дома » Алгебра в школе » Прямо пропорциональная зависимость

Прямо пропорциональная зависимость

§ 4. Прямо пропорциональная зависимость

ЧАСТЬ II. ГЛАВА II.КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ
К КВАДРАТНЫМ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫБиблиотека учителя. Школьная математика.

Простейшим видом функциональной зависимости является прямо
пропорциональная зависимость, которая характеризуется тем, что
значения функции пропорциональны значениям независимой переменной

Пропорциональная зависимость
переменных х и у выражается
уравнением у = k x ,
где k — постоянный коэффициент.
Теорема 1. График функции
y = k x есть прямая
линия, проходящая через начало
координат.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Д о пустим
для определенности,
что k — положительное число
и пусть Мх — точка графика, абсцисса которой равна 1. Тогда ордината
точки Mi равна k • 1 — k. Возьмем произвольную точку на графике
и предположим только, что ее абсцисса х положительна (рис. 48).
Опустим перпендикуляры M XN X и M 2N 2 из точек М х и М* на
ось абсцисс и рассмотрим треугольники OMxN x и OM^N* Углы этих
треугольников при вершинах N x и N% равны, как прямые углы. Стороны,
образующие эти углы, пропорциональны.

306 Прямо пропорциональная зависимость. Оформление кабинета математики.

Действительно,
MiNt = k\ ONt = 1; ОЛ/2 = MtN% =_y2 = к х ъ
так как точка Ж2 лежит на графике функции у = k x , и следовательно,
ее координаты связаны этим соотношением.
Следовательно,
1 MtNt M , N , _ M , N ,
O N , — O N i — ON, — ON, ‘
Таким образом, треугольники ON\Mi и OjV2M2 подобны, и следовательно,
углы при общей вершине О равны, т. е. точки Mj и Л12 лежат
на одной и той же прямой, проходящей через начало координат.
Итак, все точки графика функции_у = кх, имеющие положительные
абсциссы, расположены по прямой, проходящей через точку М и через
начало координат. Точки с отрицательными абсциссами укладываются
на ту же прямую, продолженную через начало координат налево.
Действительно, если точка М3(л:3, _у3), абсцисса которой отрицательна,
лежит на графике, то симметричная с ней относительно начала
координат точка Мз(—х г, —у 3) тоже лежит на графике, ибо
если у г = к х 3, то —у г = к (— лг3). Но абсцисса х 3 положительна, и
следовательно, М3 лежит на описанной выше прямой линии. Следовательно,
и симметричная с ней точка Мг лежит на той же прямой.
Наконец, само начало координат тоже принадлежит графику, ибо его
координаты (О, О) удовлетворяют уравнению y — k x при любом k.
Таким образом, все точки графика функции у = k x укладываются
на прямую линию, проходящую через начало координат и
через точку 1, k).
Обратно, всякая точка, лежащая на такой прямой, принадлежит
графику. Докажем это для точек с положительными абсциссами. Для
точек с отрицательными абсциссами доказательство аналогично.
Возьмем снова точку Mi(l, k \ заведомо лежащую на графике, и
пусть Л12(лг2,_у2) есть какая-либо точка с положительной абсциссой,
лежащая на прямой, проходящей через начало координат и через
Опустим из точек М\ и М2 перпендикуляры на ось абсцисс и
пусть Nj hjV2—основания этих перпендикуляров (см. рис. 48). Треугольники
OMtNi и OM%N% подобны, ибо они прямоугольны и имеют равные
углы при вершине О. Следовательно, их катеты пропорциональны
откуда y% — k x b т. е. точка Л12 действительно ‘лежит на графике
функции у = кх.
Итак, мы доказали, что все точки графика y — k x расположены
на прямой, проходящей через начало координат и точку Mi(l, к).
Обратно, каждая точка этой прямой принадлежит графику у = k x .
Следовательно, эта прямая совпадает с графиком, что и требовалось
доказать.

307 Прямо пропорциональная зависимость. Оформление кабинета математики.

Мы доказали теорему для функции y = k x при положительном
коэффициенте пропорциональности k. Совершенно таким же способом
она устанавливается и при отрицательном k . Разница будет
только в том, что график функции y — k x при положительном k
проходит из левого нижнего координатного угла в правый верхний,
а при отрицательном
k — из левого верхнего
угла в правый нижний.
Наконец, если k = 0,
то у = 0 при всех лг,
и следовательно, графиком
является]ось абсцисс.
Построим на одном
чертеже несколько графиков
функции y = k x при
различных численных значениях
k для того, чтобы
проследить, как изменяется
график при изменении
k. При построении
используем то обстоятельство,
что график функции
у = k x проходит через
начало координат и через
точку Mt ( 1, k).
На рис. 49 изображены
графики при k = — 3,
о 1 L о 1
Рис. 49. А 2 ’ ‘ 2 ’
1, 2, 3.
Из построения очевидно, что при увеличении положительного коэффициента
k график образует все больший угол с осью абсцисс,
постепенно приближающийся к прямому углу. При уменьшении положительных
k угол между графиком и осью абсцисс уменьшается,
и при k — О график совпадает с осью абсцисс. При отрицательном
значении k график образует с осью абсцисс острый угол, откладываемый
вниз от положительного направления оси абсцисс. Этот
угол возрастает при увеличении абсолютной величины k, постепенно4
приближаясь к прямому углу.
Коэффициент пропорциональности k называется угловым коэффициентом
или наклоном графика.
Те орема 2. Всякая прямая, проходящая через начало координат!,
за исключением оси ординат, есть график некоторой
функции y — k x .
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть дана прямая, проходящая через
начало координат и отличающаяся от оси ординат. Возьмем на ней

308 Прямо пропорциональная зависимость. Оформление кабинета математики.

какую-либо точку Mt (хьy t)f абсцисса которой отличается от нуля.
Такая точка найдется на прямой, в силу предположения, что она
не совпадает с осью координат. Обозначим отношение X—i через k.
График функции y = k x проходит через точку Mlf ибо координаты
Сх ьУ\) этой точки удовлетворяют соотношению y = kx.
Действительно, у х= ^X~i x 1 = k x 1. Следовательно, график функции
y = k x есть прямая, проходящая через начало координат и точку
Но, так как через две данные точки проходит только одна прямая,
график функции y — k x совпадает с данной прямой, что и требовалось
доказать.
Замечание. Ось ординат не является графиком функции у = kx.
«Уравнением» оси ординат является равенство х = 0, ибо абсциссы
всех точек, лежащих на оси ординат, равны нулю, и обратно, каждая
точка с абсциссой, равной нулю, лежит на оси ординат.

309 Прямо пропорциональная зависимость. Оформление кабинета математики.

Около

Comments

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика