиями эти элементы можно
разместить в одной плоскости.
Прежде всего мы должны решить главный вопрос:
как заменить данную неплоскую задачу планиметрической?
Решается он параллельно с поисками наиболее наглядного
изображения данной пирамиды для решения данной задачи.
Начинать следует с наброска произвольного изображения
правильной четырехугольной пирамиды.
Приступаем к первому упражнению. Строим произвольное
изображение пирамиды MABCD (рис. 20). Можно ли
на этом чертеже выделить треугольник, некоторые элементы
которого конгруэнтны данным элементам пирамиды?
Десятиклассники уже привыкли к тому, что линейный

17

угол при основании пирамиды строится следующим образом.
Отмечается середина F стороны основания ВС. Доказывается,
что Հ -OFM является линейным Հ ՀABC, ВСМ).
На чертеже появился треугольник OMF, у которого известны
катет 10 F \ = \АВ\ : 2 и OFM = 30°. Теперь ясно,

что прямоугольный треугольник FOM можно построить,
причем будут использованы все данные элементы нашей
пирамиды.
Мы еще не знаем, принадлежит ли этому треугольнику
искомый элемент пирамиды, но у нас есть достаточно оснований
утверждать, что следует аккуратно построить такой
проекционный чертеж пирамиды, на котором треугольник
MOF изображается в натуральную величину. Для построения
такого чертежа нужно представить, чем является сечение
пирамиды плоскостью MOF (равнобедренный треугольник
FXMF, где Fx — середина [AD]).
Теперь приступаем к изображению пирамиды. Строим
равнобедренный треугольник F^FM, у которого \FXF\ ==
= 40 мм, M t\F — F^FAl = 30°, и его высоту ОМ (рис. 21).
Три точки (Flt F, М) пирамиды MABCD, не лежащие на
одной прямой, уже показаны. За изображение четвертой
точки X пирамиды, не принадлежащей треугольнику F^FM,
можно взять любую точку чертежа (теорема Польке —
Шварца, см. с. 44).
Пусть для простоты дальнейших построений X = В
(рис. 22).
Изображение всех остальных вершин пирамиды выполняется
только в полном соответствии со свойствами параллельной
проекции (см. с. 42).

18

Еще раз подчеркиваем, что только четыре некомпланарные
точки неплоской фигуры можно изобразить любыми
точками плоскости чертежа. В противном случае изображение
этой фигуры может быть неверным.
Точка О — середина [BD]. Поэтому изображением вершины
D пирамиды будет точка, симметричная точке В относительно

О (рис. 22). Далее строим точку А, симметричную
точке D относительно F v и точку С, симметричную
точке В относительно F.
Чтобы найти величину радиуса шара, вписанного в пирамиду
MABCD, нужно знать положение центра и точку его
касания с одной из граней пирамиды.
По условию задачи, центр шара одинаково удален от
всех граней пирамиды. Поэтому он принадлежит биссек-
торным плоскостям всех ее двугранных углов.
В правильной пирамиде двугранные углы при основании
конгруэнтны, поэтому центр шара S является вершиной
правильной пирамиды SABCD.
Следовательно, точка S принадлежит [МО]. Но как построить
точку S? Она принадлежит биссекторной плоскости
двугранного угла при ребре ВС. Угол OFM является его
линейным углом. Поэтому точка 5 принадлежит биссектрисе
угла OFM. ՝
Итак, [FS) — биссектриса угла OFM. Теперь ясно, что
ISO] является радиусом вписанного в пирамиду шара
(рис. 22).
Поскольку на рисунке 22 Л РгМF изображен в натуральную
величину, то [501 также показан без искажения. Очевидно,
|S 0 1 = |OF| = tg 15° = 20 » tgl5R « 20 • 0 ,2 6 7 9 ^
« 5,4 (мм).
Вычисления свелись к минимуму, так как данные и искомые
элементы принадлежат одному треугольнику, притом
прямоугольному.

19

Рисунок 22 позволяет избежать ошибок: вычисления можно
проверить непосредственным измерением [SO].
Перед выполнением второго упражнения следует с помощью
модели показать учащимся, что правильная четырехугольная
пирамида имеет ось вращения, проходящую
через центр основания пирамиды и ее вершину. Причем наименьший
угол, при повороте на который пирамида переходит
сама в себя, является прямым. Из этого получаем, что
радиус описанного шара равен радиусу окружности, описанной
около равнобедренного треугольника АМС. Нам
известно, что угол при основании этого треугольника равен
30°. Замечаем, что основание АС является диагональю
квадрата ABCD (его сторона 40 мм). Поэтому | АС| —
= 40|^2 ^ 56 (мм).
Теперь ясно, что из всех наглядных изображений пирамиды
MABCD для второго упражнения наиболее подходящим
является такое, на котором треугольник АМС изображается
без искажения формы (рис. 23).
Выполнение такого изображения начинается с построения
треугольника АМС в натуральную величину. На этом
изображении легко построить центр Ох описанного шара.
Для этого достаточно через середину К стороны МС треугольника
АМС провести прямую, перпендикулярную
(МС). Она пересечется с (МО) в точке Ог (рис. 23). ЮХМ]
конгруэнтен радиусу шара. Этот отрезок изображен в натуральную
величину, а это дает возможность непосредственным
измерением найти длину радиуса шара (для проверки
результата, полученного вычислением).
Треугольники МОС и МКОг изображены без искажения
формы, поэтому учащимся легче увидеть, что они подобны.
Следовательно, менее вероятна ошибка при определении
соответственных сторон этих треугольников и составлении
пропорции (эта пропорция нужна для вычисления длины
отрезка ОхЛ1). И наконец, из такого изображения ясно, что
центр Ог шара находится вне пирамиды.
Высота всякой правильной пирамиды является ее осью
вращения. Поэтому для решения абсолютного большинства
школьных и конкурсных задач наиболее наглядным является
такое изображение, на котором показано без искажения
СЕоей формы одно из диагональных сечений пирамиды или
сечение, проходящее через высоту пирамиды и середину
одной из сторон основания.
Третье упражнение вызывает серьезные трудности у
20

учащихся, потому что два данных и искомый элемент не
принадлежат одному какому-нибудь треугольнику. Кроме
того, можно построить сколько угодно линейных углов
данного двугранного угла, но не ясно, какой из них наиболее
подходит для решения задачи. Было бы неплохо, если бы
этот угол лежал в одной плоскости с одной из сторон основания
пирамиды (она известна).

Попытки построить такой угол на модели некоторой правильной
четырехугольной пирамиды не приносят успеха,
однако мы замечаем, что стороны одного из них имеют общие
точки с диагональю основания пирамиды.
Теперь остается только доказать, что существует на
прямой AM такая точка Н, что DHB — 120° (рис. 24).
Искомый угол MDB является углом треугольника BMD.
Итак, мы обнаружили, что треугольники BHD и MBD,
которым принадлежат данные и искомый элементы, имеют
общую сторону DB (мы уже раньше определили ее длину).
Точки В и D симметричны относительно плоскости АМС.
Поэтому \HD\ = \НВ\ и (НО) _L (DB).
Чтобы свести эту задачу к планиметрической, достаточно
треугольники HDB и MBD разместить в одной плоскости.
Но в какой и как? О плоскости НОВ мы знаем только то,
что она перпендикулярна (AM). Свойства диагонального
сечения BMD нам больше известны, поэтому, кажется,
следует повернуть треугольник HBD вокруг (BD) до совпадения
с плоскостью BDM.
Теперь нам предстоит разобраться в рисунке 25. Здесь
несколько фигур. Нам известно, что \DB\ — 4 0 ^ 2 ՜ мм.
21

\D0\ — 20՜1/2, DHB — 120° ,DHO = 60Q. Значит, мы можем
построить треугольник DOH и определить его катет НО.
Но нам нужно найти MDO. А известен только катет \DO\.
Как использовать [//О]? Переходя от изображения пирамиды
(рис. 24) к рисунку 25, мы не учли, что (НО) _L (ЛУИ).

Поэтому [НО] конгруэнтен и высоте ОТ, опущенной из
вершины О на гипотенузу DM (рис. 26). .
Теперь ясно, что
sin Md C) = \ТО\ : |DOj « \НО\ : |DO| = \DO\ -tg 30°: \DO\ =
/ \
tg 30° = 1/3 : 3 » 0,57 и MDO « 35°.
Рассмотрим четвертое упражнение. Учащиеся с достаточно
развитым пространственным воображением правильный
ответ могут дать без всяких вычислений и построений:
нуль.
Другие же для решения задачи могут выполнить чертеж
(рис. 27) без инструментов, после чего им станет ясно, что
сечением пирамиды является равнобочная трапеция BA^DyC.
Запишут (A-JDx) || (AD). Появятся дополнительные построения
(рис. 28) и начнутся вычисления.
Ошибка учащихся заключается в том, что они не учитывают
следующего: / = (ADM) Ո а не пересекает сторон треугольника
AMD.
Чтобы это обнаружить, нужно предложить учащимся
попытаться решать задачу на таком изображении пирамиды,
22

на котором ответ получается при помощи построений и инструментальных
измерений.
Наиболее подходящим для этой задачи является изображение,
где без искажения формы показано сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через ее высоту и середину
Լ ребра ВС (рис. 29).
Для того чтобы построить изображение перпендикуляра
Լ կ на плоскость ADM, достаточно провести при помощи
угольника (Լ կ ) _L (LiM).
Под сечением понимается множество точек, общих для
данной пирамиды и плоскости а. Это множество точек образует
отрезок ВС, а его площадь равна нулю.

23

СТЕРЕОМЕТРИЯ

СТЕРЕОМЕТРИЯ 9 класс, СТЕРЕОМЕТРИЯ 10 класс, Пространственные фигуры

#СТЕРЕОМЕТРИЯ #Математика

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.
Интернет бизнес с нуля

Пространственные фигуры